2021-2022学年湖北省黄冈市小桥中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖北省黄冈市小桥中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则=（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
2. 已知集合，集合，则
A． B． C．
D．
参考答案：
C
3. 函数零点的个数为
A4 B3 C 2 D1
参考答案：
答案：D
4. 已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（）
①若m∥n，n?α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，则n⊥α
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①利用线面平行的判定定理即可得出；②利用面面垂直的判定定理即可判断出；
③利用线线的位置关系即可得出；
④利用面面垂直的性质定理即可得出．
【解答】解：①若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，因此不正确；
②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，因此不正确；
④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．
综上可知：只有②④正确．
故选：B．
5. 变量x、y满足约束条件，则的最小值为
A.-3
B.-2
C.0
D. 6
参考答案：
C
6. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（m， m），再由两直线垂直和平行的条件，得到m，a，b的关系式，消去m，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣a，0）、B（a，0），
渐近线分别为l1：y=x，l2：y=﹣x．
设P（m， m），若PA⊥l2，PB∥l2，
则=﹣1①，且=﹣，②
由②可得m=，
代入①可得b2=3a2，
即有c2﹣a2=3a2，即c=2a，
则有e==2．
故选B．
7. 在△ABC中，，则A的取值范围是（▲ ）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
8. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝（）
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
参考答案：
D
9. 已知m，n为异面直线，m⊥平面a，n⊥平面．直线l满足l⊥m，l⊥n，，，则
A．与相交，且交线平行于
B．与相交，且交线垂直于
C．∥，里∥a
D．⊥，且⊥
参考答案：
A
略10. 某同学在研究函数＝＋的性质时，受到两点间距离公式的启发，将
变形为＝＋，则表示（如图），
①的图象是中心对称图形；
②的图象是轴对称图形；
③函数的值域为[，＋∞）；
④方程有两个解．上述关于函数的描述正确的是（）
A. ①③
B. ③④
C.
②③ D. ②④
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为B，抛物线上一点A（x0，2）满足，则
p= ．
参考答案：
2
∵抛物线y 2=2px （p＞0），
∴它的焦点F（，0），准线与x轴交点B（﹣，0），
∵抛物线上一点A（x0，2），
∴2px0=4，解得x0=，∴A（，2），
∵，
∴=，
整理，得p4﹣8p2+16=0，解得p2=4．
∵p＞0，∴p=2．
故答案为：2．
12. 如图，在中，斜边，直角边，如果以C为圆心的圆与AB相切于,则
的半径长为___________．
参考答案：
略
13. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,令，则
的值为
参考答案：
-4
14. 在中, ,AB=2，AC=1，D是边BC 的中点，则
参考答案：
略
15. 已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则?A B= ．
参考答案：
{3}
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．
【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B?A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由
集合补集的定义，计算可得答案、
【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B?A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，
分析可得a=2，
即B={2，4}，
则?A B={3}，
故答案为：{3}．
【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．
16. 已知函数的最大值为1，则 .
参考答案：
本题考查三角函数的性质与三角变换。

=；又因为函数的最大值为1，所以
，解得。

17. 计算定积分 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）已知函数．
（1）若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）设有两个极值点，，且，
证明：；
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意：，
分离参数可得：………………（2分）
设，则………………（3分）
由于函数，在区间上都是增函数，所以
函数在区间上也是增函数，显然时，该函数值为0
所以当时，，当时，Ks5u
所以函数在上是减函数，在上是增函数ks5u
所以，所以即………………（6分）ks5u
（Ⅱ）由题意知道：，且
所以方程有两个不相等的实数根，且，
又因为所以，且…………（8分）
而
，
设，则
所以，即………………14分
19. 某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组.（1）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；
（21）试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的职员得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由.
参考答案：
（1）某职员被抽到的概率为；男、女职员的人数分别为3,1；（2）；
（3）第二次做试验的职员做的实验更稳定.
试题分析：（1）根据题意，由总人数与抽取的人数，计算可得某职员被抽到的概率，进而设出该科
研攻关小组中男职员的人数为，由分层抽样的方法可得，解之可得的值，即可得出该科研攻关小组中男、女职员的人数；（2）先计算出选出两名职员的基本事件数，有
共12种；再算出恰有一名女职员的事件数，最后由古典概型的计算公式即可得出所求的概率；
（3）由题意计算出两名职员的平均数和方差，并比较大小，依据在均值相同的情况下，方差越小其稳定程度越好，即可判断哪位职员做的实验更稳定.试题解析：（1）所以某职员被抽到的概率为.
设有名男职员，则，所以，所以男、女职员的人数分别为3,1.
（2）把3名男职员和1名女职员记为，则选取两名职员的基本事件有
共12种，其中有一名女职员的有6种.
所以选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为.
（3），
，
第二次做试验的职员做的实验更稳定.
考点：古典概型及其计算公式；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
20. 本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设是轴上一点，、是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E，证明直线AE与轴相交于定点Q.
参考答案：
21. 已知常数a、b满足a>1>b>0，若
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明：y＝f(x)在定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．
参考答案：
(1)
在R上递增．的定义域为(0，＋∞)．(2)证明：任取又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，
即．
∴)在定义域内是增函数．
(3)解由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，
又恰在(1，＋∞)内取正值，
∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，
22. 在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目“语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次考试中成绩在内的记为，其中“语文”科目成绩在内的考生有10人.
（I）求该考场考生数学科目成绩为的人数；
（II）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩均为.在至少一科成绩为的考生
中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为的概率.
参考答案：
（1）该考场的考生人数为10÷0.25=40
人. ------2分
数学科目成绩为的人数为
40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3人. ------6分
（2）语文和数学成绩为A的各有3人，其中有两人的两科成绩均为，所以还有两名同学只有一科
成绩为
. ------8分
设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为，则在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，
基本事件为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}共6
个，
--10分
设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为”为事件，则事件包含的事件有1个，则. ------12。