最新黄冈中学中考数学二模试题(有配套答案)

湖北省黄冈中学中考数学二模试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．实数﹣2016的相反数是（）
A．2016 B．﹣2016 C．±2016 D．
2．下列各数中是有理数的是（）
A． B．4πC．sin45°D．
3．下列计算中，不正确的是（）
A．﹣2x+3x=x B．6xy2÷2xy=3y
C．（﹣2x2y）3=﹣6x6y3D．2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2
4．一种细胞的直径约为0.00000156米．将0.00000156用科学记数法表示应为（）
A．1.56×106B．1.56×10﹣6C．1.56×10﹣5D．15.6×10﹣4
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
6．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为（）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）
A．B．C． D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．计算（）÷= ．
9．已知a﹣b=2，ab=1，则a2b﹣ab2的值为．
10．不等式组的解集是．
11．若关于x的方程无解，则m的值是．
12．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若CF=1，FD=2，则BC的长为．
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=10，AD=8，则AE的长为．
14．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．先化简，再求值：（﹣），其中a=3．
16．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长．已知该养殖户第一年的可变成本为3万元，如果该养殖户第三年的养殖成本为7.63万元，求可变成本平均每年增长的百分率．
17．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
18．现有形状、大小、颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”、“2”、“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次在从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字．请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率．19．为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
组别身高（cm）
A x＜150
B 150≤x＜155
C 155≤x＜160
D 160≤x＜165
E x≥165
根据图表中信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在组（填组别序号），女生身高在B组的人数有人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有人，身高人数最多的在组（填组别序号）；（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x＜165之间的学生约有多少人？
20．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．
21．某日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M、N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向：航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．（结果保留根号）
22．如图，点P（+1，﹣1）在双曲线y=（x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y=（x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标．
23．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480km的目的地，乙车比甲车晚出发2h（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲车出发不足2h因故障停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决以下问题：（1）求乙车所行路程y与时间x之间的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇．（写出解题过程）
24．已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒．
（1）求经过O，A，C三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上找一点M使△MAC的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似；
（4）是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．
湖北省黄冈中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．实数﹣2016的相反数是（）
A．2016 B．﹣2016 C．±2016 D．
【考点】实数的性质．
【分析】根据相反数定义可以得到实数﹣2016的相反数是2016．
【解答】解：实数﹣2016的相反数是2016，
故选A．
【点评】本题考查实数的性质，解题的关键是明确相反数的定义．
2．下列各数中是有理数的是（）
A． B．4πC．sin45°D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】要想解决此题，首先明确有理数的分类，其次牢记特殊角的三角函数值．
【解答】解：A、==3，是无理数；
B、4π是无理数；
C、sin45°=是无理数；
D、==2，是有理数；
故选D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及有理数的分类，解题时熟记特殊角的三角函数值是关键，此题难度不大，易于掌握．
3．下列计算中，不正确的是（）
A．﹣2x+3x=x B．6xy2÷2xy=3y
C．（﹣2x2y）3=﹣6x6y3D．2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2
【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【分析】根据同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及整式的乘法计算即可．
【解答】解：A、﹣2x+3x=x，正确；
B、6xy2÷2xy=3y，正确；
C、（﹣2x2y）3=﹣8x6y3，错误；
D、2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2，正确；
故选C．
【点评】此题考查同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及整式的乘法，关键是根据法则进行计算．
4．一种细胞的直径约为0.00000156米．将0.00000156用科学记数法表示应为（）
A．1.56×106B．1.56×10﹣6C．1.56×10﹣5D．15.6×10﹣4
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000156=1.56×10﹣6．
故选B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，
解得：k＜2，且k≠1．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
6．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为（）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线的性质得出结论即可．
【解答】解：∵△BCD中，∠1=50°，∠2=60°，
∴∠4=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣60°=70°，
∴∠5=∠4=70°，
∵a∥b，
∴∠3=∠5=70°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）
