高中数学 7.5圆的方程及直线与圆的位置关系配套课件
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12 12 2
交，则
k ＜1, 解得 2＜k＜ 2；所以，“k=1”是“直
12 12
线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件.
(2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r＞0)内的一点，所以
x02 y02＜r2，圆心到直线x0x+y0y=r2的距离 d 所以直线与圆相离.
第五节 圆的方程及直线与圆的位置 关系
三年11考 高考指数:★★★ 1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
1.圆的方程以及直线与圆的位置关系是考查的重点； 2.待定系数法、数形结合的思想、方程的思想是解决与圆有关 问题的重要方法和思想； 3.题型以选择题和填空题为主，重点考查圆的方程、切线、弦 长等问题.
3
(2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线
x+ 3y-3=0的距离为
1 0 3 1.
12 ( 3)2
(3)直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,
由x x1
y
0 1
0
得
x y
1 ,
2
∴C(-1,2).
∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
d＜__r
Δ ＞0 有_两__组__不__同__
实数解
【即时应用】 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的________条 件. (2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r＞0)内异于圆心的一点，则 直线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是__________. 【解析】(1)当k=1时，圆心到直线的距离 d 1 2 ＜1 r, 此时直线与圆相交；若直线与圆相
即:x2+y2+2x-4y=0.
(4)圆心为(1，-1)，半径r=1.
答案：(1)-2＜a＜ 2
3
(3)x2+y2+2x-4y=0
(2)1 (4)(1,-1) 1
2.点与圆的位置关系
已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0).则： (1)点在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2__=_r2； (2)点在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2 _＞__ r2； (3)点在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2 _＜__ r2.
3.直线与圆的位置关系
位置关系
相离
相切
公共点个数
_0_个
_1_个
几何特征(圆心到 直线的距离为d， 半径为r)
代数特征(直线与 圆的方程组成方 程组经消元后得 到一个一元二次 方程，其判别式 为Δ )
d_＞_r
Δ ＜0 _无_实数解
d_=_r
Δ =0 有_两_组__相__同__
实数解
相交 _2_个
x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_____,b=_____.
【解析】点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为
A、B两点都在圆上，所以 1222
22 12
a 4b 0 ,
2a 2 b 0
解得
a b
2 .
1
答案：-2 1
d=r1+r2
相交
|r1-r2|＜d＜r1+r2
代数法：两圆方程联立组成 方程组的解的情况
无解 一组实数解 两组不同的实数解
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1-r2| (r1≠r2)
无解
(2)图形表示
O1 O2
O2 O1
O1
O2
O1
O2 O1
内含
0
r1-r2 内切
相交
【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆，所以
(2a)2-4(a2+a-2)＞0，解得:a＜2,
又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-2＞0，
解得：a＜-2或a＞1,综上可得1＜a＜2或a＜-2.
答案：1＜a＜2或a＜-2
(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线
x2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F满足什么条件？
提示：①x 2 0Βιβλιοθήκη +y2 0
+Dx0+Ey0+F=0;
②x 2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F＜0;
③x 2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F＞0.
(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范
围是_______.
22
（a，b）
半径
限制条件
r
r＞0
D2 E2 4F D2+E2-4F＞0 2
R
r
r>0
【即时应用】
(1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是
_________;
(2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ 3 y-3=0的距离为________; (3)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为
r2 ＞r2 r，
x
2 0
y02
r
答案：(1)充分不必要 (2)相离
4.圆与圆的位置关系 (1)设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1＞0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2＞0)，
方法 几何法:圆心距d与
位置关系
r1,r2的关系
外离
d＞r1+r2
外切
圆心, 5 为半径的圆的方程为_________；
(4)圆C的参数方程为xy
1 1
cos sin
,
则圆心为______，半径r=_____.
【解析】(1)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，所以
a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0,解得-2＜a＜ 2 ;
【即时应用】
(1)思考：
①若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则
x
2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F满足什么条件？
②若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内，则
x
2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F满足什么条件？
③若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则
1.圆的定义及方程 (1)定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
(2)方程
方程 形式 标准 方程 一般 方程
参数 方程
方程式
(x-a)2+ (y-b)2=r2
x2+y2+Dx+Ey +F=0
x a rcos y b rsin (为参数)
圆心 （a，b） （ D， E）
交，则
k ＜1, 解得 2＜k＜ 2；所以，“k=1”是“直
12 12
线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件.
