最新八年级数学下期中第一次模拟试题含答案

一、选择题
1．如图，在ABC 中，2,30,105AC ABC BAC =∠=︒∠=︒，D 为AB 边上一点，连
接CD ，15ACD =︒∠，把ACD △沿直线AC 翻折，得到ACD '△，CD '与BA 延长线交
于点E ，则D E '的长为（ ）
A ．
33
+ B ．
33
- C ．
33
+ D ．
33
- 2．己知172178a a b -+-=+，则a b -的值是（ ）． A ．3±
B ．3
C ．5
D ．5±
3．已知x ，y 为实数，y x 323x 2=-+-+，则y x 的值等于（ ）
A ．6
B ．5
C ．9
D ．8
4．下列计算正确的是（ ）． A ．()()2
2
a b a b b a +-=- B ．224x y
xy +=
C ．()
2
3
5a a -=-
D ．81111911+=
5．下列二次根式能与22合并的是（ ） A ．12
B ．24
C ．18
D ．6
6．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形 B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形 C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形
7．如图，ABE 、BCF 、CDG 、DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是（ ）
A ．2
B ．2
C ．7
D ．3
8．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是
1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）
A ．
1009
12 B ．
1010
12 C ．
1011
12 D ．
1021
12
9．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）
A ．45º
B ．60º
C ．67.5º
D ．75º
10．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．40
11．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得
1
2BC AB =
；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）
A ．555
B ．55-
C ．10510
D ．555
12．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．
14．计算2
82
-
的结果是_____． 15．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2()a b a b -++=_____________
16．计算：3
124
-
=________． 17．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．
18．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E 都是格点，则
BAC CDE ∠+∠=_______．
19．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为____．
20．如图，A 点坐标为(3,0)，C 点坐标为(0,1)，将OAC 沿AC 翻折得ACP △，则P 点坐标为_________．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD ，//BC AD ，P 为CD 上一点，PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥． （1）若80BAD ︒∠=，求ABP ∠的度数； （2）求证：=+BA BC AD ；
（3）设3BP a =，4AP a =，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E 点F ．若AB EF =，求AE 的长（用含a 的代数式表示）．
22．如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE
＝CF ．
23．（1）计算：038|13|2021+--； （2）已知：3(4)64x +=-，求x 的值． 24．计算
（1）3823218-+；（2）(325)(325)-+
25．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．
（1）求证：ADE BEC ≌△△．
（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．
26．如图，ABC 中，AC=2AB=6，BC=33．AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．
（1）求BE 的长；
（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM+MN 的最小值为 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据三角形的内角和定理60CDE ∠=︒，再根据翻折的性质可得
,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得
90,30CED D AE '∠=︒∠=︒，设D E x '=，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得
(
,3AE CE x ==+，最后在Rt ACE △中，利用勾股定理即可得．
【详解】
3150,105,ABC B D A AC C ∠=︒∠=∠=︒︒，
30018BCD ABC BAC ACD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒， 60ABC BC CDE D ∴∠=∠+∠=︒，
由翻折的性质得：,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，
30DCE ACD ACD '∴∠=∠+∠=︒，
90,9030CED D AE D ''∴∠=︒∠=︒-∠=︒，
设D E x '=，则2,AD AD x AE '===
，
(
2DE AD AE x ∴=+=，
在Rt CDE △中，((222,3CD DE x CE x ==+==+，
在Rt ACE △中，2
2
2
AE CE AC +=，即)(
2
2
2
3x ⎡⎤++=
⎣⎦
，
解得x =或0x =<（不符题意，舍去），
即36
D E '=
故选：D ． 【点睛】
本题考查了翻折的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的性质求出a=17，b=-8 【详解】
∵a-17≥0，17-a ≥0， ∴a=17， ∴b+8=0， 解得b=-8， ∴
5==，
故选：C ． 【点睛】
此题考查二次根式的性质，化简二次根式，熟记二次根式的性质是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】
解：依题意有
30
30
x
x
-≥
⎧
⎨
-≥
⎩
，解得3
x=，
∴2
y=，
∴239
y
x==．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】
A.原式＝a2−b2，故A错误；
B.2x与2y不是同类项，不能合并，故B错误；
C.原式＝a6，故C错误；
D.原式＝D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
5．C
解析：C
【分析】
根据同类二次根式的定义可得答案．
【详解】
A=，不能与
B=合并，故本选项不符合题意；
C=合并，故本选项符合题意；
D，不能与合并，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
6．D
解析：D
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当
AB BC
=时，它是菱形，故本选项不符合题意；
⊥时，四边形ABCD是菱B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD
形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90
∠=时，四边形ABCD是
ABC
矩形，故本选项不符合题意；
=时，它是矩形，不是正方D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD
形，故本选项符合题意；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
7．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理求出BE，证明四边形EFGH为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，
由勾股定理得，BE12，
∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，
∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，
∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，
∴四边形EFGH为正方形，
∴EG
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
8．B
解析：B 【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论． 【详解】
解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：
A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，
∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°， ∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形， 同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形． △A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=0
12， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=1
12， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=2
1142=， …，
所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为
12
1
2
n -，
则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为1202112
2
1
1
2
2
n --==1010
12． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．
9．C
解析：C 【分析】
由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=1
2
∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°． 【详解】
解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD ， ∵矩形的对边AD ∥BC ，∠E=∠C=90°， ∴∠DBC=∠ADB ， ∴∠EBD=∠ADB ，
∵△EDF 是等腰三角形，∠E=90°， ∴△EDF 是等腰直角三角形， ∴∠DFE=45°， ∵∠EBD+∠ADB=∠DFE ， ∴∠DBF=
1
2
∠DFE=22.5°， ∴∠CBD =22.5°， ∴∠BDC=67.5°， 故选：C ． 【点睛】
本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
10．C
解析：C 【分析】
根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求
得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即
1
1202
AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】
解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ， ∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°， 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， ∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，
CD =
=，
∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°， ∴AC ＝2BC ＝，
∵△ABC 的面积为120，
∴11
212022
ABC
S
AC BC x =⨯⨯=⨯⨯=，
解得：2x
∵
21122BCD
S
BD CD x =
⨯⨯=⨯=， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
由勾股定理求出AC=AD=AE=AC-CE=-5即可．
【详解】
解：∵BC ⊥AB ，AB=10，CE ＝BC=
1110522AB =⨯=， ∴
==
∴AD=AE=AC-CE=
5，
故选：A
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．
【详解】
根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．
在Rt ABE △中，22221068AE
BE AB ． ∵//AD BC ，
∴AEB CBF ∠=∠，
∴()ABE FCB AAS ≅，
∴BF=AE=8，
∴EF=BE-BF=10-8=2．
故选：B ． 【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．
二、填空题
13．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG 分别是的中点∴∵分别是BEBC 的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角
解析：5
【分析】
根据三角形中位线定理分别求出GF 、GH 的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】
F ，
G 分别是DE ，BE 的中点， ∴142
GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132
GH CE =
=， ∵∠FGH =90°，
∴由勾股定理得，
5FH ===，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．【分析】先分母有理化然后化简后合并即可【详解】解：＝2﹣＝故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中如能结合题目特点灵
．
【分析】
先分母有理化，然后化简后合并即可．
【详解】
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．【分析】先根据数轴的定义可得从而可得再化简绝对值和二次根式然后计算整式的加减即可得【详解】由数轴的定义得：则因此故答案为：【点睛】本题考查了数轴绝对值二次根式整式的加减熟练掌握数轴的定义是解题关键 解析：2a -
【分析】
先根据数轴的定义可得0a b <<，从而可得0,0a b a b -<+<，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．
【详解】
由数轴的定义得：0a b <<，
则0,0a b a b -<+<，
因此()a b b a a b -=-+--，
b a a b =---，
2a =-，
故答案为：2a -．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值、二次根式、整式的加减，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 16．【分析】先根据二次根式的性质化简再合并即可【详解】解：故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算属于基础题目熟练掌握基本知识是解题关键
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并即可．
【详解】
22
==，
故答案为：
2． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题关键．
17．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可
【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意
【分析】
根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．
【详解】
如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．
在Rt APD 中，PD =．
综上可知PB DB ''+．
17
【点睛】
本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．
18．；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出
∠1+∠BAC=45°∠2+∠CDE=45°再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°再证明∠ADC=90°进而得到∠ACD=45°从而得到∠1+∠2=45°
解析：45︒；
【分析】
首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到∠BAC+∠CDE=45°.
