高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题含答案

高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题含答案
一、导数及其应用多选题
1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确
的是（ ）
A ．若()f x 只有一个零点，则10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立
C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()0131
2
a a f x π+--<⋅恒成立
【答案】ABD 【分析】
利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取1
2
a =
，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01
a <<，分13
a =、103a <<、1
13a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】
构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x
-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.
ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.
()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.
当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫
=-=-<
⎪⎝⎭
，3333sin sin sin 02222a a f a a π
πππ⎛⎫=-=+> ⎪
⎝⎭
，
由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.
对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.
01a <<，则022
a ππ
<
<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫
'=> ⎪⎝⎭
，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，
当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得
2ax x π=-，解得21
x a π
=
+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21
x a π
=
+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：
由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，
记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.
所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.
若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.
01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102
a <<，A 选项正确；
对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，
由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.
()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正
确；
对于C 选项，取1
2
a =
，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
，
02x π≤≤，则02x π≤
≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x
=，可得02
x =或
2
x
π=， 解得0x =或2x π=. 所以，当1
2
a =
时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，
当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，
即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02
x π
<<
时，sin x x <，
构造函数()sin h x x x =-，其中02
x π
<<，则()1cos 0h x x '=->，
所以，函数()sin h x x x =-在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.
分以下三种情况来证明()0131
2
a a f x π+--<
⋅恒成立.
()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，
0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021
x a π
=
+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =
时，032x π=，则()1sin sin 33
x f x x =-，31342sin sin 223233f π
πππ⎛⎫=-=< ⎪
⎝⎭
，
即()0131
2
a a f x π+--<
⋅成立；
②当103a <<
时，023,212x a πππ⎛⎫
=
∈ ⎪+⎝⎭
， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin
1
f x ax a x x a x a x a a π
=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛
⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪
++++⎝⎭⎝⎭ 131
2
a a π+--=⋅；
③当
1
13
a <<时，023,12x a πππ⎛⎫
=
∈ ⎪+⎝⎭
， ()()()()
0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()
()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫
=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭
()131
12
a a a ππ+--=-=.
综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()0131
2
a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
2．已知函数1
(),()122
x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）
A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2
B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线
C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点
D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】
利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程
12
()(2)m f lnm g e
-
''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单
调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项
的正误．进而得出结论． 【详解】
在函数1(),()122x
x f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q
，则||2
PQ =
，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1
()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x
'=，
曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1
2
12
1(2)2m m g e
e
--'=
，
令12
()(2)
m f lnm g e
-
''=，即12
12m m e
-=
，即1
221m me -=，则1
2
m =满足方程1
221m me -=，
m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；
构造函数1()()()22x
x F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x
'=-，
函数1()x
F x e x
'
=-
在(0,)+∞
上为增函数，由于1
()20F e '<，F '（1）10e =->，
则存在1(,1)2t ∈，使得1()0t
F t e t
'=-=，可得t lnt =-，
当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．
∴11
()()2222
t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-
1113
2220222
t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；
设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，
则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11
22
n y x ln n =
+-， ∴11
(1)22
m n n m lnm ln ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，
令1()(1)22G x x x lnx ln =--++
，则11
()1x G x lnx lnx x x
-'=-
-=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1
(2)202
G ln '=
-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1
()0G s lns s
'=-=，且1s s e =．
当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．
∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，
5(2)02G =
>，17
(8)20202
G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1
(1)202
m m lnm ln --++
=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．
3．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣
⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中
()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
A 34f ππ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B 34f ππ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()04f π⎛⎫
>- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =
，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
上单调递
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可判断C 选项.
【详解】
因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，
所以构造函数()
()cos f x g x x =
，则()()2
cos sin ()0cos f x x f x x g x x
'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，666cos 6
f g f ππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫
⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 对于AB
，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭
⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<
⎪
⎝⎭
，(
)044f ππ⎛⎫⎛⎫
<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D
263f f
ππ⎛⎫
⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即63f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对
应的新函数()
()cos f x g x x
=
，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.
4．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
5．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x
【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1
()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=， 因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln
1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
6．已知函数()
()2
2
14sin 2
x
x
e x
f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调
B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增
C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D.
【详解】
解：对A ，()()
222
114sin =2cos 2x x x x e x e f x x e e -+=+-， 定义域为R ，关于原点对称，
()2211=2cos()2cos()()x x x x e e f x x x f x e e
--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1()2sin x x
f x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x x x x f x e x e x f x e e
--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数， 令1()2sin x x g x e x e =-
+， 则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e
'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误； 对C ，
1()2sin x x f x e x e '=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<， ()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误； 对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD.
【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
7．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1 【答案】ABC
【分析】
将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<
++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =+
+>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】
因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭
，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x F x x x x x =+
+>， 则()222
131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x x ϕ-'=
>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，
于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==+
+.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616
F --'==>， 所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，
将00ln 2x x =-代入（*）式，
得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-+
+=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+
-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 因为k 为整数，所以0k ≤.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
8．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ）
A ．函数在x e =处取得极大值12e
B ．函数的值域为1,
2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．()f x 有两个不同的零点
D ．(2)()(3)f f f π<<
【答案】ABD
【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项.
【详解】
函数的定义域为()0,∞+，求导243
1ln 212ln ()x x x x x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x e =
x
()0,e e (),e +∞ ()'f x
+ 0 - ()f x 极大值
所以当x e =时，函数有极大值()2f e e =，故A 正确；
对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >
作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为1,
2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在)
,e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D
正确；
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
f x=，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（1）方程法：令()0
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b上是连续不断的曲线，且()()0
⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才f a f b
能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。