(2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r＞0)内的一点，所以
x02 y02＜r2，圆心到直线x0x+y0y=r2的距离 d 所以直线与圆相离.
第五节 圆的方程及直线与圆的位置 关系
三年11考 高考指数:★★★ 1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
1.圆的方程以及直线与圆的位置关系是考查的重点； 2.待定系数法、数形结合的思想、方程的思想是解决与圆有关 问题的重要方法和思想； 3.题型以选择题和填空题为主，重点考查圆的方程、切线、弦 长等问题.
3
(2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线
x+ 3y-3=0的距离为
1 0 3 1.
12 ( 3)2
(3)直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,
由x x1
y
0 1
0
得
x y
1 ,
2
∴C(-1,2).
∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
d＜__r
Δ ＞0 有_两__组__不__同__
实数解
【即时应用】 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的________条 件. (2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r＞0)内异于圆心的一点，则 直线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是__________. 【解析】(1)当k=1时，圆心到直线的距离 d 1 2 ＜1 r, 此时直线与圆相交；若直线与圆相
即:x2+y2+2x-4y=0.
(4)圆心为(1，-1)，半径r=1.
答案：(1)-2＜a＜ 2
3
(3)x2+y2+2x-4y=0
(2)1 (4)(1,-1) 1
2.点与圆的位置关系
已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0).则： (1)点在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2__=_r2； (2)点在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2 _＞__ r2； (3)点在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2 _＜__ r2.
3.直线与圆的位置关系
位置关系
相离
相切
公共点个数
_0_个
_1_个
几何特征(圆心到 直线的距离为d， 半径为r)
代数特征(直线与 圆的方程组成方 程组经消元后得 到一个一元二次 方程，其判别式 为Δ )
d_＞_r
Δ ＜0 _无_实数解
d_=_r
Δ =0 有_两_组__相__同__
实数解
相交 _2_个
x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_____,b=_____.
【解析】点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为
A、B两点都在圆上，所以 1222
22 12
a 4b 0 ,
2a 2 b 0
解得
a b
2 .
1
答案：-2 1
d=r1+r2
相交
|r1-r2|＜d＜r1+r2
代数法：两圆方程联立组成 方程组的解的情况
无解 一组实数解 两组不同的实数解
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1-r2| (r1≠r2)
无解
(2)图形表示
O1 O2
O2 O1
O1
O2
O1
O2 O1
内含
0
r1-r2 内切
相交
【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆，所以
(2a)2-4(a2+a-2)＞0，解得:a＜2,
又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-2＞0，
解得：a＜-2或a＞1,综上可得1＜a＜2或a＜-2.
答案：1＜a＜2或a＜-2
(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线
x2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F满足什么条件？
提示：①x 2 0Βιβλιοθήκη +y2 0
+Dx0+Ey0+F=0;
②x 2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F＜0;
③x 2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F＞0.
(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范
围是_______.
22
（a，b）
半径
限制条件
r
r＞0
D2 E2 4F D2+E2-4F＞0 2
R
r
r>0
【即时应用】
(1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是
_________;
(2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ 3 y-3=0的距离为________; (3)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为
r2 ＞r2 r，
x
2 0
y02
r
答案：(1)充分不必要 (2)相离
4.圆与圆的位置关系 (1)设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1＞0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2＞0)，
方法 几何法:圆心距d与
位置关系
r1,r2的关系
外离
d＞r1+r2
外切
圆心, 5 为半径的圆的方程为_________；
(4)圆C的参数方程为xy
1 1
cos sin
,
则圆心为______，半径r=_____.
【解析】(1)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，所以
a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0,解得-2＜a＜ 2 ;
【即时应用】
(1)思考：
①若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则
x
2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F满足什么条件？
②若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内，则
x
2 0
+y
2 0
+Dx0+Ey0+F满足什么条件？
③若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则
1.圆的定义及方程 (1)定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
(2)方程
方程 形式 标准 方程 一般 方程
参数 方程
方程式
(x-a)2+ (y-b)2=r2
x2+y2+Dx+Ey +F=0
x a rcos y b rsin (为参数)
圆心 （a，b） （ D， E）