中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)

中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检
测卷(带答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -和()1,0B ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线43
y x h =-+经过点B ，交抛物线于另一点C ．P 是线段BC 上一点，过点P 作直线PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，且PB PQ =，求点P 的坐标；
(3)M ，N 是抛物线上的动点（不与点B 重合），直线BM ，BN 分别交y 轴于点E ，F ，若EBF EOB ∽△△，求证：直线MN 经过一个定点．
2．如题，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点，当ACD 周长最小时，求点D 的坐标．
(3)点E 是OC 的中点，射线AE 交抛物线于点F ，P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平
行线，交射线AF 与点G ，是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212
y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线l x ⊥轴于点(),0M m ，交BC 于点N ，连接CM PB PC ，，．PCB 的面积记为1S ，BCM 的面积记为2S ，当12S S 时，求m 的值；
(3)在（2）的条件下，点Q 在抛物线上，直线MQ 与直线BC 交于点H ，当HMN △与BCM 相似时，请直接写出点Q 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线214
y x bx c =-++与x 轴分别相交于()2,0A -，()8,0B 两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE BF +的最大值；
①若G 是AC 的中点，以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 求点D 的坐标． 5．如图 抛物线223y x x =-++交x 轴于A B 两点 交y 轴于点C 连接AC BC ．
(1)求ABC 的面积；
(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由；
(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．
6．在平面直角坐标系xOy 中 把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图 抛物线1L ：245y x x =-++的顶点为D 交x 轴于点A B （点A 在点B 左侧） 交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线” 其顶点为P ．
(1)若抛物线2L 经过点()38-，
求抛物线L 1对应的函数关系式； (2)连接BC ．设点Q 是抛物线1L 上且位于其对称轴右侧的一个动点 若DPQ 与BOC 相似 求其“共根抛物线”2L 的顶点Р的坐标．
7．如图 直线23
y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 抛物线243
y x bx c =-++经过点A B ．
(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；
(2)(),0M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N ．
①点M 在线段OA 上运动 若以B P N 为顶点的三角形与APM ∆相似 求点M 的坐标； ①点M 在x 轴上自由运动 若三个点M P N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） 则称M P N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M P N 三点成为“共谐点”的m 的值．
8．如图 二次函数2y ax bx c =++（0a <）的图象与x 轴交于()1,0A - B 两点 与y 轴交于点C 已知3OB OA = OC OB =．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点M 为抛物线对称轴上一动点 是否存在点M 使得BM CM -有最大值 若存在 请直接写出其最大值及此时点M 坐标 若不存在 请说明理由．
(3)连接AC P 为第一象限内抛物线上一点 过点P 作PD x ⊥轴 垂足为D 连接PA 若PDA 与COA 相似 请求出满足条件的P 点坐标：若没有满足条件的P 点 请说明理由．
9．如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图象交坐标轴于()20A -，
()40B ， ()08C ，三点 点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)动点P 运动到什么位置时 PBC 的面积最大 求此时P 点坐标及PBC 面积的最大值；
(3)在y 轴上是否存在点Q 使以O B Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在 请直接写出点Q 的坐标；若不存在 请说明理由．
10．如图 已知抛物线经过()40A ，
()10B ， ()02C -，三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若P 是直线4x =右侧的抛物线上一动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以A P M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在 请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在 请说明理由
