高中数学 第一章 集合 1.1 第2课时 集合的表示学案 苏教版必修1(2021年最新整理)

2018版高中数学第一章集合1.1 第2课时集合的表示学案苏教版必修1 编辑整理：
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1.1第2课时集合的表示
1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法）．(重点、难点）
2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)
4．了解集合的不同的分类方法．
[基础·初探]
教材整理1 列举法
阅读教材P6第1～2自然段,完成下列问题．
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“｛}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序无关．
用列举法表示由1,2,3，4组成的集合为________．
【解析】易知集合中含有的元素为1，2,3，4，故用列举法可以表示为｛1,2,3，4}．【答案】｛1，2，3，4｝
教材整理2 集合相等
阅读教材P6第3自然段，完成下列问题．
如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等．
(1)集合｛1,2，3｝与｛3，2，1}________相等集合．(填“是”或“不是")
(2）若集合{1,a}与集合｛2,b｝相等,则a＋b＝________。

【解析】(1）集合{1,2,3}与｛3,2，1｝元素完全相同，故两集合是相等集合．
(2)由于{1,a}＝｛2，b}，故a＝2,b＝1,∴a＋b＝3.
【答案】(1)是(2)3
教材整理3 描述法
阅读教材P6第4自然段，完成下列问题．
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成｛x｜p(x)｝的形式．
(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为________．
（2）集合｛(x,y）｜y＝x＋1｝表示的意义是________．
【解析】（1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x〈10｝．
（2）集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．
【答案】(1）｛x|x<10} （2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合
教材整理4 集合的三种表示方法
阅读教材P6第5自然段至例1，完成下列问题．
1．Venn图法表示集合
用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．
2．三种表示方法的关系
一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．
用三种形式表示由2,4,6，8四个元素组成的集合．
【解】列法举：{2,4,6,8}．
描述法：{x｜2≤x≤8，且x＝2k，k∈Z｝．
Venn图法：
2，4，6,8
教材整理5 集合的分类
阅读教材P6最后两自然段，完成下列问题．
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含任何元素的集合，记作∅
若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1
的实数解组成的集合记作C.
则集合A,B，C中，________是有限集，________是空集，________是无限集．
【解析】∵x2－4＝0,∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个,则B为无限集；x2＝－1无实根,则C为空集．
【答案】A C B
［小组合作型］
集合的表示方
法
用适当的方法表示下列集合：
（1)B＝｛（x，y)|x＋y＝4，x∈N＊，y∈N*｝；
（2）不等式3x－8≥7－2x的解集;
（3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；
（4）错误!.
【精彩点拨】(1)(4）中的元素个数很少，用列举法表示;(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．
【自主解答】(1)∵x＋y＝4，x∈N＊，y∈N＊，
∴错误!或错误!或错误!
∴B＝{(1,3），（2,2）,(3,1)｝．
（2）由3x－8≥7－2x，可得x≥3,
所以不等式3x－8≥7－2x的解集为｛x｜x≥3}．
（3)｛（x,y)｜y＝x2－2}．
(4）∵错误!∈N，x∈N，
∴当x＝0，6，8这三个自然数时，错误!＝1,3,9也是自然数，∴A＝｛0,6，8}．
1．集合表示法的选择
对于有限集或元素间存在明显规律的无限集,可采用列举法;对于无明显规律的无限集,可
采用描述法．
2．用列举法时要注意元素的不重不漏,不计次序,且元素与元素之间用“,”隔开．
3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p（x)｝，其中x代表集合中的元素,p（x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
［再练一题］
1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解集;
（2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．
【解】(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此,用描述法表示为{x∈R｜x2－x－2＝0｝；
方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2｝．
（2）大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1<x〈7，因此，用描述法表示为{x∈Z|－1〈x〈7｝；
大于－1且小于7的整数有0,1，2,3，4,5，6，因此,用列举法表示为{0，1，2，3,4,5,6｝．
集合相等
(1）集合A＝｛x|x－x＝0,x∈N｝与B＝{0,1｝________相等集合．（填“是”或“不是"）
（2）若集合A＝｛1，a＋b，a｝，集合B＝错误!且A＝B，则a＝________，b＝________。

