高中数学人教A版选修2-1练习课件：3.2.2 空间向量与垂直关系
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第三页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
课堂对点训练
第四页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点一
证明线线垂直
1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．
第五页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：BD1⊥EB1. 证明：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，
3．2 立体几何中的向量方法
课时作业30 空间向量与垂直关系
第三章 空间向量与立体几何
第一页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
第二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
[目标导航] 1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明 空间中的垂直关系．
第七页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点二
证明线面垂直
2．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别 为 AB、B1C 的中点．试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位 置关系．
第八页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D －xyz，
第十一页，编辑于星期日：二பைடு நூலகம்三点 二十八分。
解：法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴A→D＝(1,1,0)，A→A1＝(0,0， 3)，B→C＝(－2,2,0)． ∴A→D·B→C＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， A→A1·B→C＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.
连接 BD，设正方体的棱长为 1，
第六页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
则 B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(12，12，0)， B1(1,1,1)．
B→D1＝(－1，－1,1)，E→B1＝(12，12，1)， ∴B→D1·E→B1＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0， ∴B→D1⊥E→B1，∴BD1⊥EB1.
则 B(1,1,0)，A1(1,0,1)，M(1，21，0)，N(12，1，12)， ∴D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)，M→N＝(－12，12，12)．
第九页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
设平面 A1BD 的一个法向量为 n0＝(x，y，z)， 则DD→→AB1·n·n00＝＝00，，
第十四页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
课后提升训练
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第十五页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
第十六页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
第十三页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
由nn11··AA→→DA1＝＝00，， 得x13＋z1y＝1＝0，0. 令 y1＝－1，则 x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)． 由nn22··CB→→CC＝1＝00，， 得－ －2y2x＋2＋23yz22＝＝00，. 令 y2＝1，则 x2＝1，z2＝ 33，∴n2＝(1,1， 33)． ∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2. ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.
即xx＋ ＋zy＝＝00，. 取 x＝1，则 y＝z＝－1， ∴n0＝(1，－1，－1)． ∴n0＝－2M→N，即 n0∥M→N. ∴MN⊥平面 A1BD.
第十页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点三
证明面面垂直
3．三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右 图所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A ＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 的中点．证明：平面 A1AD ⊥平面 BCC1B1.
第十二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
∴A→D⊥B→C，A→A1⊥B→C.∴BC⊥AD，BC⊥AA1. 又 A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面 A1AD. 又 BC⊂平面 BCC1B1，∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 法二：同证法一建系后，得A→A1＝(0,0， 3)，A→D＝(1,1,0)， B→C＝(－2,2,0)，C→C1＝(0，－1， 3)．设平面 A1AD 的法向量 为 n1＝(x1，y1，z1)，平面 BCC1B1 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)．
课堂对点训练
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知识点一
证明线线垂直
1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．
第五页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：BD1⊥EB1. 证明：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，
3．2 立体几何中的向量方法
课时作业30 空间向量与垂直关系
第三章 空间向量与立体几何
第一页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
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第二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
[目标导航] 1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明 空间中的垂直关系．
第七页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点二
证明线面垂直
2．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别 为 AB、B1C 的中点．试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位 置关系．
第八页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D －xyz，
第十一页，编辑于星期日：二பைடு நூலகம்三点 二十八分。
解：法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴A→D＝(1,1,0)，A→A1＝(0,0， 3)，B→C＝(－2,2,0)． ∴A→D·B→C＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， A→A1·B→C＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.
连接 BD，设正方体的棱长为 1，
第六页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
则 B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(12，12，0)， B1(1,1,1)．
B→D1＝(－1，－1,1)，E→B1＝(12，12，1)， ∴B→D1·E→B1＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0， ∴B→D1⊥E→B1，∴BD1⊥EB1.
则 B(1,1,0)，A1(1,0,1)，M(1，21，0)，N(12，1，12)， ∴D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)，M→N＝(－12，12，12)．
第九页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
设平面 A1BD 的一个法向量为 n0＝(x，y，z)， 则DD→→AB1·n·n00＝＝00，，
第十四页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
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第十六页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
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由nn11··AA→→DA1＝＝00，， 得x13＋z1y＝1＝0，0. 令 y1＝－1，则 x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)． 由nn22··CB→→CC＝1＝00，， 得－ －2y2x＋2＋23yz22＝＝00，. 令 y2＝1，则 x2＝1，z2＝ 33，∴n2＝(1,1， 33)． ∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2. ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.
即xx＋ ＋zy＝＝00，. 取 x＝1，则 y＝z＝－1， ∴n0＝(1，－1，－1)． ∴n0＝－2M→N，即 n0∥M→N. ∴MN⊥平面 A1BD.
第十页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点三
证明面面垂直
3．三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右 图所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A ＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 的中点．证明：平面 A1AD ⊥平面 BCC1B1.
第十二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
∴A→D⊥B→C，A→A1⊥B→C.∴BC⊥AD，BC⊥AA1. 又 A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面 A1AD. 又 BC⊂平面 BCC1B1，∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 法二：同证法一建系后，得A→A1＝(0,0， 3)，A→D＝(1,1,0)， B→C＝(－2,2,0)，C→C1＝(0，－1， 3)．设平面 A1AD 的法向量 为 n1＝(x1，y1，z1)，平面 BCC1B1 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)．