11．综合与探究：如图 在平面直角坐标系中 抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A - ()3,0B 与y 轴交于点C 连接BC ．若在第四象限的抛物线上取一点M 过点M 作MD x ⊥轴于点D 交直线BC 于点E ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)试探究抛物线上是否存在点M 使ME 有最大值？若存在 求出点M 的坐标和ME 的最大值；若不存在 请说明理由；
(3)连接 CM 试探究是否存在点M 使得以M C E 为顶点的三角形和BDE △相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由．
12．综合与探究
如图 抛物线213222
y x x =-++的图象与x 轴交于A B 两点 点A 在点B 的左侧 与y 轴交于点C 连接BC ．
(1)求点B C 的坐标．
(2)C '是点C 关于抛物线对称轴的对称点 D 是BC 线段上一点 已知
25
BD BC = 求直线C D '的解析式．
(3)若C 关于x 轴的对称点为M 连接BM N 是线段AB 上的动点 过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P 交直线BM 于点Q 当以B P Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 请直接写出点P 的坐标．
13．如图 抛物线26y ax bx =+-与y 轴交于点A 与x 轴交于点()3,0B - ()1,0C P 是线
段AB 下方抛物线上的一个动点 过点Р作x 轴的垂线 交x 轴于点H 交AB 于点D ．设点P 的横坐标为()30t t -<<．
(1)求抛物线的解析式．
(2)用含t 的式子表示线段PD 的长 并求线段PD 长度的最大值．
(3)连接AP 当DPA 与DHB △相似时 求点P 的坐标．
14．如图 抛物线经过点()2,0A - ()3,3B -和坐标原点O 顶点为C ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：BOC 是直角三角形；
(3)若点P 是抛物线上第一象限内的一个动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．
15．在平面直角坐标系中 抛物线()26160y ax ax a a =--≠与x 轴的两个交点分别为A B 、
与y 轴相交于点C 连接BC 已知点()04C ，
．
(1)求A B 、两点坐标和抛物线的解析式；
(2)设点P 是抛物线上在第一象限内的动点（不与C B 、重合） 过点P 作PD BC ⊥ 垂足为点D ．
①点P 在运动过程中 线段PD 的长度是否存在最大值？若存在 求出最大值以及此时点D 的坐标；若不存在 请说明理由：
①当以P D C 、、为顶点的三角形与COA 相似时 求点P 的坐标．
参考答案：
1．（1）解：将()2,0A - ()1,0B 代入2y x bx c =++得：
()2202201b c b c
⎧=--+⎪⎨=++⎪⎩ 解得：12=⎧⎨=-⎩
b c ∴抛物线的函数表达式为：22y x x =+-；
（2）解：将()1,0B 代入43
y x h =-+ 得：4013h =-⨯+ 解得：43
h = ∴直线BC 的解析式为：4433
y x =-+ 联立直线BC 与抛物线得：244332
y x y x x ⎧=-+⎪⎨
⎪=+-⎩ 解得：103529x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或10x y =⎧⎨=⎩ 1052,39C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
设
44
,
33
P m m
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
则()
2
,2
Q m m m
+-
PB PQ
=
()()
2
22
4444
12
3333
m m m m m
⎛⎫⎛⎫
-+-+-+-+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()22
25710
1
933
m m m
-=--+
即()2
5710
1
333
m m m
--=--+或()2
5710
1
333
m m m
-=--+
解得：1
m=或
5
3
m
=-或5
m=-
P是线段BC上一点()
1,0
B
1052
,
39
C
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
5
3
m
∴=-
532
,
39
P
⎛⎫
∴-
⎪
⎝⎭
；
（3）解：设()()()
22
11122212
,2,,21,1 M x x x N x x x x x
+-+-≠≠直线MN的解析式为y kx n
=+
即
2
111
2
222
2
2
x x kx n
x x kx n
⎧+-=+
⎨
+-=+
⎩
解得：()
12
12
1
2
k x x
n x x
=++
⎧
⎨=-+
⎩
∴直线MN的解析式为：()()
1212
12
y x x x x x
=++-+
直线BM的解析式为y k x n
''
=+
即
2
111
2
x x k x n
k n
⎧+-=+
'
=+
''
'
⎨
⎩
解得：()
1
1
2
2
k x
n x
=+
⎧
⎨=-+
'
'
⎩
∴直线BM的解析式为：()()
11
22
y x x x
=+-+
当0
x=时()1
2
y x
=-+
()
1
0,2
E x
∴--
直线BN的解析式为y k x n
''''
=+
即222220x x k x n k n '''⎧+-=+⎨=+'''''⎩
解得：()2222k x n x =+⎧⎨=-+''''⎩
