2021-2022学年江苏省扬州市邗江区八年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省扬州市邗江区八年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.
2. 14的算术平方根为( ) A. 116 B. ±12 C. 12 D. −1
2 3. 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D ，AC =DF ，
要使得△ABC≌△DEF ，还需要补充一个条件，则下
列错误的条件是( )
A. BF =CE
B. AC//DF
C. ∠B =∠E
D. AB =DE
4. 以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )
A. 2、3、4
B. 13、14、15
C. 32、42、52
D. 6、8、10
5. 平面直角坐标系中，点P(a,1)与点Q(3,b)关于x 轴对称，则a 的值是( )
A. 1
B. −1
C. 3
D. −3
6. 若a ，b 为等腰△ABC 的两边，且满足|a −3|+√b −5=0，则△ABC 的周长为( )
A. 11
B. 13
C. 11或13
D. 9或15
7. 如图，BP 是∠ABC 的平分线，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，若△
ABC 的面积为16cm 2，则△PBC 的面积为( )
A. 4cm2
B. 8cm2
C. 12cm2
D. 不能确定
8.如图，点A，B，C在一次函数y=−2x+m的图象上，它
们的横坐标依次为−1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴
的垂线，则图中阴影部分的面积之和是()
A. 1
B. 3
C. 3(m−1)
(m−2)
D. 3
2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.36的算术平方根是______．
10.将3.4248精确到0.01得到的近似数是______．
11.点A(a,b)与点B(−3,5)关于y轴对称，则a+b的值为______．
12.在等腰三角形ABC中，∠A=2∠B，则∠C的度数为______．
13.点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，则代数式3a−b+1的值等于______ ．
14.如图，在△ABC，∠C=90°，c=2，则a2+b2+
c2=______．
15.如图，在△ABC中，∠B=∠C=65°，BD=CE，BE=CF，
则∠DEF的度数是______．
16.如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5)，则关于x的不等式kx+6>
x+b的解集是______．
17.如图，在△ABC中，点D、E分别为边BC、AC上的点，连接DE，
将△CDE沿DE翻折得到△C′DE，使C′D//AB.若∠A=75°，∠C=
45°，则∠C′EA的大小为______°.
18.定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数，在平面直角坐标系中，有两点A(−m,0)，
B(0,−2m)，且△ABO的面积为4(O为原点)，则过A，B两点的一次函数的特征数是______．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）
3+|1−√3|.
19.(1)计算：(π−3)0−√9+√−8
(2)已知3(x−1)2−75=0，求x．
20.已知：如图，点E、F在CD上，且∠A=∠B，AC//BD，CF=
DE．
求证：△AEC≌△BFD．
21.如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△
ABC的顶点都在格点上．
(1)分别求出AB，BC，AC的长；
(2)试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．
22.如图所示，在平面直角坐标系中的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位
△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC向右平移5个单位，向上平移1个单位得到的△A1B1C1；
(2)在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
(3)在y轴上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
23.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别
交AC、AB于点D、E．
(1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；
(2)若AB=7，△CBD周长为12，求BC的长．
24.如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(0,3)，
点B的坐标为(5,0)，点E是BC边上一点，如把矩形
AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处．
(1)求点F的坐标；
(2)求线段AF所在直线的解析式．
25.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了“请党放心，强国有我”党史知识
竞赛，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．
(1)请直接写出购买两种奖品的总费用y(元)与购买A种奖品的数量x(件)之间的关
系式；
(2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
(3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
26.如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别是AB、CD的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若AB=50，CD=48，求MN的长．
27.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b)，B(c,d)，若点T(x,y)满足x=a+c
3
，
y=b+d
3
，那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A(−1,8)，B(4,−2)，当点T(x,y)满足x=−1+4
3=1，y=8+(−2)
3
=2时，则点
T(1,2)是点A，B的融合点．
(1)已知点A(−1,2)，B(−5,2)，C(2,4)，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
