辽宁省大连市2018届高三下学期第二次模拟考试理数试题Word版含答案

辽宁省大连市2018届下学期第二次模拟考试
高三理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{1,2}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的子集共有（ ） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．8个
2.复数1()z ai a R =+∈在复平面对应的点在第一象限，且||z =z 的虚部为（ ） A ． 2 B ． 4 C ．2i D ．4i
3.对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（ ） A ．,//,//m n m n αβ⊥ B ．,,m n m n α
βα⊥=⊂
C ．//,,m n n m βα⊥⊂
D ．//,,m n m n αβ⊥⊥ 4.执行下图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（ ）
A ． 6
B ． 8 C. 10 D ．12
5.已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ． 9 B ． 17 C. 36 D ．81
6.已知函数2
()2f x x x =--+，则函数()y f x =-的图象为（ ）
7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ． 0.4 2.3y x =+
B ．2 2.4y x =- C. 29.5y x =-+ D ．0.4 4.4y x =-+ 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．
643
C. 16 D ．16
3
9. D 是ABC ∆所在平面内一点，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则01λ<<，01μ<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要 10.命题0:[0,
]4
p x π
∃∈，00sin 2cos2x x a +>是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a <
B ．a <1a ≥ D ．a ≥11.过抛物线2:4
C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，点(1,2)M -，若0MA MB ∙=，则直线l 的斜率k =（ ）
A ． -2
B ． -1 C. 1 D ．2
12.函数1
()ln (0)ax
f x e x a a
=-
>存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a e <≤ B ．210a e <≤ C. 1a e ≥ D ．21
a e
≥
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种．（用数字作答）
14.设12,F F 分别是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，点(,)M a b ，若1230MF F ∠=，
则双曲线C 的离心率为 ．
15.已知函数232
(22),0
()(33),0
x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x （1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是 ．
16.若数列{}n a 满足：120,3a a ==，且1(1)(1)1n n n a n a n +-=+-+*(,2)n N n ∈≥，数列{}n b 满足
18
()11
n n b -=，则数列{}n b 的最大项为第 项．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =． （1）求A ；
（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积．
18. （本小题满分12分）
甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23
，乙胜的概率为
1
3
，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）． （1）求甲获得比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，AC =M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段
1BC 上，且11
3
BQ QC =． （1）证明：//PQ 平面ABC ；
（2）若直线1BA 与平面ABM ，求BAC ∠的大小．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三
角形周长为4+ （1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别
交于,P Q 两点，试探究12PF F ∠和12QF F ∠之间的等量关系并加以证明．
已知函数()ln ()f x x kx k R =+∈． （1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点；
（2）当0k =时，若()0(,)b
f x a a b R x
+-≥∈恒成立，试求11a e b --+的最大值； （3）在（2）的条件下，当1
1a e b --+取最大值时，设1()()a F b m m R b
-=-∈，并设函数()F x 有两个零点12,x x ，求证：212x x e >．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为
4sin ρθ=，从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线1C ．
（1）求1C 的极坐标方程； （2）已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α
=⎧⎨
=⎩（0απ≤<，t 为参数，且0t ≠），l 与C 交于点A ，l 与1C 交
于点B ，且||AB =a 的值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c 均为正实数，且22
21111a b c
++=．
（1）证明：
111
a b c
++≤ （2）求证：222
4441a b c b c a
++≥．
辽宁省大连市2018届高三下学期第二次模拟考试
理数试题答案
一．选择题
1.A
2.A
3.C
4.B
5.D
6.D
7.C
8.D
9.B 10.D 11.C 12.A 二．填空题
13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16. 6 三．解答题
17.解：(Ⅰ)cos sin b a C a C =+
3
C A C A B sin sin 3
3
cos sin sin +
=∴.............................2分 C A C A C A C A sin sin 3
3
cos sin sin cos cos sin +
=+...........................4分
即C A C A sin sin 3
3
sin cos =
又0sin ≠C A A sin 3
3
cos =∴ 即3tan =A 3
π
=∴A ....................................6分
(Ⅱ)A bc c b a cos 22
22-+=
bc c b bc c b 3)(22222-+=-+=∴................................8分 bc
c b 2≥+
416)(2≤+≤+∴c b c b ，即
又由题意知4≥+c b ，
4=+∴c b .(当2==c b 时等式成立.).............................10分
33
sin 2221=⨯⨯⨯=∴∆π
ABC S ............................................12分
18.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件123,A A A ，， 则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：
3128()()327P A ==，2323218()()3327P A C =⋅⋅=,2
3342116()()3381
P A C =⋅⋅=2（），...........3分
所以由互斥事件的概率加法公式可得， 甲获胜的概率为123881664
=()+()+()=++=27278181
P P A P A P A ..................................6分 （Ⅱ）由题意可知，X 的取值为3,4,5， 则3
32191(3)()+()=3
3273P X ===
，232333211210
(4)()+()333327P X C C ==⋅⋅=,
2224218
(5)()()3327
P X C ==⋅=....................................9分
所以，X 的分布列为
X ∴的数学期望108107
=3+4+5=3272727
E
X ⨯⨯⨯（）............................12分
19.证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,
中点为中点，为MC D MA P
PD ∴//AC
又13
1
DC CD =
,=113BQ QC ,
QD ∴//BC
又D QD PD =
PQD 平面∴//平面ABC ...........................................4分
又PQD PQ 平面⊂
PQ ∴//平面ABC .........................................................6分
（Ⅱ）1,,BB BA BC 两两互相垂直，
∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，
设,,BC a BA b ==则各点的坐标分别为：
1(,0,0),(0,,0),(0,,2),(,0,1)C a A b A b M a ，
1(0,,2),(0,,0),(,0,1)BA b BA b BM a ∴===..........................8分
设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =，则00
n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩,0
by ax z =⎧∴⎨
+=⎩，
取
1
x =，则可得平面
ABM
的
一
组
法
向
量
(1,0,)
n a =-
，
1cos ,15
n BA ∴<>=
=
，...........................10分 又因为2
2
8a b +=，422
4120,2a a a ∴+-=∴=或6-（舍）.