∴直线BN 的解析式为：()()2222y x x x =+-+
当0x =时 ()22y x =-+
()20,2F x ∴--
12EF x x ∴=-
EBF EOB ∽△△
EF BE BE OE
∴= 112BE OE x ==+
()21121122x x x x ∴++=-⋅+
即()221111212542x x x x x x x ++=+-- ∴()121252x x x x =--+
∴()()()()()()121212121212125223y x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+=++---+=++++⎣⎦ ∴当2x =-时 1y =
∴直线MN 经过一个定点()2,1-．
2．（1）解：把点()1,0A - ()4,0B 分别代入22y ax bx =++
得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①抛物线的解析式为213222
y x x =-++． （2）①()1,0A - ()4,0B
①对称轴为直线14322
x -+== 点A 关于对称轴的对称点为点B 连接BC 交对称轴于点D 连接AD 此时AD CD +最小
当0x =时 2y =
①点()0,2C ．
设直线BC 的解析式为2y kx =+ 代入()4,0B 得420k += ①12
k =- ①直线BC 的解析式为122
y x =-
+ 当32x =时 54y = ①点35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （3）存在．
①()0,2C E 是OC 的中点
∴()0,1E ．
又()1,0A -
①直线AE 的解析式为1y x =+ 1OE OA ==． 联立2132221
y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩得2132122x x x -++=+． 解得12x = 21x =-（舍）．
当2x =时 3y =．
①()2,3F ． 设213,222P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
则(),1G n n +． ①2213112112222
PG n n n n n =-++--=-++． 分以下两种情况：
①如图2 若FPG AOE ∽△△ 则90FPG PF PG =．
①PF x ∥轴．
①2PF n =-． ①21
1
2122n n n -=-++．
解得1n =或2n =（舍）．
①()1,3P ．
①如图3 若PFG AOE ∽△△ 则90PFG ∠=︒ PF FG =．
过点F 作FH PG ⊥于点H 则2PG FH = 即()21
1
12222n n n ⎛⎫--++=- ⎪⎝⎭．
解得3n =或2n =（舍）．
①()3,2P ．
综上 点P 的坐标为()1,3或()3,2．
3．（1）解：抛物线2
12y x bx c =-++与x 轴交于()20A -，
()40B ，两点 ∴()
221220
21440
2b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩
解得：1
4b c =⎧⎨=⎩
①抛物线的函数表达式为2142
y x x =-++； （2）解：抛物线2142
y x x =-++与y 轴交于点C ∴()0,4C
∴4OC =
设直线BC 的解析式为y kx d =+ 把()4,0B ()0,4C 代入 得： 404k d d +=⎧⎨=⎩
解得14
k d =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-+
直线l x ⊥轴 (),0M m
21,42P m m m ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭
(),4N m m -+ ()221144222
PN m m m m m ∴=-++--+=-+ 221111244222B C S PN x x m m m m ⎛⎫∴=⋅-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭
()4,0B ()0,4C (),0M m
()211448222C S BM y m m ∴=
⋅=⨯-⨯=- 12S S
2482m m m ∴-+=-
解得2m =或4m =（P 与B 重合 舍去）
m ∴的值为2；
（3）解：()4,0B ()0,4C
OB OC ∴= BOC ∴是等腰直角三角形
45CBO ∴∠=︒
BMN ∴是等腰直角三角形
45BNM MBN ∴∠=∠=︒
HMN 与BCM 相似 且45MNH CBM ∠=∠=︒
H ∴在MN 的右侧 且
NH MN BC BM
=或NH MN BM BC = 设(),4H t t -+ 由（2）知()2,0M ()2,2N ()4,0B ()4,0C
BC ∴= 2BM = 2MN =
2NH - 当NH
MN
BC BM =时 如图：
∴222
242t -=
解得6t =或2t =-（此时H 在MN 左侧 舍去）
()6,2H ∴-
由()2,0M ()6,2H - 同（2）得直线MH 解析式为1
12y x =-+
211
2
14
2y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①点Q 的坐标为⎝⎭或⎝⎭
；
当NH MN
BM BC =时 如图：
∴22
2
242t -=
解得32t =（舍去）或52
t =
5322H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 由()2,0M 5322H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 同（2）得直线MH 解析式为36y x =- 236142y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩
解得261266x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2261266
