2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习(包含答案)
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2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习(包含答案)
2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习(含答案)
一、单选题(共有10道小题)
1.抛物线2
y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数),a >0,顶点坐标为(,m ),给出下
列结论:
①若点(n ,y 1)与(﹣2n ,y 2)在该抛物线上,当n <时,则y 1<y 2;②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0无实数解,那么() A .①正确,②正确 B .①正确,②错误 C .①错误,②正确
D .①错误,②错误
2.已知1a <-,点(1a -,1)y ,(a ,2)y ,(1a +,3)y 都在函数2y x =的图象上,则
()
A. 123y y y <<
B. 132y y y <<
C. 321y y y <<
D. 213y y y <<
3.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是()
A .h m =
B .k n =
C .k n >
D .00h k >>,
4.二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函
数a b c y x
++=在
同一坐标系内的图象大致为()
1
4
(x-h )2+k
A
B
C
5.函数k
y x
=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的()
6.已知,如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象,则一次函数y ax bc =+的图象
不经过()
A.第一象限
B.
D.第四象限
7.在同一直角坐标系中,函数y mx m =+和函数222y mx x =-
++(m 是常数,且0m ≠)的图象可能..是()
8.2
y ax bx c =++的图象如图所示.并设|||||2||2| M a
b
c
a b c a b a b =++--+++--,
则()
D
B A
D
C D
C B A
A .0M >
B .0M =
C .0M <
D .不能确定M 为正,为负或为0
9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有以下结论:
①0a b c ++<;②1a b c -+>;③0abc >;④420a b c -+<;
⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是() A .①② B .①③④
C .①②③⑤
D .①②③④⑤
10.如下右图所示,二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-,,且与x 轴
交点的横坐标分别为1x ,2x ,其中121x -<<-,201x <<,下列结论:
①420a b c -+<;②20a b -<;③1b <-;④2
84b a ac +>.其中正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、多选题(共有1道小题)
11.下列函数中,哪些是二次函数?并指出二次函数的二次项系数、一次项系数
和常数项.
⑴2y x = ⑵ 2
1y x =-
⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-
⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-
三、填空题(共有6道小题)
12.将抛物线2
2y x =的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图
象的解析式为.
13.若二次函数2
1
m
y mx +=有最小值,则m =________.
14.二次函数2
3
(2)m
y m x -=-在其图象对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小,则m 的值为_____.
15.已知点()15A x ,
,()25B x
,是函数2
23y x x =-+上两点,则当12x x x =+
时,函数值y =___________.
16.已知二次函数()()2223y m x mx m =
-+--的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于y 轴的
负半轴,则m 的取值范围是_________________.
17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2
250y b x a =--+分别有最大值、最小值,则这两个二次函数的图像有个交点.
四、解答题(共有7道小题)
18.若20x -≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值.
19.已知函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象,如图所示.求证:22()a c b +<
20.二次函数2
y ax bx c =++的图象的一部分如图所示,求a 的取值范围
21.设二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,若OA OB =,求abc 的取值范围.
22.设直线y kx b =+与抛物线2
y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ,且直线与x
轴的交点的横坐标为3x ,求证:
123
111
x x x +=.
23.分别求出在下列条件下,函数2231y x x =-++的最值:
⑴x 取任意实数;⑵当20x -≤≤时;⑶当13x ≤≤时;⑷当12x -≤≤时.
24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ,写出函数s 关于t 的函数解析式,并
求出s 的取值范围.
讲评卷
一、单选题(共有10道小题)
1.抛物线2
y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数),a >0,顶点坐标为(,m ),给出下
列结论:
①若点(n ,y 1)与(﹣2n ,y 2)在该抛物线上,当n <时,则y 1<y 2;②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0无实数解,那么() A .①正确,②正确 B .①正确,②错误 C .①错误,②正确
D .①错误,②错误
参考答案:A
解:①∵顶点坐标为(,m ),n <,
∴点(n ,y 1)关于抛物线的对称轴x =的对称点为(1﹣n ,y 1),∴点(1﹣n ,y 1)与(﹣2n ,y 2)在该抛物线上,∵(1﹣n )﹣(﹣2n )=n ﹣<0,∴1﹣n <﹣2n ,∵a >0,∴当x >时,y 随x 的增大而增大,∴y 1<y 2,故此小题结论正确;
②把(,m )代入y =ax 2+bx +c 中,得m =a +b +c ,
∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0中,△=b 2﹣4ac +4am ﹣4a =b 2﹣4ac +4a (a +b +c )﹣4a =(a +b )2﹣4a <0,∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0无实数解,故此小题正确
2.已知1a <-,点(1a -,1)y ,(a ,2)y ,(1a +,3)y 都在函数2y x =的图象上,则
()
A. 123y y y <<
B. 132y y y <<
C. 321y y y <<
D. 213y y y <<
参考答案:C
3.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是
()
A .h m =
B .k n =
C .k n >
D .00h k >>,
参考答案:B
4.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数24y bx
b a
c =+-与反比例函
数a b c y x
++=在
同一坐标系内的图象大致为()
参考答案:D
5.函数k
y x
=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的()1
4
(x-h )2+k
A
B
C
D
参考答案:A
6.已知,如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象,则一次函数y ax bc =+的图象
不经过()
A.第一象限
B.
D.第四象限
参考答案:B
7.在同一直角坐标系中,函数y mx m =+和函数222y mx x =-++(m 是常数,且0m ≠)
的图象可能..