A．B．C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b=﹣a，然后根据x=﹣1时函数图象在x轴的上方求出b、c的关系，最后确定出b2﹣4ac与c﹣2b的正负情况，从而确定出一次函数图象与反比例函数图象即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=﹣=，
∴b=﹣a＜0，
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，
∴﹣b﹣b+c＞0，
解得c﹣2b＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第一三象限．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，此类题目通常根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及x的特殊值求出a、b、c的关系是解题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．计算（）÷= 6 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式=（12﹣6）÷
=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
9．已知a﹣b=2，ab=1，则a2b﹣ab2的值为 2 ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】直接将原式提取公因式ab，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：∵a﹣b=2，ab=1，
∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．不等式组的解集是x＞4 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＞4，
故不等式组的解集为：x＞4．
故答案为：x＞4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．若关于x的方程无解，则m的值是 2 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x=1，再按此进行计算．
【解答】解：关于x的分式方程无解即是x=1，
将方程可转化为m﹣1﹣x=0，
当x=1时，m=2．
故答案为2．
【点评】本题是一道基础题，考查了分式方程的解，要熟练掌握．
12．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若CF=1，FD=2，则BC的长为2．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
∵∠ENG=∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=CF=，
∴NG=，
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，
∴BN=BG﹣NG=3﹣=，
∴BF=2BN=5，
∴BC===2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=10，AD=8，则AE的长为．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出，可解得DE的长，由AE=AD﹣DE求解即可得出答案．
【解答】解：连接BD、CD，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD===6，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=6，
∴∠CBD=∠DAB，
∴△ABD∽△BED，
∴，即，
解得DE=，
∴AE=AD﹣DE=8﹣=；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．
14．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2 ．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB•sin60°=4×=2；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP===2，
在直角三角形ABP中，
AP==2，
情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为：2或2或2．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．先化简，再求值：（﹣），其中a=3．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=•
=•
=a．
当a=3时，原式=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
16．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长．已知该养殖户第一年的可变成本为3万元，如果该养殖户第三年的养殖成本为7.63万元，求可变成本平均每年增长的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】由题意可知第三年的可变成本是7.63﹣4，从而可以列出相应的方程，解方程即可解答本题．
【解答】解：设可变成本平均每年增长的百分率为x，
3（1+x）2=7.63﹣4
解得，x=0.1或x=﹣2.1（舍去），
即可变成本平均每年增长的百分率是10%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程．
17．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF=AF=2，然后计算CF﹣DF即可．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ABDF为菱形，
∴DF=AF=2，DF∥AB，
∴∠1=∠BAC=45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF=AF=2，
∴CD=CF﹣DF=2﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
18．现有形状、大小、颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”、“2”、“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次在从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字．请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率．【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的情况，然后由概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3种情况，
∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为： =．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
19．为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
组别身高（cm）
A x＜150
B 150≤x＜155
C 155≤x＜160
D 160≤x＜165
E x≥165
根据图表中信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 D 组（填组别序号），女生身高在B组的人数有12 人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有16 人，身高人数最多的在 C 组（填组别序号）；（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x＜165之间的学生约有多少人？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果；
（3）分别用男、女生的人数，相加即可得解．
【解答】解：（1）∵在样本中，共有2+4+8+12+14=40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组，
女生身高在B组的人数有40×（1﹣30%﹣20%﹣15%﹣5%）=12人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有4+12=16人，身高人数最多的在C组；
（3）500×+480×（30%+15%）=541（人），
故估计身高在155≤x＜165之间的学生约有541人．
故答案为：D，12；16，C．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）连接OC，证明OC∥AE．由此可得∠CAD=∠OCA，再证明∠OCA=∠OAC即可．