x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩①点Q 的坐标为(226,1266-+-+或(226,1266----．
综上所述 点Q 的坐标为333133+-⎝⎭或333133-+⎝⎭或(226,1266-+-+或(226,1266----． 4．（1）将()2,0A - ()8,0B 代入抛物线214
y x bx c =-++ 得()221220418804b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩
解得324
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该抛物线的解析式为213442
y x x =-++． （2）①由抛物线的解析式为213442
y x x =-++ 得()0,4C ．
设直线BC 的解析式为y kx t =+ 将()8,0B ()0,4C 代入
得80,4,k t t +=⎧⎨=⎩解得1,24,
k t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142
y x =-+． 设第一象限内的点D 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 则1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2213114424224DE m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
8BF m =- ()()2211282944DE BF m m m m ⎛⎫∴+=-++-=--+ ⎪⎝⎭
． 104
-< ∴当2m =时 DE BF +有最大值 为9．
①()2,0A - ()8,0B ()0,4C
2OA ∴= 8OB = 4OC = 10AB =
22220AC OA OC ∴=+= 22280BC OB OC =+= 2210100AB == 222AC BC AB ∴+=
90ACB ∴∠=︒
90CAB CBA ∴∠+∠=︒．
DF x ⊥轴于点F
90FEB CBA ∴∠+∠=︒
CAB FEB DEC ∴∠=∠=∠．
以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 只需OA AG DE CE =或OA AG CE DE =． G 是AC 的中点 ()2,0A - ()0,4C
()1,2G ∴- 2OA =
12AG AC =
= 由①知2124DE m m =-+ 1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
CE ∴=． 当OA AG DE CE =时
22124m m =-+
解得4m =或0m =（舍去） ()4,6D ∴． 当OA
AG
CE DE =时 2
5
1
524m m m -+
解得3m =或0m =（舍去） 253,4D ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭．
综上所述 以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似
点D 的坐标为()4,6或253,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5．（1）解：对于抛物线223y x x =-++ 当0x =时 可有3y = 即(0,3)C 当0y =时 可有2230x x -++= 解得11x =- 23x =
即(1,0)A - (3,0)B
①3OC = 3(1)4AB =--= ①1
1
43622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；
（2）解：存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭ 或()01M -，
理由如下：
①(1,0)A - (3,0)B (0,3)C ①221310AC =+= 4AB = 223332BC =+如下图 当BCA CMB ∽时
则有BC
AB
CM BC = 3232
①9
2CM = ①93
322OM CM OC =-=-= ①30,2M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭；
当BAC CMB ∽时 如图：
则有BC AB
CM BC = 4
CM =
①4CM =
①1OM CM OC =-=
则()01M -， 综上：30,2M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭或()01M -，
（3）解：根据题意 点P 与点B 不重合；且45APC ∠=︒ 如图
结合二次函数的对称性 且=45ABC ∠︒ ①45BAP ∠=︒
①CP AB ∥
则3P C y y ==
①223y x x =-++
①对称轴()2121x =-
=⨯- 则()112
C P x x += 则2P x =
①P 的坐标为()23，
当45PAC ∠=︒时 如下图
设AP 交y 轴于点H 过点H 作HN AC ⊥于点N ①45PAC ∠=︒
①9045NHA PAC PAC ∠=︒-∠=︒=∠ ①HN NA =
①(1,0)A - (0,3)C
①1OA = 3OC = ①1tan 3NH OA ACO CN OC ∠=== 设HN NA t == 则3CN t = 2AH t = ①310AC t t =+解得10t =①52AH t = ①2212
OH AH OA =-=
①10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
设直线AH 的解析式为111(0)y k x b k =+≠ 将点(1,0)A - 10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入 可得111012
k b b =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得111212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①直线AH 的解析式为1122y x =+ 联立直线AH 的解析式1122
