高中数学必修二(苏教版)练习：2.2.3

课时训练22圆与圆的位置关系
1.两圆x2+y2+2x-4y+3=0与x2+y2-4x+2y+3=0上的点之间的最短距离是()
A.B.
C.4
D.4
解析：由x2+y2+2x-4y+3=0得(x+1)2+(y-2)2=2,
由x2+y2-4x+2y+3=0得(x-2)2+(y+1)2=2,
两圆圆心距为=3,
故两圆外离,则两圆上的点之间的最短距离是
3.
★答案★：A
2.两圆x2+y2-6x+8y-75=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：将两圆化为标准式有:(x-3)2+(y+4)2=102和(x+2)2+(y-4)=82.
两圆圆心距为.
两半径之和为10+8=18,
两半径之差为10-8=2,
由<18,且>2,
知两圆相交,所以两圆的公切线条数是2.
★答案★：B
3.若圆(x-a)2+(y-b)2=c2和圆(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则a,b,c之间的关系是()
A.a=b+c
B.(a-b)2=c2
C.(a+b)2=c2
D.(a-b)2=2c2
解析：由两圆半径相等,知两圆外切,两圆外切⇔两圆圆心距等于两半径之和, ∴=2c,
∴(a-b)2=2c2.
★答案★：D
4.若圆(x-a)2+(y-b)2=4始终平分圆x2+y2+2x+2y-1=0的周长,则动点M(a,b)的轨迹方程是()(导学号51800157)
A.(a+1)2+b2=1
B.a2+(b+1)2=1
C.(a+1)2+(b+1)2=1
D.a2+b2=1
解析：由题意知圆x2+y2+2x+2y-1=0的直径应是圆(x-a)2+(y-b)2=4的一条弦,所以在圆(x-a)2+(y-b)2=4内,弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形,
所以弦心距d==1,所以动点M(a,b)的轨迹方程是(a+1)2+(b+1)2=1.
★答案★：C
5.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为.
解析：设所求圆的半径为r,圆心(a,b),则有b=r=6,且=r-1.
解之,得a=±4.
∴所求圆的方程为
(x±4)2+(y-6)2=36.
★答案★：(x±4)2+ (y-6)2=36
6.圆心为(2,1)且与已知圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线经过点(5,-2)的圆的方程为.(导学号51800158)
解析：设所求圆的方程为
(x-2)2+(y-1)2=r2,
即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,①
已知圆的方程为x2+y2-3x=0.②
②-①得公共弦所在直线的方程为
x+2y-5+r2=0,
又此直线经过点(5,-2),
∴5-4-5+r2=0,
∴r2=4,
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
★答案★：(x-2)2+(y-1)2=4
7.求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.
解圆C:(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为5.
所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有
于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.
8.求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.(导学号51800159)
解(方法一)联立两圆方程
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.
再由
联立得两交点坐标A(-1,2),B(5,-6).
∵所求圆以AB为直径,
∴圆心是AB的中心点M (2,-2),圆的半径为r=AB=5.
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.
(方法二)设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数),得圆心C.
∵圆心C在公共弦AB所在直线上,
∴4×+3×-2=0.
解得λ=.
∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.
9.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0,圆C2:x2+y2-2ax-2by+a2-1=0.当a,b变化时,圆C2始终平分圆C1的周长,求圆C2的面积最小时圆的方程.(导学号51800160)
解将两圆方程相减,得到两圆相交弦所在直线方程为2(1+a)x+2(1+b)y-a2-1=0.
由于圆C2始终平分圆C1的周长,因此C1(-1,-1)必在相交弦所在直线上,
∴2(1+a)×(-1)+2(1+b)×(-1)-a2-1=0,
即b=-.
由圆C2方程,得r=,
∴S=πr2=π(1+b2)
=π+π×=π+[(a+1)2+4]2.
∴当a=-1时,S取最小值5π,此时b=-2, ∴圆C2的方程为x2+y2+2x+4y=0.。