是()
参考答案:D
8.2y ax bx c =++的图象如图所示.并设|
|
|
||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--,
则()
A .0M >
B .0M =
C .0M <
D .不能确定M 为正,为负或为0
B D
C D
C B A
参考答案:C
9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有以下结论:
①0a b c ++<;②1a b c -+>;③0abc >;④420a b c -+<;
⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是() A .①② B .①③④
C .①②③⑤
D .①②③④⑤
参考答案:C
10.如下右图所示,二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()1
2-,,且与x 轴
交点的横坐标分别为1x ,2x ,其中121x -<<-,201x <<,下列结论:
①420a b c -+<;②20a b -<;③1b <-;④2
84b a ac +>.其中正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案:D
二、多选题(共有1道小题)
11.下列函数中,哪些是二次函数?并指出二次函数的二次项系数、一次项系数
和常数项.
⑴2y x = ⑵ 2
1y x =-
⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-
⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-
参考答案:⑴二次项系数为1,一次项系数和常数项为0.
⑵虽然次数为2,但x 位于分母位置,所以不是二次函数.
⑶二次项系数为2,一次项系数为-1,常数项为-1.
⑷2(1)y x x x x =-=-+,二次项系数为-1,一次项系数为1,常数项为0.⑸将括号展开,二次项消去,所以不是二次函数.
三、填空题(共有6道小题)
12.将抛物线2
2y x =的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图
象的解析式为.
参考答案:y =2(x +1)2
﹣2 13.若二次函数2
1
m y mx +=有最小值,则m =________.
参考答案:∵二次函数2
1
m
y mx +=有最小值,∴0m >.又∵212m +=,∴1m =±.
∴1m =.
14.二次函数2
3(2)m y m x -=-在其图象对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小,则m 的值为_____.
参考答案:根据题设条件,画图草图(如下图):
由二次函数图象性质可知:20m ->,同时,232m -=,
解方程,得:m =,
因为20m ->,∴m =.
15.已知点()15A x ,
,()25B x ,是函数223y x x =-+上两点,则当12x x x =+时,函数值y =___________.
参考答案:由题意可知:A ,B 关于抛物线的对称轴对称,故12222b
x x x a
-=+=?
=,∴当2x =时,4433y =-+=
16.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上,顶点在第三象
限,且交于y 轴的
负半轴,则m 的取值范围是_________________.
参考答案:考察函数图像与系数之间的关系.因为函数图像开口向上,所以
()20m ->,又因为顶点在第三象限,所以函数对称轴在y 轴左侧,所以
20m >;因为函数图像又与y 轴的负半轴相交,所以()30m --<.综上所
述可得(
)2022003
30m m m m m m ?->>
>?><--<??
∴23m <<
17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2
250y b x a =--+分别有最大值、最小值,
则这两个二次函数的图像有个交点.
参考答案:0
四、解答题(共有7道小题)
18.若20x -≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值.
参考答案:由函数图像开口向上,且1
20<4
x -≤≤,故当2x =-时,y 取最大值为7,
当0x =时,y 取最小值为1.
19.已知函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象,如图所示.求证:22()a c b +<
参考答案:方法一:
根据图象得: 0,0a c <<
122b
b a a
-
=?=-?224b a =① 又∵240b ac ->,∴2440a ac -> 即:4()0a a c -> ∴220204()a c a c a a a a c a a c -<?<++② 由①②式得:22()a c b +< 方法二:
根据图象得,当1x =时0y >,即0a b c ++>,∴()b a c >-+
由0a <,12b
a
-
=得:0b > 当0x =时0y <得0c <
∴22()0()b a c b a c >-+>?>+
即:22()a c b +<.
20.二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示,求a 的取值范围
参考答案:根据二次函数图象可知0a <,
又此二次函数图象经过(10),,(01),
则有0a b c ++=,1c =,得(1)b a =-+,
于是2
2
214(1)(1)1()24a a a y ax a x a x a a
+--=-++=-+ 根据函数图象可知102a x a +=<,2
4(1)14a a a
--> 于是有10a -<<.
21.设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,若OA OB =,求abc 的取值范
围.
参考答案:设点A 的坐标为(m ,0),0m <,则B 的坐标为(0,)m ,于是20am bm c ++=且c m =,即20am bm m ++=,∴1b am =--.
∴22111
()244ab ma a m a m m m
=--=-+
+≥
,由图知,0a >,对称轴在y 轴右侧,故02b
a
->,0b <,∴
1
04ab m
≤<,两边同时乘以负数c m =,即得104
abc <≤.
22.设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ,且直线与x
轴的交点的横坐标为3x ,求证:123111
x x x +=.
参考答案:由题意有22
0y kx b
ax kx b y ax
=+??--=?=?u两个交点的横坐标分别是12,x x ,故1212k b x x x x a a
+==-,.∴12121211x x k x x x x b ++==-.
直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标为3b
x k
=-,故
31k x b =-.故123
111
x x x +=. 23.分别求出在下列条件下,函数2231y x x =-++的最值:
⑴x 取任意实数;⑵当20x -≤≤时;⑶当13x ≤≤时;⑷当12x -≤≤时.
参考答案:⑴函数的最大值为
17
8
,无最小值;⑵当0x =时,函数取得最大值1;当2x =-时,函数取得最小值13-;⑶当1x =时,函数取得最大值2;当3x =时,函数取得最小值8-;⑷当34
x =时,函数取得最大值17
8;当1x =-时,函数取得最小值4-.
24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ,写出函数s 关于t 的
函数解析式,并
求出s 的取值范围.
参考答案:二次函数222y x x =-+的对称轴是1x =,
①当1t >时,对称轴在x t =左边,∴222s t t =-+;
②当11t t ≤≤+,即01t ≤≤时,最小值s 在顶点处取得,∴1s =;
③当11t +<,即0t <时,对称轴在1x t =+右边,∴21s t =+.
综上所述:22
1(0),1(01),22(1)
t t s t t t t ?+<?
=≤≤??-+>?
∴s 的取值范围为1s ≥.。