（2）因为：证明△PCA与△PBC相似，由其性质可推出AB与PB的数量关系．
【解答】（1）证明：连接OC．如下图所示：
∵PE与⊙O相切，
∴OC⊥PE．
∴∠OCP=90°．
∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°=∠OCP．
∴OC∥AE．
∴∠CAD=∠OCA．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠CAD=∠OAC．
∴AC平分∠BAD．
（2）PB，AB之间的数量关系为AB=3PB．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC．
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC．
∴PC2=PB•PA．
∵PB：PC=1：2，
∴PC=2PB．
∴PA=4PB．
∴AB=3PB．
【点评】本题考查了切线的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解圆的切线的性质与综合各知识点联系．
21．某日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M、N为该岛的东西两端点）最近
距离为12海里（即MC=12海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向：航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN﹣CM即可求解．
【解答】解：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，
则AC=CM=12（海里），
∴BC=AC﹣AB=12﹣4=8（海里），
直角△BCN中，CN=BC•tan∠CBN=BC=8（海里），
∴MN=CN﹣CM=（8﹣12）海里．
答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是（8﹣12）海里．
【点评】本题考查了三角函数，正确求得BC的长度是关键．
22．如图，点P（+1，﹣1）在双曲线y=（x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y=（x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标．
【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△CFB≌△BOA≌△AED，易得C（b，a+b），D（a+b，a），继而求得a的值，则可求得点C的坐标；
【解答】解：（1）点P（，）在双曲线上，
将x=，y=代入解析式可得：
k=2；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，
∴∠FBC+∠OBA=90°，
∵∠CFB=∠BOA=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
在△CFB和△AOB中，
，
∴△CFB≌△AOB（AAS），
同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，
∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，
设A（a，0），B（0，b），
则D（a+b，a）C（b，a+b），
可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，
解得：a=b=1．
所以点C的坐标为：（1，2）．
【点评】此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480km的目的地，乙车比甲车晚出发2h（从甲车出发时开始
计时）．图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲车出发不足2h因故障停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决以下问题：（1）求乙车所行路程y与时间x之间的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇．（写出解题过程）
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由图可看出，乙车所行路程y与时间x的成一次函数，使用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）由图可得，交点F表示第二次相遇，F点横坐标为6，代入（1）中的函数即可求得距出发地的路程；（3）交点P表示第一次相遇，即甲车故障停车检修时相遇，点P的横坐标表示时间，纵坐标表示离出发地的距离，要求时间，则需要把点P的纵坐标先求出；从图中看出，点P的纵坐标与点B的纵坐标相等，而点B在线段BC上，BC对应的函数关系可通过待定系数法求解，点B的横坐标已知，则纵坐标可求．
【解答】解：（1）设乙车所行路程y与时间x的函数关系式为y=k1x+b1，
把（2，0）和（10，480）代入，
得，解得，
∴y与x的函数关系式为y=60x﹣120；
（2）由图可得，交点F表示第二次相遇，
而F点横坐标为6，此时y=60×6﹣120=240，
∴F点坐标为（6，240），
∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米；
（3）设线段BC对应的函数关系式为y=k2x+b2，
把（6，240）、（8，480）代入，
得，
解得，
∴y与x的函数关系式为y=120x﹣480，
∴当x=4.5时，y=120×4.5﹣480=60．
∴点B的纵坐标为60，
∵AB表示因故停车检修，
∴交点P的纵坐标为60，
把y=60代入y=60x﹣120中，
有60=60x﹣120，
解得x=3，
∴交点P的坐标为（3，60），
∵交点P表示第一次相遇，
∴乙车出发3﹣2=1小时，两车在途中第一次相遇．
【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，对学生能力要求比较高．
24．已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒．
（1）求经过O，A，C三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上找一点M使△MAC的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似；
（4）是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，由已知条件利用勾股定理求AC，利用面积法求CD，利用勾股定理求OD，确定C点坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）如图抛物线对称轴与直线OC的交点就是点M，此时△MAC周长最小，求出直线OC解析式，即可解决问题．
（3）根据P点是否在线段OA上分类：当0≤t≤2.5时，和当t＞2.5时，判断相似是否成立，利用相似比求符合条件的t的值；
（4）当P点在线段OA上，在A点的左侧时AP=AQ，求出t即可，当P在A点的右侧AP=AQ时．求出t即可．点P在A右侧：QA=QP时，求出t即可，点P在A右侧：PA=PQ时，求出t即可．
【解答】解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，
得AC=3，
由面积法，得CD×OA=OC×AC，
解得CD==，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD==，
∴C（，），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x．
（2）如图抛物线对称轴与直线OC的交点就是点M，此时△MAC周长最小．∵直线OC解析式为y=x，
抛物线y=﹣x2+x，的对称轴为x=，
∴点M坐标为（，）．
（3）当0≤t≤2.5时，P在OA上，∠OAQ≠90°，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，
①若∠APQ=90°，则△AQP∽△OAC，
故==，
∴=，
∴t=，
∵t＞2.5，
∴t=符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，
故==，
∴=，
∴t=，
∵t＞2.5，
∴t=符合条件．
综上可知，当t=或时，△OAC与△APQ相似．
（4）有四种情况：
①点P在A左侧：AP=AQ时，t=5﹣2t，解得t=，
②点P在A右侧：AP=AQ时，2t﹣5=t，解得t=5，
③点P在A右侧：QA=QP时，（2t﹣5）=t，解得t=，
④点P在A右侧：PA=PQ时，（2t﹣5）=t，解得t=．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用勾股定理，面积法，相似三角形的性质解题，学会分类讨论，学会把问题转化为方程的思想解决问题，属于中考压轴题．。