四川省绵阳市三台县西平中学高三数学3月月考试题 文

四川省绵阳市三台县西平中学2015届高三3月月考
数学文试题
一、选择题
1．直线的斜率是（）
A．B．C．D．2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）
A．1B．C．D．3．函数的定义域是（）
A．B．C．D．
4．已知，是数列的前项积，当取到最大值时，的值为（）A．9B．C．8或9D．9或10
5．在中，，若成等比数列，则（）
A．B．C．
D．
6．已知为不同的二直线，为不同的二平面，在下列四个命题中：
①若，则∥；②若∥∥，则∥；
③若，则∥；④若∥∥，则∥。

其中正确命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4 7．设，则的最小值是（）
A．12B．9C．6
D．3
8．设是函数的两个极值点，且
，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
9．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（）
A．B．C．
D．
10．函数的定义域是，对任意都有，则不等式
的解集为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．圆的半径_____________
12．如图，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为，则与侧面所成的角的大小为_____________
13．在直角梯形中，，
是线段上一动点，则的取值范围是__________
14．已知非零常数满足，则________
15．在中，是的内心，若，则
____
三、解答题：
16．已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有。

（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值。

17．已知分别是的三个内角的对边，。

（1）求角的大小；
（2）求函数的值域。

18．某市为缓解春运期间的交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：
年龄（岁）
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 8 9 6 4 3
（1）完成被调查人员的频率分布直方图；
（2）若从年龄在的被调查者中随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中恰好有1人赞成该路段“交通限行”的概率。

19．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，
底面。

（1）求证：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积。

20．已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在
椭圆上，且的周长为6。

（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于两点，设线段的
中点为，点到直线的距离为，且三点共线。

求的最大值。

21．已知函数，其中且。

（1）判断函数的单调性；
（2）当时，求函数在区间上的最值；
（3）设函数，当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立，试求的取值范围。

一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C B B A D D A 二、填空题
11．12．13．14．15．
三、解答题：
16．解：（1）……………2分
当时，
，又各项均为正数
……………4分
数列是等差数列，……………6分
（2），若对于任意的恒成立，则
令，当时……………9分
因，所以
则实数的最大值为……………12分
17．解：（1）在中，由正弦定理得……………2分即
故……………4分
而在中，，则……………6分
（2）由（1）知则在中，，且 (7)
分
…10分
又，则……………11分
所以函数的值域为……………12分
18．解：（1）由题中表格可知，各组的频率分别为
所以被调查人员年
龄的频率分布直方图为：
(2)年龄在的5
名被调查者中，有3人赞成
该路段“交通限行”，分别记
为，其余2人分别
记为，从5名被调查
者中任取2人，总的情形有：A1A2、A1A3、A2A3、A1B1、A1B2、A2B1、
A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种，其中恰好有1人赞成该路段“交通限行”的情形有A1B1、A1B2、A2B1、
A2B2、A3B1、A3B2共6种，则选中的2人中恰有1人赞成该路段“交通限行”的概率
19．解：（1）在中，，由余弦定理得
所以，即……………………3分
又四边形为平行四边形，所以又平面底面
所以，又
所以平面，又平面
所以平面平面……………………6分
（2）连接
因平面，所以……………………8分
所以四边形的面积……………9分
取的中点，连接，则，且
又平面平面，平面平面
所以平面，
所以四棱锥的体积……………………12分20．解：（1）由已知得，且，解得，又
所以椭圆的方程为……………………3分
（2）当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知：
点在轴上，且原点不重合，显然三点不共线，不符合题设条件。

所以可设直线的方程为，
由消去并整理得：
……………①
则，即，设
，
且，则点，
因为三点共线，则，即，而，所以
此时方程①为，且
所以
又
所以
故当时，的最大值为……………………13分
21．解：（1）依题意，……………1分
当时，，或 (2)
分
当时，，或 (3)
分
综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减
当时，在上单调递减，在上单调递增…4分
（2）当时，在上单调递减……5分
由（1）知在上单调递减，
所以在上单调递减……………………6分
所以当时 (7)
分
当时……………………8分（3）当时，
由（1）知在上单调递减
从而，即……………………9分
当时，在上单调递增，
从而，即……………………11分
对于任意的，总存在唯一的，使得成立，
只需，即成立即可
记，易知在上单调递增，且
所以的取值范围为……………………14分。