第四章投入产出系数和模型

我们最终得到完全消耗系数矩阵应为：
B A A2 A3 Ak
B I I A A2 A3 Ak
而（I A)(I A A2 Ak )
I Ak (k ) I
因此，我们得到
B I (I A)1 B (I A)1 I
0.1737
0.3475 0.1969 0.1931
0.5019 0.6178 0.3900
根据 Q (I A)1Y计算得：
Q1 1.3127 Q2 0.0722 Q3 0.1737
0.3475 1.1969 0.1931
2、实物形态投入产出模型
（1） 实物形态投入产出模型的表式
在实物投入产出表中，是以产品来进行分类的，其计量 单位则是以实物单位来计量的。简化的实物形态投入产 出表如下所示：

上表的简要解释：
从行向看，反映的是各类产品的分配使用情况，其
中一部分作为中间产品供其它产品生产中使用（消 耗），另一部分则作为最终产品供投资和消费使用， 两部分相加就是一定时期内各类产品的生产总量。从 列向看，反映了各类产品生产中要消耗其它产品（包 括自身）的数量。但应指出的是，由于列向各类产品 的计量单位不一致，故不能进行运算，因此，实物投 入产出模型只有行模型没有列模型。
出来，则对了解和分析国民经济各部门间、产品间的内
在联系，搞好宏观经济结构的分析和预测是有很大帮助
的。
下面通过一图形来具体解释一下各种间接消耗关系 的含义。
完全消耗系数的定义——每生产单位j种（部门）最终
产品要直接、各种间接消耗（即完全消耗）i种（部门）
产品的数量。一般用来表示 数矩阵。
，用B来表b示ij 完全消耗系
把直接消耗系数 aij (i, j 1,2,, n) 代入方程（2·1）：
qij aijQ j
(i, j 1,2,, n)
n
aijQ j yi Qi
j 1
(i 1,2,, n)
（2·2）
上式如果写成矩阵形式则为：
AQ Y Q
（2·3）
其中
a11 a12 a1n
农业 轻工业 重工业
其它
农业 1． 109 0． 0464 0． 4114
0．0904
轻工业 × × × ×
重工业 × × × ×
其它 × × × ×
上表的第一列表明：要保证农业部门能提供一亿元的 最终产品，则农业部门的生产量要达到1·109亿元， 轻 工 业 部 门 要 达 到 0·0464 亿 元 ， 重 工 业 部 门 要 达 到 0·4114亿元，其它部门要达到0·0904亿元。其中农业 部门生产总量只超过最终产品的部分（0·0904亿元） 以及引起其它各部门生产的数量，都是因为农业生产
实物型接消耗系数的特点
a 1、 ij 可以大于等于1。
2、实物型直接消耗系数不能列项求和，但可以 行向求和。
3、主对角线上直接消耗系数一定小于1。
（3） 完全消耗系数与最终产品系数
（一）、完全消耗系数

一般来说，任何产品在生产过程中，除了各种直
接消耗关系外（直接联系），还有各种间接消耗关系
j 1
(i 1,2,, n) （2·1）
（2） 引入直接消耗系数
直接消耗系数又称为投入系数或技术系数，一般用 aij 表示，
其定义是：每生产单位 j 产品需要消耗 i 产品的数量。 直接消耗系数的计算公式是：
aij

qij Qj
(i, j 1,2,, n)
这正是投入产出法始终要关注的基本问题。
3、建立引入B的数学模型
计算完全需求系数 (I A)1
1.3127 0.3475 (I A)1 0.0722 1.1969 0.1737 0.0.6178 1.3900
0.3127 B (I A)1 I 0.0722

bn1 bn2 bnn
最终产品系数的经济解释：
从列来看：矩阵中主对角线上的元素一般来说都大于 1（ bii 1) ，
这表明i部门要生产一个单位最终产品，其部门的生产 总量必须达到的数量，具体地说，要保证i部门能提供 一个单位的最终产品，首先其生产总量就要有一个单 位的产品，然后由于其自身和国民经济间的相互消耗 关系，使得i部门的总产量要超过一个单位。其超过部 分和非主对角线上的元素都体现了国民经济各部门间 的完全消耗关系。这一意义可用下面的例子形象地说 明：
A


a
21
an1
a22
an2

a2n
ann
Q1
Q


Q2
Qn

y1
Y


y2
yn

因此，（2·2）又可写成
Y (I A)Q
（2·4）
其中，I 是单位矩阵，而(I A) 是一个特殊形式的矩阵，
… … …
其它二次间接消耗的计算省略。同样，我们仍可找到某 种规律性，并得到二次间接消耗系数矩阵为：
A3