y x =
+与抛物线解析式223y x x =-++ 可得2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨
⎪=-++⎩ 解得=1x -（舍去）或52
x =
①点57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当45ACP ∠=︒时 如下图 设CP 交x 轴于点T 过点T 作TK BC ⊥于点K ①(3,0)B (0,3)C ①3OB OC == ①190452
OCB CBT ∠=∠=⨯︒=︒ ①45ACP OCB ∠=∠=︒ 即ACO OCP OCP PCB ∠+∠=∠+∠
①ACO PCB ∠=∠ ①1tan tan 3
TK BCP ACO CK ∠==∠= ①45KBT ∠=︒
①9045KTB KBT KBT ∠=︒-∠=︒=∠
①KB KT =
设KT KB t == 则3CK t = 2BT t ①332BC t t =+=解得32t = ①322
BT t ==
①3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 设直线CT 的解析式为222(0)y k x b k =+≠ 将点(0,3)C 3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入 可得2223302b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩
解得22
23k b =-⎧⎨=⎩ ①直线CT 的解析式为23y x =-+
联立直线CT 的解析式23y x =-+与抛物线解析式223y x x =-++
可得22323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩
解得0x =（舍去）或4x =
①点(4,5)P -．
综上所述 点P 坐标为(2,3) 57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
或(4,5)-． 6．（1）解：在抛物线1L ：245y x x =-++中
令0y = 则2450x x -++=
解得11x =- 25x = 即()10
A -， ()50
B ， 根据题意 设抛物线L 2的函数关系式为()()15y a x x =+-
将点()38-，
代入得()()83135a =-+-- 解得12
a = ①抛物线2L 的函数关系式为()()2115152222y x x x x =+-=--；
（2）解：由题意得 5OB OC ==
①BOC 为等腰直角三角形
①抛物线1L ：()224529y x x x =-++=--+
①顶点()29D ，
由题意可知PDQ ∠不可能为直角
①当90DPQ ∠=︒时 如图 DPQ BOC ∽或DPQ COB ∽ 则DP QP =
设Q 2()45m m m -++，
①2QP m =- ()2945DP m m =--++
①()22945m m m -=--++ 解得12m =（舍去） 23m = ①当3m =时 2458m m -++=
①()28P ，
①当90DQP ∠=︒时 如图 DPQ BCO ∽或DPQ CBO ∽ 过点Q 作QM DP ⊥
垂足为点M 则DM QM MP ==
由①可知()28M ，
①1MP DM ==
①()27P ，
综上所述：点P 的坐标为()28P ，
或()27P ，．
7．（1）解：23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 02c 解得2c =
(0,2)B ∴
抛物线243
y x bx c =-++经过点A B ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得1032
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2410233
y x x =-++； （2）解：①由（1）可知直线解析式为223
y x =-+ (,0)M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N
2,23P m m ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭
2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 223PM m 3AM m 22410242243333PN m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭
BPN △和APM △相似 且BPN APM ∠=∠
90BNP AMP 或90NBP AMP ∠=∠=︒
当90BNP ∠=︒时 则有
BN MN ⊥
N ∴点的纵坐标为2
24102233m m ∴-++= 解得0m =（舍去）或52
m = 502M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
，； 当90NBP ∠=︒时 过点N 作NC y ⊥轴于点C
则90NBC BNC ∠+∠=︒ NC m = 22410410223333
BC m m m m =-++-=-+ 90NBP ∠=︒
90NBC ABO ∴∠+∠=︒
ABO BNC
Rt Rt NCB BOA ∴∽△△ ∴NC CB OB OA
= ∴24103323
m m m -+= 解得0m =（舍去）或118m = 1108M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
，； 综上可知当以B P N 为顶点的三角形与APM △相似时 点M 的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1108⎛⎫ ⎪⎝⎭
，； ①由①可知(,0)M m 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