(2)如图，点D(2,−1)，点E(t,2t−1)是直线l上任意一点，点T(x,y)是点D，E的融
合点．试确定y与x的关系式．
(3)如图，点D(3,0)，点E(t,2t+3)是直线l上任意一点，点T(x,y)是点D，E的融合
点．若直线ET交x轴于点H.当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
28.(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=1
4
x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点A、
B、C的坐标分别为______、______、______．
(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标(0,−6)，点B坐标(8,0)，
过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y=−2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
②如图2，在(2)的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A 、C 、D 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B ．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义解答．
【解答】
解：14的算术平方根为12．
故选：C ． 3.【答案】A
【解析】解：A 、添加BF =CE ，可得，BC =EF ，不能得出△ABC≌△DEF ，符合题意； B 、添加AC//DF ，可得，∠ACB =∠DFE ，利用ASA 得出△ABC≌△DEF ，不符合题意； C 、添加∠B =∠E ，利用AAS 得出△ABC≌△DEF ，不符合题意；
D 、添加AB =D
E ，利用SAS 得出△ABC≌△DE
F ，不符合题意；
故选：A ．
分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA 、SAS 、AAS 进行判断即可． 本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用
全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
4.【答案】D
【解析】解：A 、22+32≠42，故不能组成直角三角形；
B 、(13)2+(14)2≠(15)2，故不能组成直角三角形；
C 、(32)2+(42)2≠(52)2，故不能组成直角三角形；
D 、62+82=102，故能组成直角三角形．
故选：D ．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足：a 2+b 2=c 2时，则三角形ABC 是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可． 5.【答案】C
【解析】解：∵点P(a,−1)与点Q(3,b)关于x 轴对称，
∴a =3，b =1，
则a =3．
故选：C ．
直接利用关于x 轴对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得a −3=0，b −5=0，
解得a =3，b =5，
(1)若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、3，
能组成三角形，
周长为5+5+3=13；
(2)若5是底边长，则三角形的三边长为：3、3、5，
能组成三角形，
周长为3+3+5=11．
根据非负数的意义求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP=∠EBP，BP=BP，∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∵S△ABC=2cm2，
∴S△PBC=1
2S△ABC=1
2
×16=8(cm2)，
故选：B．
延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP= PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=1
2
S△ABC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题．
【解析】
【分析】
设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出相应线段长度，再利用面积公式即可．
【解答】
解：如图，设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G．
由题意可得：A点坐标为(−1,2+m)，B点坐标为(1,−2+m)，C点坐标为(2,m−4)，D 点坐标为(0,2+m)，E点坐标为(0,m)，F点坐标为(0,−2+m)，G点坐标为(1,m−4)。

所以，DE=EF=BG=2+m−m=m−(−2+m)=−2+m−(m−4)=2
又因为AD=BF=GC=1
×2×1×3=3．
所以图中阴影部分的面积和等于1
2
故选B。

9.【答案】6
【解析】解：36的算术平方根是6．
故答案为：6．
根据算术平方根的定义，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
10.【答案】3.42
【解析】解：3.4248精确到0.01得到的近似数是3.42．
故答案为：3.42．
把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
11.【答案】8
【解析】解：∵点A(a,b)与点B(−3,5)关于y轴对称，
∴a=3，b=5，
则a+b的值为：3+5=8．
故答案为：8．
直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出a，b的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握关于y轴对称点的性质是解题关键．12.【答案】45°或72°
【解析】解：设∠B=x°，则∠A=2x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B=180°，
即：4x=180，
解得：x=45，
此时∠C=∠B=45°；
当∠A是底角时，2∠A+∠B=180°，
即5x=180，
解得：x=36°，
此时∠C=2∠B=72°，
故答案为：45°或72°．
分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解答本题的关键，难度不大．13.【答案】−1
【解析】解：∵点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，
∴b=3a+2，
