数学卷·2013届上海市八校高三3月模拟考试

上海市八校
2013届高三联合调研考试
数学（理）试题
一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序
的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．若，且，则________________。

2．函数的定义域为。

3．已知，那么的值是。

4．方程,实数解为。

5．已知
为等差数列，其前
项和为
，若
，
，则公差
= 。

6．是无穷数列，已知是二项式的展开式各项系数的和，记，
则____________。

7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，的最大值为。

8．双曲线过,且渐近线夹角为，则双曲线的标准方程为。

9．△
中，三内角
、
、
所对边的长分别为
、
、
，已知，不等式
的解集为
，则
______。

10．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数是连续整数的概率是。

11．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体。

12．为上的偶函数，为上的奇函数且过，，则。

13．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于。

其中，所有正确结论的序号是。

14．设等差数列
满足：公差
，
，且
中任意两项之和也是该数列中的一项. 若
，则
的所有可能取值之和为。

二. 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。

15．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件
16．右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有（）
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
17．若点和都在直线：上，则点，和的关系是
（A）P和Q 都在上（B）P和Q 都不在上
（C）P在上，Q不在上（D）P不在上，Q在上
18．受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响，某公司2012年一年内每天的利润(万元)与时间(天)的关系如图所示，已知该公司2012年的每天平均利润为35万元，令(万元)表示时间段内该公司的平均利润，用图像描述与之间的函数关系中较准确的是( )
三. 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。

19.（本题满分12分；第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为。

（1）求圆柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小。

（结果用反三角函数值表示）
20．(本题满分14分；第(1)小题8分，第(2)小题6分)
如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为(其中点P、Q分别在边BC、CD上)，设，探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积(平方百米)。

(1) 将表示成的函数；
(2) 求的最大值。

21. (本题满分14分；第(1)小题6分，第(2)小题8分)
已知椭圆以为焦点且经过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线过点，且直线的一个方向向量为。

一组直线（）都与直线平行且与椭圆均有交点，他们到直线的距离依次为，直线恰好过椭圆的中心，试用表示的关系式，并求出直线的方程。

（用、表示）
22.（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关函数值取非整数值时,取值精确到0.01。

-0.61-0.59-0.56-0.3500.260.42 1.57 3.27
0.070.02-0.03-0.2200.210.20-10.04-101.63根据表中数据,研究该函数的一些性质：
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断在上是否存在零点，并说明理由；
（3）判断的符号，并证明在是单调递减函数。

23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且。

这种“变换”记作。

继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束。

（1）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（2）设，。

若，且的各项之和为。

求，；
（3）在（2）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由。

参考答案
一、填空题（本题满分56分，本大题共有14题，每题4分）
1、；
2、；
3、；
4、；
5、2；
6、；
7、1；
8、； 9、
；10、； 11、24； 12、-3； 13、②； 14、364；
二. 选择题（本题满分20分，本大题共有4题，每题5分）
15、C ； 16、C ； 17、A； 18、D；
三. 解答题：（本题满分74分）
19.（本小题满分12分；第（1）小题6分，第（2）小题6分）
（1）由题意
在中，，所以……………………… 1分
在中，，所以 ………………………… 2分
解得, (4)
分
.………………………………………………………… 6分
（2）取中点，连接，，则，
得或它的补角为异面直线与所成的角. ………………………… 8分又，，得，，
由余弦定理得，…………………………… 10分
得异面直线与所成的角为. ……………………………………… 12分20．(本题满分14分；第(1)小题8分，第(2)小题6分)
(1) ,……………………………………………………………………… 2分 , …………………………………… 4分
…………………………… 8分
……………………………………………… 12分
探照灯照射在正方形内部区域的面积最大值为(平方百米) …… 14分21. (本题满分14分；第(1)小题6分，第(2)小题8分)（1）,………………………………………… 2分
又，…………………………………………………………… 4分……………………………………………… 6分
(2) ……………………… 7分
直线且过椭圆的中心,直线的方程为:
由题意知:直线到的距离为,即:
……………………………………………………………… 8分
设直线的方程为:,……………………………… 9分
直线与椭圆有交点,
消去,得,
……………………………………………………………………… 11分由题意知: 直线到的距离为.
即:
………………………………………………… 13分
所以直线的方程为: …………………… 14分
22.（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）（1）, , ………………………………… 2分
,为奇函数；…………………………………………… 4分
（2）由已知可得：，，
在上存在零点； …………………………………………… 8分在上存在零点； …………………………………………… 10分（3）在上存在零点,是奇函数，
在上存在零点，
，而
………………………………………………………………………… 12分
(其他解法相应给分)
在上存在零点
……………………………… 14分
设
；
又
在是单调递减函数。

………………………………………… 16分
(其他解法相应给分)
23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
（1）数列不能结束，各数列依次为；；；；；
以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．
…………………………… 4分
（2）因为的各项之和为，且，所以为的最大项，………… 6分所以最大，即，或．
当时，可得
由，得，即，故．
当时，同理可得，． …………………… 10分
（3）由，则经过次“变换”
得到的数列分别为：；；；；；．
由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列
“结构”完全相同，但最大项减少12．…………………………………… 14分
因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为． (16)
分
接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；
；，……
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，
的最小值为．…………………………………………………………… 18分
（其它解法相应给分）。