M P N 三点为“共谐点”
∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点
当P 为线段MN 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭
解得3m =（舍去）或0.5m =；
当M 为线段PN 的中点时 则有22410220333m m m ⎛⎫-++-++= ⎪⎝⎭
解得3m =（舍去）或1m =-；
当N 为线段PM 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭
解得3m =（舍去）或14
m =-； 综上可知当M P N 三点成为“共谐点”时m 的值为0.5或1-或14
-． 8．（1）解：(1,0)A -
1OA ∴=
3OB OA = OC OB =
3OB OC ∴==．
(3,0)∴B (0,3)C
二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象经过点A B C
∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴该二次函数的表达式为223y x x =-++；
（2）解：①()2
22314y x x x =-++=--+
①抛物线对称轴为直线1x =
延长AC 交对称轴于点M 此时BM CM AM CM AC -=-=有最大值
①()1,0A - (0,3)C ①221310AC =+=设直线AC 的解析式为3y mx =+ 代入()1,0A -得03m =-+ 解得3m =
①直线AC 的解析式为33y x =+
①当1x =时 336y =+=
①点M 坐标为()16
，；
答：BM CM - 点M 坐标为()16
，； （3）解：设2(,23)P m m m -++
PD x ⊥轴 P 为第一象限内抛物线上一点 0m ∴> OD m = 223PD m m =-++ 1AD OA OD m ∴=+=+ PDA 与COA 相似 ∴OA AD OC PD =或OA PD OC AD
= ∴21
1323m m m +=-++或212331
m m m -++=+． 解得：10m = 21m =-或31m =- 48
3m =．
0m >
83
m ∴=． PDA ∴与COA 相似 满足条件的P 点坐标为81139⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 9．（1）解：①(0,8)C 则设抛物线解析式为28y ax bx =++
把A 、B 两点坐标代入可得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩
解得：12a b =-⎧⎨=⎩
①抛物线解析式为228y x x =-++；
（2）解：①点P 在抛物线上
①可设()228P t t t -++，
过P 作PE x ⊥轴于点E 交直线BC 于点F 如图
①(40)B ，
(08)C ， 设直线BC 解析式为8y kx =+
则048k =+
解得2k =-
①直线BC 解析式为28y x =-+
①(28)F t t -+，
①()
2228(28)4PF t t t t t =-++--+=-+ ①1111()2222PBC S PF OE PF BE PF OE BE PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅△ ()221442(2)82
t t t =-+⨯=--+ ①当2t =时 PBC S 最大值为8 此时2288t t -++=
①当P 点坐标为(2,8)时 PBC 的最大面积为8； （3）解：设(0)Q m ，
①=90AOC ︒∠
①分AOC QOB ∽△△和AOC BOQ ∽△△两种情况 当AOC QOB ∽△△时
①OA OC OQ OB
= 即284m = 解得1m =±
①点Q 的坐标为()01，或()01-，
； 当AOC BOQ ∽△△时 ①OA OC OB OQ
= 即284m = 解得16m =±
①点Q 的坐标为()016
，或()016-，； 综上 点Q 的坐标为()016
，或()016-，或()01，或()01-，． 10．（1）解：①该抛物线过点()02C -，
①可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将()40A ，
()10B ，代入 得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩
解得1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①此抛物线的解析式为215222
y x x =-+-； （2）解：存在；
设P 点的横坐标为m 则P 点的纵坐标为215222
m m -+- 由题意 4m > 如图 4AM m =- 215222
PM m m =-+
①90COA PMA ∠=∠=︒ ①12
PM OC AM OA ==或①2PM OA AM OC ==
当12PM OC AM OA ==时 则21522422m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 解得：1224m m ==， （都不符合题意 舍去）； 当2PM OA AM OC
==时 则()21522422m m m -+=- 解得：1254m m ==，（4m =不符合题意舍去）
此时 2152222
m m -+-=- 则()52P -， 综上所述 符合条件的点P 为()52-，
． 11．（1）解：把点()1,0A - ()3,0B 代入24y ax bx =+-中
得：409340a b a b --=⎧⎨+-=⎩
解得：4383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
则抛物线的表达式为则抛物线的表达式为：248433
y x x -=-； （2）存在 理由如下：
由抛物线解析式可知：点()0,4C - 设BC 的表达式为：4y kx =-
将点B 的坐标代入上式得：034k =- 解得：43k = 则直线BC 的表达式为：443