∴3a−b+1=3a−(3a+2)+1=3a−3a−2+1=−1．
故答案为−1．
把P(a,b)代入一次函数解析式得到b=3a+2，然后把b=3a+2代入3a−b+1后进行整式的加减运算即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14.【答案】8
【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，c=2，
∴a2+b2=c2=4，
∴a2+b2+c2=4+4=8，
故答案为：8．
由∠C=90°，则c为斜边，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解题的关键．
15.【答案】65°
【解析】解：在△DBE和△ECF中，
{BD=CE ∠B=∠C BE=CF
，
∴△DBE≌△ECF(SAS)，
∴∠BDE=∠FEC，
∵∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=65°，
故答案为：65°．
证明△DBE≌△ECF(SAS)，推出∠BDE=∠FEC，再由三角形的外角性质得∠DEF+
∠FEC=∠B+∠BDE，即可得出答案．
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明△DBE≌△ECF是解题的关键，属于中考常考题型．
16.【答案】x<3
【解析】解：当x<3时，kx+6>x+b，
即不等式kx+6>x+b的解集为x<3．
故答案为：x<3．
观察函数图象得到当x<3时，函数y=kx+6的图象都在y=x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6>x+b的解集为x<3．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y= ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17.【答案】30
【解析】解：∵C′D//AB，
∴∠DGE=∠A=75°，
由折叠性质可知，∠C′=∠C=45°，
∴∠C′EA=∠DGE−∠C′=75°−45°=30°，
故答案为30．
由C′D//AB得出∠DGE=∠A=75°，由折叠性质可知，∠C′=∠C=45°，再根据三角形外角性质求出∠C′EA=∠DGE−∠C′=75°−45°=30°．
本题考查了翻折变换的知识及四边形的内角和，解答本题的关键是求出∠DGE的度数是解题的关键．，难度一般．
18.【答案】[−2,−4]或[−2,4]
【解析】解：∵点A的坐标为(−m,0)，点B的坐标为(0,−2m)，
∴OA=|−m|=|m|，OB=|−2m|=|2m|．
又∵△ABO的面积为4，
∴1
OA⋅OB=4，
2
|m||−2m|=4，
即1
2
解得：m=±2．
设过A ，B 两点的一次函数的解析式为y =kx +b(k ≠0)．
当m =2时，点A 的坐标为(−2,0)，点B 的坐标为(0,−4)，
将A(−2,0)，B(0,−4)代入y =kx +b 得：{−2k +b =0b =−4
， 解得：{k =−2b =−4
， ∴此时过A ，B 两点的一次函数的解析式为y =−2x −4，过A ，B 两点的一次函数的特征数为[−2,−4]；
当m =−2时，点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(0,4)，
将A(2,0)，B(0,4)代入y =kx +b 得：{2k +b =0b =4
， 解得：{k =−2b =4
， ∴此时过A ，B 两点的一次函数的解析式为y =−2x +4，过A ，B 两点的一次函数的特征数为[−2,4]．
综上所述，过A ，B 两点的一次函数的特征数是[−2,−4]或[−2,4]．
故答案为：[−2,−4]或[−2,4]．
由点A ，B 的坐标及△ABO 的面积，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，由m 的值可得出点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出过A ，B 两点的一次函数的解析式，再结合特征数的定义，即可求出结论．
本题考查了三角形的面积、解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
19.【答案】(1)解：原式=1−3+(−2)+√3−1
=−5+√3；
(2)3(x −1)2−75=0，
(x −1)2=25，
∴x −1=5或x −1=−5，
x =6或x =−4．
【解析】(1)原式第一项利用零指数幂法则化简，第二项利用算术平方根计算，第三项利用立方根计算，第四项利用绝对值和实数的估计计算即可得到结果；
(2)方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x 的值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】证明：∵AC//BD，∴∠C=∠D，
∵CF=DE，
∴CF+EF=DE+EF，
即CE=DF，
在△AEC和△BFD中{∠A=∠B ∠C=∠D CE=DF
，
∴△AEC≌△BFD(AAS)．
【解析】利用平行线的性质可得∠C=∠D，然后再利用等式的性质可得CE=DF，再利用AAS判定△AEC≌△BFD即可．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
21.【答案】解：(1)AB=√12+22=√5，BC=√22+42=2√5，AC=√32+42=5；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2+BC2=(√5)2+(2√5)2=25，AC2=52=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)根据勾股定理求出边的长度即可；
(2)根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，△A2B2C2即为所求作．
(3)如图，点P即为所求作．
【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
(3)连接C1C2交y轴于点P，点P即为所求作．
本题考查作图−轴对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=15°；
(2)∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴DB+DC=DA+DC=AC，
又∵AB=AC=7，△CBD周长为12，
∴BC=5．
【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知△ACE≌△AFE，(2分)
∴AC=AF，(1分)
在Rt△AOF中，OA2+OF2=AF2，
∴OF=√52−32=4，(2分)
∴F(4,0)；(1分)
(2)设线段AF所在直线的解析式为y=kx+b，(1分)
∴{4k+b=0
b=3，
∴k=−3