【详解】
解：∵BF=CF,CK=EK ，
∴∠FBC=CEK=45°，
∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，
连接AD 、BE ，
∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10，
∴BC²+CE²=BE²，
∴∠BCE=90°，
∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠BAC+∠CDE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形．
19．8【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再根据勾股定理可得然后根据正方形的面积公式可得最后又利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图正方形ACD 的面积依次为4618在中四边形MNG
解析：8
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得222
6,18,4EF EG ON ===，再根据勾股定理可得212FG =，然后根据正方形的面积公式可得2212MN FG ==，最后又利用勾股定理可得2OM 的值，由此即可得出答案．
【详解】 如图，正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18， 2226,18,4EF EG ON ∴===，
在Rt EFG 中，22212FG EG EF =-=，
四边形MNGF 是正方形，
∴由正方形的面积公式得：2212MN FG ==，
在Rt MON 中，2221248OM MN ON =-=-=，
则正方形B 的面积为28OM =，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
20．【分析】在Rt △COA 中根据OA=和OC=1根据勾股定理可得AC=2得到根据翻折性质可得继而可得在Rt △PAG 中根据所对直角边等于斜边的一半可以求出AG 的长利用勾股定理可求出PG 的长从而得到P 点坐标
解析：33,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【分析】
在Rt △COA 中，根据OA=3和OC=1，根据勾股定理可得AC=2，得到30CAO ∠=︒，根据翻折性质可得CAO PAC ∠=∠，继而可得60PAO ∠=︒，30GPA ∠=︒，在Rt △PAG 中，根据30所对直角边等于斜边的一半可以求出AG 的长，利用勾股定理可求出PG 的长，从而得到P 点坐标．
【详解】
如下图，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，
∵3，OC=1，
∴22+2OA OC =，
∴12
OC AC =
， ∴30CAO ∠=︒， ∵△AOC 沿AC 翻折得到△APC ，
∴CAO PAC ∠=∠，
∴=60PAO ∠︒，=30GPA ∠︒，3，
∴132AG AP ==，2232PG PA GA =-=， ∴333 ∴点P 的坐标为3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，， 故答案为：332⎫⎪⎪⎝⎭
，． 【点睛】
本题考查折叠的性质、含30︒角的直角三角形及勾股定理，熟练掌握含30︒角的直角三角形及勾股定理是解题的关键．
三、解答题
21．（1）50︒；（2）证明见解析；（3）
52a 或3910a 【分析】
（1）根据已知条件PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥以及三角形内角和，即可求得ABP ∠的度数；
（2）延长BP 交AD 的延长线于点G ，由已知条件即可证明ABP AGP ≌，即可得到BA GA =，BP GP =，进而即可证明BCP GDP △≌△，即可得到=BC GD ，通过相等关系，即可证明=+BA BC AD ；
（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当//AB EF 时，延长BP 交AD 的延长线于点G ，可知此时四边形ABFE 是平行四边形，可以求得AB 的长度，由（2）中证明的ABP AGP ≌，BCP GDP △≌△，可得BA GA =，BP GP =，
=CP DP ，=BC GD ，进而可以证明CFP ≌DEP ，可得CF DE =，进而通过线段
的等量关系求得AE 的长；②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，
同①可得PFC PED △≌△，则CF DE =，则可得5BF AE BC AD AB a +=+==，由ABP △和梯形ABCD 的面积关系可得BH 的长度，通过勾股定理即可得到AH 的长度，通过证明Rt BHA △≌Rt FIE △，可得75
AH EI a ==，进而通过等量关系即可得到AE 的长．
【详解】
（1）∵PA 平分BAD ∠，BP AP ⊥， ∴11804022
BAP DAP BAD ∠=∠=
∠=⨯︒=︒,90APB ∠=︒， ∴在Rt ABP 中，180180409050ABP BAP APB ∠=︒-∠-∠=-︒-︒=︒； （2）如图1，延长BP 交AD 的延长线于点G ，
∵BP AP ⊥，PA 平分BAD ∠，
∴90APB APG ∠=∠=︒，BAP GAP ∠=∠，
在ABP △和AGP 中，
BAP GAP ∠=∠，AP AP =，APB APG ∠=∠， ∴
ABP AGP ≌，
∴BA GA =，BP GP =， ∵//BC AD ，
∴CBP DGP ∠=∠，
在BCP 和GDP △中，
CBP DGP ∠=∠，BP GP =，CPB DPG ∠=∠，
∴BCP GDP △≌△，
∴=BC GD ，
∴BA GA AD GD AD BC ==+=+；
（3）分两种情况讨论，
①当//AB EF 时，如图2，延长BP 交AD 的延长线于点G ，
∴由已知条件可知，此时四边形ABFE 是平行四边形，
∴AE BF =，
∵3BP a =，4AP a =，BP AP ⊥，
∴在Rt ABP 中，222AB BP AP =+，解得，5AB a =，
由（2）可知，ABP AGP ≌，
∴5BA GA a ==，3BP GP a ==，
由（2）可知，BCP GDP △≌△，
∴=CP DP ，=BC GD ，
∵//BC AD ，
∴BFP GEP ∠=∠，
在CFP 和DEP 中，