y x =- 设点4,43E x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 则点248,433M x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
则224
484(4)(4)43333
ME x x x x x =----=-+ ①403
-< 故ME 有最大值 当32x =
时 ME 的最大值为3 此时 点3,52M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）存在 理由如下：
DEB CEM M C E ∠=∠，，，为顶点的三角形和BDE △相似 ①当CME ∠为直角时
则点C 、M 关于抛物线对称轴对称 而抛物线的对称轴为32
x =
则点()3,4M -；
①当90ECM ∠=︒时 如图：
由（1）得()0,4C - 设直线BC 的解析式为： 14y k x =- 把()3,0B 代入得1340k -=
143
k ∴= 设直线CM 的解析式为：24y k x =- 易知：12
1k k
234k ∴=- 故直线CM 的表达式为：344
y x =-- 联立抛物线表达式和上式得：248344334x x x --=-- 解得：0x =（舍去）或2316x =
即点23325(,)1664
M -； 综上 点M 的坐标为：23325,1664⎛⎫-
⎪⎝⎭或()3,4-
12．（1）解：令2132022
x x -++= 解得11x =- 24x =
①点A 在点B 的左侧
①()10A -，
()40B ， 将0x =代入213222
y x x =-++ 可得：2y =
①()02C ，
； （2）证明：如图 过点D 作DD x '⊥轴于点D
根据题意 可得：DD OC '∥
①BDD BCO '∽ ①25
BD DD BD BO CO BC ''=== ①()40B ，
()02C ， ①4BO = 2CO =
①2425
BD DD ''== 解得85BD '= 45
DD '= ①125
OD BO BD ''=-=
①12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线213222
y x x =-++ 可知对称轴为直线32x = ①点C 、C '关于抛物线对称轴对称
①()32C '，
设直线C D '的解析式为()0y kx b k =+≠
把()32C '，、12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入解析式 可得：321245
5k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：24
k b =⎧⎨=-⎩ ①直线C D '的解析式为24y x =-；
（3）解：①()02C ，
①点C 关于x 轴的对称点M 的坐标为()02-，
设直线BM 的解析式为()0y ax n a =+≠
把()40B ，
()02M -，代入解析式 可得：402
a n n +=⎧⎨=-⎩ 解得：122
a n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ①直线BM 的解析式为122
y x =- 设点N 的坐标为()0m ， 则213222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，、()12142Q m m m ⎛⎫--≤≤ ⎪⎝⎭
， ①PQ x ⊥轴
①OM PQ ∥
①BMO BQP ∠=∠
①90BOM ∠=︒ 而90BQP ∠<︒
①可分以下两种情况：
①如图2 连接BP 当90QBP MOB ∠=∠=︒时 PBQ BOM ∽
①BPQ QBN ∠=∠
①90BNP QNB ∠=∠=︒
①BNP QNB ∽ ①PN NB
BN NQ = ①21
3
2
4221422m m m
m m
++-=-- ①()
213
24221442m m m
m m ++-=-- ①21
3
2
2224m m m ++=-
解得：4m =或3m =
检验：当4m =时 40m -= 等式不成立 且点B 、P 、Q 重合 BPQ 不存在
此情况舍去；
将3m =代入213
222y x x =-++ 可得2y =
①()32P ，
； ①如图3 当90BPQ MOB ∠=∠=︒时 此时点P 与点A 、点N 重合 BOM BPQ ∽
此时1m =- 点P 的坐标为()10
-，； 综上所述 以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 点P 的坐标为()32，
或()10-，．
13．（1）解：①抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于点()3,0B -
()1,0C ①9360
60a b a b --=⎧⎨+-=⎩
解得：2
4a b =⎧⎨=⎩
①抛物线为：2246y x x =+-；
（2）解：①2246y x x =+-
当0x =时 y =-6
①()0,6A -
设直线AB 为y kx n =+
①6
30n k n =-⎧⎨-+=⎩ 解得：2
6k n =-⎧⎨=-⎩
①直线AB 为26y x =--
设点P 的横坐标为()30t t -<<．
①()2,246P t t t +- (),26D t t --
①222624626PD t t t t t =----+=--
当()63222
t -=-=-⨯-时 PD 的最大值为：233926222
⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）解：如图 连接AP
①BDH ADP ∠=∠ 而DPA 与DHB △相似
①分两种情况讨论：
当DPA DHB ∽时 ①DP AP DH BH
= 90APD BHD ∠=∠=︒ ①AP x ∥轴 OH AP =
①A P 关于抛物线的对称轴对称
①()3,0B - ()1,0C
①抛物线的对称轴为直线3112
x -+=
=- 而()0,6A - ①()2,6P --；
如图 当DHB DAP ∽时 过A 作AQ PH ⊥于Q
①AQ OH = 6AO QH ==
设AQ OH n ==
