第十章 弯曲内力讲解

M1 26kN m
8 kN
1
2
12 kN /m
A
2m
1.5 m B
1
2
RA 1. 5 m 1. 5 m
3m
RB
8 kN
1. 5 m 1
截面形心
A
RA
2 m 1 O M1 Fs1 M 2
2 12 kN /m
B
1.5 m
Fs22
RB
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弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
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qa
Fy 0,
RB


1 4
qa
q1 2
3 4m=3qa2
A
B
C
D
a 12a 3 4 a
（2）求剪力
RB
RD
FS1 qa
FS 2
FS 3


qa RB qa
qa

RB


5 4
( qa
1 4
qa)


5 4
qa
M3

qa

3 2
a

RBa
3 qa2 ( 1 qa)a 7 qa2
A c1 AM A FA Fs A
0
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例 3:已知:P 、M=Pl、l 求：横截面D- 、E、A+的剪力和弯矩。
M Pl
P
A
E
B
D
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Fy 0 FA Fs A 0
二、平面弯曲的概念 纵向对称面
横截面对称轴
变形前的轴线 变形后的轴线
纵向对称平面： 梁的截面对称轴与轴线构成的平面
若梁上的外载荷都作用在此对称平面内，则梁弯曲变形后的轴线 为纵向对称平面内的平面曲线。
发生平面弯曲的条件：
—— 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。
截面具有纵向对称平面；
外力作用于纵向对称平面内。 材料力学 —— 主要研究平面弯曲的情形。
FY 0, FA P1 Fs 0
Fs FA P1
MO 0, FAx P1(x a) M 0
M FAx P1(x a)
弯曲内力
剪力 Fs 弯矩 M
y a P1
P2
P3
m
x
A
xm
B
FA
y
a P1
m
FB
截面形心O
A
Mx
FA
x m Fs
P2
P3
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§10-2 梁的计算简图
一、梁的支座分类 梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式
1、固定端 限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。 3个约束，0个自由度
8 kN
1
2
12 kN /m
A
2m
1.5 m B
RA
1. 5 m
1
1. 5 m
2
3m
RB
8 kN
1. 5 m 1
截面形心
A
RA
2 m 1 O M1 Fs1 M 2
2 12 kN /m
B
1.5 m
Fs
2
2
RB
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3. 剪力、弯矩的正负与横向外力的关系
M2
B
1.5 m
2
Fs 2
RB
（2`）弯矩： 取左半部分
取右半部分
M1 RA 2 80.5
M2 121.50.75 RB 1.5
向上的外力在截面上引起正的弯矩； 向上的外力在截面上引起正的弯矩；
向下的外力在截面上引起负的弯矩。 向下的外力在截面上引起负的弯矩。
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（1`）剪力：
取左半部分 Fs RA 8
向上的外力在截面上引起正的剪力；
8 kN
1. 5 m 1
截面形心
A
RA
2m
O
1 M1
Fs1
向下的外力在截面上引起负的剪力。
取右半部分 Fs 121.5 RB
向下的外力在截面上引起正的剪力； 向上的外力在截面上引起负的剪力。
2 12 kN /m
Fs
Fs
Fs M l l
Fs
M l l


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例：图示外伸梁，试求指定截面的内力。
解：（1）M先B 求0约, 束反力RD

