高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3直线与平面的夹角课堂导学案

3.2.3 直线与平面的夹角
课堂导学
三点剖析
一、最小角定理的应用
【例1】 已知四棱锥P-ABCD （如右图），底面是边长为2的正方形.侧 棱PA⊥底面ABCD ，PA=a,M 、N 分别为AD 、BC 的中点，MQ⊥PD 于Q. (1)直线PC 与平面PBA
所成角的正弦值为
3
3
.求PA 的长； (2)PA=2,求PM 与平面PCD 所成角的正弦值.
解：(1)PC =（2，2，-a ），平面PBA 的一个法向量为n=AM =(0,1,0).
∵直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为
3
3
， ∴|cos〈,n 〉|=
3
3, 即3
3|010)(222
|
2
22222=
++•-++a ∴a=2,即PA=2.
(2)PM =（0，1，-2），=（0，-2，2），（2，0，0）. 设平面PCD 的法向量为n =(x,y,1),则
⎪⎩⎪⎨
⎧=•+•+•=•=•+•-+•=•.
01002,
012)2(0y x n y x OP n 解得⎩⎨
⎧==.
1,
0y x ∴n =(0,1,1).
∴cos〈PM ,n 〉=
10
102
51-
=•±-. ∴PM 与平面PCD 所成角的正弦值为
10
10.
温馨提示
最小角定理的应用注意形式，θ1,θ2所处的位置. 二、利用三垂线定理求线面角 【例2】 如右图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点.
(1)证明：PA∥平面EDB ；
（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值. (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于O.连结EO. ∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点.
在△PAC 中,EO 是中位线, ∴PA∥EO.
而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB. 所以,PA∥平面EDB.
(2)解：作EF⊥DC 交DC 于F.连结BF. 设正方形ABCD 的边长为a, ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥DC.
∴EF∥PD,F 为DC 的中点.
∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. 在Rt△BCF 中, BF=a a a CF
BC 2
5
)2(222
2
=+=+.
∵EF=
21PD=2
a
,∴在Rt△EFB 中, tan∠EBF=
55,则BE 与面ABCD 所成角的正切值为5
5
. 温馨提示
解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷. 三、利用向量求线面角
【例3】 如右图所示的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1∶AB=2∶1,E、F 分别为面A 1C 1和面BC 1的中心.求
（1）异面直线CE 与AF 所成的角； （2）A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角；
解：如右图，以D 为原点，DA 为Ox 轴正方向，DC 为Oy 轴正方向，DD 1为Oz 轴正方向建立空间直角坐标系.
∵A 1A∶AB=2∶1,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），E （1，1，4），F （1，2，2），A 1（2，0，4），B 1（2，2，4），∴CE =（1，-1，4），AF =（-1，2，2），F A 1=（-1，2，-2），F B 1=（-1，0，-2），A A 1=（0，0，-4），
EB =（1，1，-4）.
(1)设异面直线CE 和AF 所成的角为α,则 218
5
9
18821=
⨯+--=
∴α=arccos
218
5
,此即异面直线CE 和AF 所成的角. (2)∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，
∴A 1F 与平面BCC 1B 1，所成的角为∠A 1FB 1（设为β）. 则cosβ=
|
|||1111F B F A B A +•
=
594
01⨯++
=
3
5. ∴β=arccos
3
5.
此即为A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角. 温馨提示
充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.
各个击破
类题演练 1
PA 、PB 、PC 从P 引出三条射线每两条的夹角都是
3
π
，则直线PC 与面PAB 所成角的余弦值为多少？
解析：设点C 在面PAB 上的射影为H ，则∠HPA=30°=θ2,∠APC=θ=60°,θ1=∠CPH 即为所求的线面角，有
cosθ1·cosθ2=cosθ，得cosθ1=33
30cos 60cos =
.
变式提升 1
面α垂直面β,交线为CD ，A∈CD,AP ⊂α,∠DAP=30°,QA ⊂β,∠DAQ=30°,求∠PAQ 的大小.
解析：过P 作PM⊥CD,则PM⊥β,即∠PAM 为直线AP 与β所成的角，设∠PAM=θ1,∠MAQ=θ2,∠PAQ=θ,有cosθ=cosθ1cosθ2，即cosθ=cos30°·cos30°=4
3,得θ=∠PAQ=arccos
4
3.
类题演练 2
在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,侧棱AA 1=AC=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. 求AB 与平面ABD 所成角的大小.
解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角，设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，因为D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC⊥平面ABC ，所以CDEF 为矩形.连结DF,G 是△ADB 的重心,EF=1,FD=3,ED=2,EG=
3
6
,则FC=ED=2,BE=3,则sin∠EBG=
EB EG =3
2,所求的角为arcsin 32.
变式提升 2
如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上
,AM=MB=MN.
若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,
∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此,△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB.
∴NC=NA=NB,因此,N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,
连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
在Rt△NHB
中,cos∠NBH=
3
6
2
2
3
3
=
=
AB
AB
NB
HB
.
类题演练 3
如右图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求CD与平面ADMN所成的角.
解:如右图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz,设BC=1，则A（0，0，0），P（0，
0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，
2
1
,1），D（0，2，0）.
(1）∵PB·DM=（2，0，-2）·（1，-
2
3
，1）=0，
∴PB⊥DM.
(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，
∴PB⊥AD，又因为PB⊥DM，
∴PB⊥平面ADMN.∵〈PB，DC〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.
∵cos〈PB ，CD 〉
=
510|
|||=
DC PB DC PB . ∴CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 5
10. 变式提升 3
如右图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,侧 棱长为2a ，求AC 1与侧面AB 1所成的角.
解:1AA =(0,0,2a).设侧面A 1B 的法向量n =(λ,x,y),所以n ·=0，且n ·1AA =0，∴ax=0,且2ay=0,∴x=y=0,故n =(λ,0,0).
∵1AC =(23-
a,2
a
,2a). ∴cos〈1AC ,n 〉11a
a
3||23
••
-λλ=||2λλ-.
∴sinθ=|cos 〈1AC ,n 〉|=
2
1
,∴θ=30°.。