①DHB DAP ∽
①90DHB DAP ∠=∠=︒
①90ADP APD APQ QAP ∠+∠=∠+∠=︒
①PAQ ADP ∠=∠
由PH y ∥轴 可得ADP BAO ∠=∠
①PAQ BAO ∠=∠ ①31tan tan 62
PAQ BAO ∠=∠=
= ①12PQ AQ 即12PQ n = ①1,62P n n ⎛⎫--- ⎪⎝
⎭ ①()()2124662
n n n -+⨯--=-- 解得：74
n =
（0n =舍去） ①755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上：()2,6P --或755,4
8P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 14．（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将点(2,0)A - (3,3)B - (0,0)O 代入可得：
4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩
解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以函数解析式为：22y x x =+；
（2）证明：①()22211y x x x =+=+-
①抛物线的顶点C 的坐标为()1,1--
①()0,0O ()3,3B -
①()()22303018OB =--+-= ()()2210102OC =--+--=
()()2
2313120BC =---+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ①222OB OC BC +=
①BOC 是直角三角形；
（3）解：假设存在点P 使以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似 如图
设(,)P x y 由题意知0x > 0y > 且22y x x =+
由（2）知 BOC 为直角三角形 90COB ∠=︒ 且:1:3OC OB = ①若PMA COB ∽ 则
AM PM BO CO
= 即223(2)x x x +=+ 得 113
x = 22x =-（舍去） 当13x =时 79y = 即1(3P 7)9； ①若PMA BOC ∽
AM PM OC BO
= 即：223(2)x x x +=+ 得：13x = 22x =-（舍去）当3x =时 15y = 即(3,15)P ．
①存在 当点P 坐标为17,39⎛⎫ ⎪⎝⎭
或(3,15) 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似． 15．（1）解：①2616y ax ax a =--经过()04C ，
①164a -= 解得14
a =- ①213442
y x x =-++； 令0y = 即2134=042
x x -++ 解得：122,8x x =-=
①()()2,0,8,0A B -
（2）设直线BC 的关系式为y kx b =+ ()8,0B ()04C ，
①408b k b =⎧⎨=+⎩
解得124
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ①直线BC 的方程为142
y x =-+． 如图 过点P 作PG x ⊥轴于点G PG ，交CB 于点E
①PG CO ∥
①PED OCB ∠=∠
又90PDE COB ∠=∠=︒
①PDE BOC ∽△△ ①PD PE BO BC
= ①8,4BO CO ==
①BC =
①BO PD PE PE BC =⨯ ①当线段PE 最长时 PD 的长度最大． 设213(4)42
P t t t -++， 则1(,4)2E t t -+． 即213442
PG t t =-++ 142EG t =-+． ①22112(4)444
PE PG EC t t t =-=-+=--+()08t <<． 当4t =时 PE 有最大值是4 此时P 点坐标为()46，
．
①25854PD =
= 设1,42D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ①()2
2
21854462m m ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得12125
m m == ①111214442255
m -+=-⨯+= 即点D 的坐标为121455⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． ①①284OA OB OC ===，，
①2222420AC =+= ()2
228100AB =+= 2224880BC =+=． 可得222AC BC AB =＋．
①90ACB ∠=︒．
①COA BOC ∽．
故当PDC △与COA 相似时 则PDC △与BOC 相似． ①PCD CBO ∠∠＝或PCD BCO ∠∠＝．
（i ）如图 当PCD CBO ∠=∠时
即PDC COB ∽
①PCD CBO ∠=∠
①CP AB ∥
①()04C ，
①4P y =． ①2134442
t t -++= 解得1260x x ==，（舍）
即PDC COB ∽时 (64)P ，
； （ii ）当PCD BCO ∠=∠时 即PDC BOC ∽
如图 过点P 作PG x ⊥轴于G 与直线BC 交于F
①PF OC ∥
①PFC BCO ∠=∠
①PCD PFC ∠=∠
①PF PC =. 设213(4)42P n n n -++， 则2124
PF n n =-+ 过点P 作y 轴的垂线 垂足为N
在Rt PNC △中 2
2222243213131344421644PC PN NC n n n n n n ⎡⎤=+=+-++-=-+⎢⎥⎣⎦（） ①22PF PC = 即2243211313(2)41644
n n n n n -+=-+ 解得120=3=n n ， (舍)．
即PDC BOC ∽时 25(3)4
P ，． ①当PDC △与COA 相似时 点P 的坐标为(64)P ，或2534P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．。