5 4
2、固定铰支座 限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。
2个约束，1个自由度 3、活动铰支座 使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。
1个约束，2个自由度
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二、梁的载荷分类 1、集中载荷 载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。
§10. 4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
一、剪力方程与弯矩方程
x—— 表示梁横截面的位置
FS FS (x)
——剪力方程
M M (x) ——弯矩方程
表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。
二、剪力图与弯矩图
以纵坐标表示剪力(FS)与弯矩(M)，横坐标 x 表示梁横截面的 位置，得到的剪力和弯矩的变化曲线，称为剪力和弯矩图。 注意：要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在
2 — 2截面：
Y 0, Fs2 121.5 RB 0
Fs2 11kN
MO 0,
M2 121.50.75 RB 1.5 0
M2 30kN m
说明：
取左段时： Fs向下假设为正； M逆时针假设为正。
取右段时： Fs向上假设为正； M顺时针假设为正。
例 2：图示简支梁，试求指定截面的剪力Q和
弯矩M 。
a
解：（1）先求约束反力； RA 、 RB
RA
（2）求指定截面Fs和M
2 — 2截面：
Y 0, RA P Fs2 0 Fs2 RA P a
MO 0, RAx2 P(x2 a) m1 m2 M2 0
弯曲内力
§10-1 引言
一、弯曲变形的实例
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q
P
1.受力特点：外力垂直于杆件的轴线。 2.变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线
以弯曲变形为主的杆件——梁
m
M
x
m Fs
FB
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剪力、弯矩的数值： 剪力 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和； 弯矩 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；
二、剪力和弯矩的正负号规定
—— 按截面处的梁微段的变形规定
M2 RAx2 P(x2 a) m1 m2 RA
1 — 1截面：
Y 0, Fs1 RB 0
Fs1 RB
MO 0, RB (l x1) m1 m2 M1 0
M1 Fs1
M1 RB (l x1) m1 m2
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FA
M A 0 M A FA M 0
解得： Fs A 2P, M A Pl
同理：
FsD P M D 0
0.5l 0.5l
P D D M D c2 Fs D 0
l FB
M A c1 AM A
FA Fs A 0
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2、分布载荷
沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q 表示单位长 度上的载荷,称为载荷集度. 如风力,水力,重力. 特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力
3、集中力偶
集中载荷
分布载荷
集中力偶
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三、几种静定梁的基本形式 利用平衡方程可确定全部支反力的梁，称为静定梁. 仅利用平衡方程不能确定全部支反力的梁，称为静不定梁.
Fs
Fs
Fs Fs（－）
2. 弯矩
使梁微段发生上凹下凸变形 的弯矩 M 为正，反之为负。
M
M
（＋） M （－） M
上压下拉 (上凹下凸) 为正
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例 1：图示简支梁，试求指定截面的剪力Fs和
弯矩M 。 解：（1）先求约束反力；
M B 0, RA 6 8 4.5 1231.5 0
RA 15kN
Y 0, RA 8 123 RB 0
RB 29kN
（2）由截面法求Fs、M 1 — 1截面：
Y 0, RA 8 Fs1 0
Fs1 7kN
MO 0, RA 2 80.5 M1 0
1、简支梁 一端为固定铰支座一端为活动铰支座。
2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
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§10-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤：（1）先求约束反力FA 、FB ； （2）由截面法求横截面上的内力； （如：求 m — m 截面的内力）
或2
4
4
FS 4

qa

RB
RD


5 4
qa
M3 m RDa
（3）求弯矩
M1
M2


qa

1 2
a
Βιβλιοθήκη 1 2qa1 2
a

RB

qa 2
0

1 2
qa
2

3qa 2

5 4
qa 2


7 4
qa 2
M4

RD
a

5 4
qa a

5 4
qa 2
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1. 剪力 绕梁微段顺时针转动的
剪力Fs为正，反之为负。 Fs
左侧截面：向下的Fs为正，向上的Fs为负；
右侧截面：向上的Fs为正，向下的Fs为负。 Fs
左上右下为正
Fs （＋） Fs
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Fs
Fs
Fs Fs（－）
2. 弯矩 使梁微段发生上凹下凸变形
取右半部分
逆时针转向的外力偶引起正的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负的弯矩
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M2 Fs 2
RB
例 :已知:P 、M=Pl、l 求：横截面D- 、E、A+的剪力和弯矩。
解：（1）计算支反力
M Pl
P
A
E
B
M A 0 FBl P 2l Pl 0
D
Y 0 FB FA P 0
0.5l 0.5l
l
解得： FA 2P, FB 3P FA M
FB M
（2）计算截面 E 的剪力和弯矩
A
E ME
Y 0
FA FsE 0
0.5l FsE
M E 0 ME FA 0.5l M 0 FA
解得：
FsE 2P, ME 0
二、剪力和弯矩的正负号规定
—— 按截面处的梁微段的变形规定
1. 剪力 绕梁微段顺时针转动的
剪力Fs为正，反之为负。 Fs
左侧截面：向下的Fs为正，向上的Fs为负；
右侧截面：向上的Fs为正，向下的Fs为负。 Fs
左上右下为正
Fs （＋） Fs
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RB
M2 Fs 2
RB
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Fs2 RA P
a
M2 RAx2 P(x2 a) m1 m2 RA
Fs1 RB
M1 RB (l x1) m1 m2
弯矩： 取左半部分 顺时针转向的外力偶引起正的弯矩
M1 Fs1
逆时针转向的外力偶引起负的弯矩
的弯矩 M 为正，反之为负。
截面左侧：逆时针转向的弯矩M为正 顺时针转向的弯矩M为负
截面右侧：顺时针转向的弯矩M为正 逆时针转向的弯矩M为负
M
M
（＋） M （－） M
上压下拉 (上凹下凸) 为正
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剪力、弯矩的数值： 剪力 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和； 弯矩 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；