CFP DEP ∠=∠，=CP DP ，CPF DPE ∠=∠，
∴CFP ≌DEP ，
∴CF DE =，
∵=BC GD ，
∴BC CF GD DE +=+,
∴BF EG =，
又∵四边形ABFE 是平行四边形，
∴BF AE =,
∴BF AE EG ==,
∴25AG AE a ==， ∴52
AE a =；
图2
②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ， 同①可得PFC PED △≌△，
∴CF DE =，
∴BF AE BF AD DE BF AD CF BC AD +=++=++=+，
∴5BF AE BC AD AB a +=+==，
在Rt ABP 中，2162
ABP S BP AP a =⋅=△， 由（2）可知，梯形ABCD 的面积2212ABP S a ==△，
梯形ABCD 的面积2122BC AD BH a +=
⨯=， 解得，245
BH a =， 在Rt ABH 中，2275AH AB BH a =
-=， ∵//BC AD ，
∴BH FI =，BF HI =，
∵在Rt BHA △和Rt FIE △中，
BH FI =，AB EF =，
∴Rt BHA △≌Rt FIE △， ∴75
AH EI a ==， ∴2()BF AE BF AH EI HI BF AH +=+++=+，
∴2()BF AE BF AH +=+， ∴1110
BF a =， ∴3910AE AB BF a =-=
．
图3
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等．
22．见解析
【分析】
先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，
AD CD ∴=，A C ∠=∠，
DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，
90AED CFD ∴∠=∠=︒，
在ADE ∆和CDF ∆中，
AED CFD A C
AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，
AE CF ∴=．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（132）8-
【分析】
（1）根据立方根、绝对值、零指数幂、二次根式的性质计算，即可得到答案； （2）根据立方根的性质，计算得44x +=-，再通过求解方程，即可得到答案．
【详解】
（1038|132021-
2311=+-
3=
（2）∵3(4)64x +=- ∴
44x +=
=- ∴8x =-．
【点睛】
本题考查了立方根、绝对值、零指数幂、二次根式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握了立方根、绝对值、零指数幂、二次根式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
24．（1；（2）-17
【分析】
（1）先化简二次根式，再合并即可；
（2）利用平方差计算即可．
【详解】
解：（1）
=
(68=-+
=
（2）
22=-
320=-17=-
【点睛】
本题考查了二次根式的运算、平方差公式，准确掌握运算法则，合理利用公式是解题关键．
25
．（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．
【详解】
（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，
∴∠A =∠B =90°，
∵∠1=∠2，
∴DE =CE ．
∵AD =BE ，
在Rt △ADE 与Rt △BEC 中
AD BE DE CE =⎧⎨=⎩
，
∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）
（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,
∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．
∴∠DEC =90°．
在Rt △ADE 中
又∵30,3AED AE ∠=︒=
设AD =x ，则DE =2x,
由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x += 解得3x = ∴DE=CE=23．
在Rt △CDE 中
由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2
∴()()22=23+23=26CD ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．
26．（1）3BE =
；（2）33
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理可得ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，连接AE ，根据线段垂直平分线的性质可得AE CE =，在Rt ABE △中利用勾股定理列出方程即可求解；
（2）根据题意画出图形，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，利用全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
解：（1）连接AE ， ，
∵26AC AB ==，33BC =
∴222AC AB BC =+，
∴ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，
∵DE 垂直平分AC ，
∴AE CE =，
在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，
∴()222333BE BE =+，解得3BE =
（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，
∴AM CM =，
∴CM MN AM MN +=+，
若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，
，
在ABC 和CNA 中，
B AN
C ACB CAN AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABC ≌CNA ， ∴33AN BC ==
【点睛】
本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．。