.(2分)
4
x+3.(1分)
∴线段AF所在直线的解析式为y=−3
4
【解析】(1)利用勾股定理求出OF的长，即可求出点F的坐标；
(2)已知A和F点的坐标，利用待定系数法即可求出线段AF所在直线的解析式．
本题考查了一次函数的综合应用，同时考查了勾股定理、矩形的性质及翻转变换的知识，翻折前后对应角相等；对应边相等，注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．25.【答案】解：(1)根据题意，得：
y=32x+15(120−x)=17x+1800，
即购买两种奖品的总费用y(元)与购买A种奖品的数量x(件)之间的关系式为y=17x+ 1800；
(2)当x=30时，y=17×30+1800=2310，
答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；
(3)由题意，得x≤50，
由(1)可知为y=17x+1800，
∵17>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=50时，y有最大值为y最大=17×50+1800=2650，
答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．
【解析】(1)根据“总费用=单价×数量”可得购买两种奖品的总费用y(元)与购买A种奖品的数量x(件)之间的关系式；
(2)把x=30代入(1)的结论解答即可；
(3)根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
26.【答案】解：(1)如图所示，连接MC，MD，
∵∠ACB=∠ADB=90°，M是AB的中点．
∴Rt△ABC中，CM=1
2
AB，
Rt△ABD中，DM=1
2
AB，
∴MC=MD，
又∵N是CD的中点，
∴MN⊥CD．
(2)∵AB=50，
∴MD=1
2
×50=25，
∵CD=48，
∴ND=1
2
×48=24，
又∵MN⊥CD，
∴Rt△MND中，MN=√MD2−ND2=√252−242=7．
【解析】(1)连接MC，MD，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得到MC=MD，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论；
(2)依据MN⊥CD，利用勾股定理即可求得Rt△MND中，MN的长．
本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
27.【答案】解：(1)x=1
3(−5+2)=−1，y=1
3
(2+4)=2，
故点A是点B、C的融合点；
(2)由题意得，x=1
3(t+2)，y=1
3
(2t−2)，
∴t=3x−2，
则y=1
3
(6x−4−2)=2x−2；
(3)①当∠DHT =90°时，如图1所示，
点E(t,2t +3)，则T(t,2t −1)，则点D(3,0)，
由点T 是点D ，E 的融合点得：
t =t+33，2t −1=
2t+33， 解得，t =32，即点E(32,6)；
②当∠TDH =90°时，如图2所示，
则点T(3,5)，
由点T 是点D ，E 的融合点得：点E(6,15)；
③当∠HTD =90°时，如图3所示，
过点T 作x 轴的平行线交过点D 与y 轴平行的直线于点M ，交过点E 与y 轴的平行线于点N ， 则∠MDT =∠NTE ，则tan∠MDT =tan∠NTE ，
D(3,0)，点E(t,2t+3)，则点T(t+3
3,2t+3
3
)，
则MT=3−t+3
3=6−t
3
，MD=2t+3
3
，
NE=2t+3
3−2t−3=−2(2t+3)
3
，NT=t+3
3
−t=3−2t
3
，
由tan∠MDT=tan∠NTE得：
6−t
3
2t+3
3
=−
2(2t+3)
3
3−2t
3
，
解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．
故点E(3
2
,6)或(6,15)．
【解析】(1)由融合点的定义直接计算可得出答案；
(2)由新定义求出x=1
3(t+2)，y=1
3
(2t−2)，则可得出答案；
(3)分∠DHT=90°、∠TDH=90°、∠HTD=90°三种情况，分别求解即可．
本题是三角形综合题，考查了新定义融合点的理解与运用，直角三角形的判定与性质，一次函数的性质，正确理解新定义是解题的关键．
28.【答案】(−4,0)(0,1)(−5,4)6√5
【解析】解：(1)对于一次函数y=1
4
x+1，
令x=0，y=1，
∴B(0,1)，
令y=0，则1
4
x+1=0，
∴x=−4，
∴A(−4,0)，
∴OA=4，OB=1，
A(−4,0)，B(0,1)，
过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC=∠BOA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB，
在△ADC和△BOA中，
{∠ADC=∠BOA ∠CAD=∠ABO AC=BA
，
∴△ADC≌△BOA(AAS)，
∴CD=OA=4，AD=OB=1，
∴OD=OA+AD=5，
∴C(−5,4)；
故答案为：(−4,0)，(0,1)，(−5,4)；
(2)①如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，
∵点A坐标(0,−6)，点B坐标(8,0)，
∴DF+DG=OB=8，
∵点D在直线y=−2x+2上，
∴设点D(m,−2m+2)，
∴F(0,−2m+2)，OF=|2m−2|，AF=|2m−2−6|=|2m−8|，∵BP⊥x轴，B(8,0)，
∴G(8,−2m+2)，
同(1)的方法得，△AFD≌△DGP(AAS)，
∴AF=DG，DF=PG，
∵DF+DG=DF+AF=8，
∴m+|2m−8|=8，∴m=16
3
或m=0，
∴D(0,2)或(16
3,−26
3
)，
(3)设M(t,0)，过点N作NH⊥x轴交x轴于H，
根据旋转的性质可得△AOM≌△MHN，
∴OM=HN，OA=HM，
∴N(t+6,t)，
∴ON+AN=√(t+6)2+t2+√(t+6)2+(t−6)2=S，
故S可以看作点(t,t)到(−6,0)和(−6,6)两点距离之和，(t,t)在y=x上，
如图，
∵D(t,t)是y=x上的动点，
∴F(−6,0)，E(−6,6)，
∴S=DE+DF，
∴F关于y=x的对称点为P(0,−6)，
∴DF=DP，
∴当E、D、P三点共线时，S取得最小值为√(−6−0)2+[6−(−6)]2=√180=6√5，
即ON+AN的最小值是6√5．
故答案为：6√5．
(1)利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；
x+1，即可(2)①延长CB交x轴于E，则点E即为所求，求出直线CB的解析式为y=−3
5
求解；
②设M(t,0)过点N作NH⊥x轴交x轴于H，根据旋转性质及对称性质可得答案．
此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，构造全等三角形是解本题的关键．。