即6,2
1222sin ,2π
=∠∴==
∠∴=BAC BAC a .........................12分
20.解：2
2
=
=
a c e ，c a 2=∴ 224222222121+=+=+=++c c c a F F MF MF
22==∴a c ，............................................................3分
∴椭圆方程为12
42
2=+
y x .............................................4分 （Ⅱ）︒=∠+∠902121F QF F PF ，..............................5分 证明如下：
设),(),(1100y x D y x B ，，则),(00y x A -, 直线BD 方程为)(11
01
01x x x x y y y y ---=-，
令0=x ，则1
01
010x x x y y x y --=
)0(1
01010x x x
y y x Q --∴，
同理)0(1
01
010
x x x y y x P ++，...................................7分
21F PF ∠ 和21F QF
∠均为锐角， )
(tan 101
01
0101
01021x x c x y y x c x x x y y x F PF ++=++=∠∴ )
(tan 101
01021x x c x y y x F QF --=
∠
)
()()(tan tan 212
022
1
2021201010101010102121x x c x y y x x x c x y y x x x c x y y x F QF F PF --=--⋅++=∠⋅∠∴ 1)(221)22()22(212
1
202
12021202
02
1212
=--=----=x x x x x x x x x x ...........................10分 21F PF ∠∴与21F QF
∠互余,
︒=∠+∠∴902121F QF F PF ................................12分
21.解：（Ⅰ）1k =-时，1
()ln ()101f x x x f x x x
'=-⇒=
->⇒<，()f x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点...................2分 （Ⅱ）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()ln ,(0)b
g x x a x x
=+->， 则221()b x b
g x x x x
-'=
-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾，舍.
当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(,)b +∞单调递增，(0,)b 单调递减， 所以min ()()ln 1g x g b b a ==+-，.......................................5分 所以1
1ln 101ln 11a a b a a b e b e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤，
故1
1a e
b --+的最大值为1........................................7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1
1a e b --+取最大值1时，
1ln 1ln (),(0)a b
e b a b F b m b b
-=⇒-=⇒=
->， 记ln (),(0)x
F x m x x
=
->.................................9分 方法一：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则1
()h x m x
'=
-， 若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞单调递增，与题意不符，舍.
若0m >，则1()0h x x m '>⇒<
，()h x ∴在1(0,)m 单调递增，在1
(,)m
+∞单调递减，所以若函数()F x 有
两个零点，则只需1()0h m >，解得1
0m e
<<.
不妨设12x x <，则1210x x m <<
<， 设111()()(),(0)G x h x h x x m m m =+--<<，则11()()(),G x h x h x m m
'''=++- 化简可得32
222()01m x G x m x
'=>-，所以函数()G x 在1(0,)m 单调递增，11()(0)()()0G x G h h m m >=-= 10x m ∴<<时，11()()h x h x m m +>-，1122()()()h x h x h x m
∴->=，又因为1221,(,+x x m m -∈∞），且函数()h x 在1(,)m +∞单调递减，122x x m ∴-<，121222x x mx mx m
∴+>⇒+>，即12ln ln 2x x +>， 所以212x x e >成立...........................................12分 方法二：不妨设12x x <，由题意1122
ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩， 则2
21121221121
ln ln (),ln ()x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-， 欲证212x x e ⋅>，只需证明：12ln()2x x ⋅>，只需证明：12()2m x x +>，即证：122211
()ln 2x x x x x x +>-， 即证21
22111ln 21x x x x x x +
>-，设21
1x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->⋅+， 也就是证明：1ln 201t t t --⋅
>+.....................................10分 记1()ln 2,(1)1t u t t t t -=-⋅>+，2
2214(1)()0(1)(1)
t u t t t t t -'∴=-=>++， ()u t ∴在(1,)+∞单调递增，
()(1)0u t u ∴>=，所以原不等式成立...................................................12分
22.解：（Ⅰ）设1C 上任意一点的极坐标为()θρ，
则点()θρ，2在圆C 上，故θρsin 42=，
所以1C 的极坐标方程为)0(sin 2≠=ρθρ.............................4分 （Ⅱ）B A ,两点的极坐标分别为),sin 2(),,sin 4(ααααB A ，
又因为πα<≤0，
ac
bc ab c b a 111111222++≥++∴ 又ac
bc ab c b a c b a 222111)111(2222+++++=++ ）（2221113c b a ++≤ 由题中条件知1111222=++c
b a ， 3)111(2≤++∴c
b a 即3111≤++c
b a ......................................5分 （Ⅱ）22422422121b
a b a a b a =⋅≥+ 同理：224221c b c b ≥+，224221a
c a c ≥+ )111(2111222222424242c
b a
c b a a c c b b a ++≥+++++∴ 2142
4242≥+++∴a
c c b b a 142
4242≥++∴a
c c b b a .............................10分。