【精彩点拨】（1)解出集合A，并判断与B是否相等；（2）找到相等的对应情况，解方程组即可．
【自主解答】（1）x3－x＝x（x2－1)＝0，∴x＝±1或x＝0.
又x∈N,∴A＝{0,1｝＝B.
(2)由分析，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a。

∴错误!＝－1，∴a＝－1，b＝1.
【答案】（1）是(2)－1 1
已知集合相等求参数,关键是根据集合相等的定义,建立关于参数的方程(组）,求解时还要
注意集合中元素的互异性．
[再练一题］
2．已知集合A＝｛a，a＋b，a＋2b}，B＝｛a，ax，ax2｝．若A＝B，求实数x的值．
【解】若错误!
则a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1）2＝0，即a＝0或x＝1。

当a＝0时，集合B中的元素均为0,故舍去；
当x＝1时,集合B中的元素均为a，故舍去．
若错误!则2ax2－ax－a＝0.
又∵a≠0,
∴2x2－x－1＝0,
即(x－1）(2x＋1）＝0。

又∵x≠1,
∴x＝－错误!。

经检验,当x＝－错误!时，A＝B成立．
综上所述,x＝－错误!.
［探究共研型］
集合表示方法的应
用
探究1 集合{x｜x2
【提示】表示方程x2－1＝0的根组成的集合,即｛±1｝．
探究2 集合A＝｛x｜ax2＋bx＋c＝0（a≠0）｝可能含有几个元素，每一种情况对a，b，c的要求是什么？
【提示】因a≠0，故ax2＋bx＋c＝0一定是二次方程,其根的情况与Δ的正负有关．若A中无元素，则Δ＝b2－4ac<0，若A中只有一个元素，则Δ＝b2－4ac＝0,若A中有两个元素，则Δ＝b2－4ac〉0.
集合A＝｛x|kx2－8x＋16＝0｝，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。

【精彩点拨】A中只有一个元素说明方程kx2－8x＋16＝0可能是一次方程，也可能是二
次方程，但Δ＝0。

【自主解答】（1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0。

∴x＝2,此时A＝{2}．
（2）当k≠0时，由集合A中只有一个元素,∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0,即k＝1，
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4｝．
综上所述，实数k的值为0或1。

当k＝0时，A＝{2｝；
当k＝1时，A＝｛4}．
1．用列举法表示集合的步骤
(1）求出集合中的元素；
(2）把这些元素写在花括号内．
2．用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．
[再练一题]
3．已知函数f (x）＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|f (x)－x＝0},B＝｛x｜f (x)＋ax＝0｝，若A＝｛1，－3｝，试用列举法表示集合B.
【解】A＝｛1,－3}，∴错误!⇒
错误!⇒错误!
∴f (x)＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x）＝0＝x2－3，
∴x＝±错误!，∴B＝｛±错误!}。

1．集合{x∈N＊|x－3<2｝用列举法可表示为________．
【解析】∵x－3<2，∴x<5.
又x∈N*,∴x＝1，2,3，4。

【答案】｛1，2,3，4}
2．若集合A＝｛－1，1},B＝{0，2｝,则集合{z｜z＝x＋y，x∈A，y∈B｝中的元素的个数
为________．
【解析】当x,y从A，B中取值时，z可以为－1,1,3，共3个．
【答案】3
3．方程组错误!的解集不可表示为________．
①错误!；②错误!；③｛1,2｝；④{（1，2）}．
【解析】方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．
【答案】③
4．已知M＝｛2，a，b｝，N＝{2a，2，b2}，且M＝N,则a＋b＝________。

【解析】∵M＝N,则有错误!或错误!解得错误!或错误!∴a＋b＝1或错误!.
【答案】1或错误!
5．已知集合A＝｛x|y＝x2＋3｝，B＝{y|y＝x2＋3｝，C＝{（x，y)|y＝x2＋3｝，它们三个集合相等吗？试说明理由．
【解】三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．
集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝｛y｜y≥3｝，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．。