a
3 11


2a11a12a21

a12a21a22


由此我们还可以类似地计算出 A4 , A5 , ，等，得到三次、
四次、……，等间接消耗系数的结果。所以，
完全消耗系数=直接消耗系数+全部间接消耗系数
下面用一个简单的实例来说明完全消耗系数的计算公式。 假设国民经济只有农业（1）和工业（2）两个部门， 并知它们之间的直接消耗矩阵，即为
A


a11 a21
a12 a22

首先分别计算农业和工业的一次间接消耗系数：
1、 农业产品对农业产品的一次间接消耗为：
可以推导出完全劳动消耗系数的计算公式为：
Bv Av (B I )或者是Bv Av (I A)1
（2·7）
其中， Bv ——完全劳动消耗系数行向量， Bv (bv1, bv2 ,, bvn ) ；
Av ——直接劳动消耗系数行向量， Av (a01, a02 ,, a0n ) 。
a
2 11

a12 a 21
2、 农业产品对工业产品的一次间接消耗：
a11a21 a21a22
3、 工业产品对农业产品的一次间接消耗：
a12 a11 a22 a12
4、 工业产品对工业产品的一次间接消耗：
a12 a 21

a
2 22
根据上面的分析和结果，我们就可以找到某种规律，由 此得到这两个部门的一次间接消耗的系数矩阵为：
四、实物型投入产出模型实例
依据表1中的行列关系，可建立实物型投入产出数学模型
1、计算直接消耗系数矩阵 该象公限式“其aij 他 Qq”ijj 项所对应的列，无法得到包括在模型中
的产品的总产出量，各不能计算值接消耗系数。
40 30 40
200
A


0 200
20
150 15
0.5019 0.6178

10 15



y1 y2

1.3900 25 y3
从模型中可知，表中的“其他”项实际上与最终产品除在 同等地位上，这是由于“其他”项的元素不能计算直接 消耗系数，而被排除在A系统之外造成的。
计算实物型劳动报酬系数
实物投入产出表的平衡关系式为：
中间产品 + 最终产品 = 总产品
用符号表示则为：
q11 q12 q1n y1 Q1 q21 q22 q2n y2 Q2 qn1 qn2 qnn yn Qn
或写成
n
qij yi Qi
模型（2·4）建立了总产品与最终产品之间的联系。 也就是说，已知各种产品的总产量，则通过（2·4）就 可计算出一定生产技术结构下，各种产品用于最终产品 的数量。
当然，我们还可以建立最终产品与总产品之间的联 系，即将（2·4）改写成：
Q (I A)1Y （2·5） 由此，若知各类产品的Y ，则根据（2·5）就能计算出 Q 。
二、实物型投入产出表的特点
1、实物型投入产出表的实物量作为计量单位，各类 产品的计量单位并不相同，表的纵列不能相加。
2、能确切地反映各类产品生产过程中的技术联系， 使其不受价格变动和价格背离价值等因素的影响。
3、由于产品目录不能包罗万象，有些产品未列表中， 使中间产品不完整，为了弥补这一缺陷，需要在中间 产品的纵列上加上一个其他项。
（间接联系）。完全消耗系数则是这种包括所有直接、
间接联系的全面反映。在国民经济各部门和各产品的生
产中，几乎都存在这种间接消耗和完全消耗的关系，而
充分理解各种间接消耗关系是充分理解宏观经济问题复
杂性的有力工具。例如，某些表面上看起来毫无联系的
部门或产品，实际上都有着比较重要的间接联系。如果
能将各部门间、产品间的间接消耗和完全消耗关系计算
avj qvj Qj ( j 1,2,3)
则有
Av

(1000 200
1200 150
2400) (5 200
8 12)
1、如何区分中间产品和最终产品？ 2、请解释完全消耗系数和最终产品系数的区别与联系。 3，、最已终知产实品物向型量直为接Y 消 耗3500系 。数求矩完阵全为消耗A系 数000..31矩000阵...411 B000和...221总产
其具体形式为：
1 a11
(I

A)



a21
an1
a12 1 a22

an2
a1n
a2n


1 ann
此矩阵有明确的经济含义：
在矩阵 (I A) 中，从列来看，说明了每种
产品投入与产出的关系。若用“负”号表示投入，用 “正”号表示产出，则矩阵中每一列的含义说明，为生 产一个单位各种产品，需要消耗（投入）其它产品（包 括自身）的数量。而主对角线上各元素，则表示各种产 品扣除自身消耗后的净产出比重。同时，也可看到，此 矩阵的“行”则没有经济含义，因为每一行的元素不能 运算。
150 15
200 8
200 40



0.2 0 0.1
0.2 0.1 0.1
0.2 0.4 0.2

200
150
200

2、建立引入A的数学模型 利用公式Y=（I-A）Q，得：
y1 0.8 0.2 0.2Q1 10 y2 0 0.9 0.4Q2 _15 y3 0.1 0.1 0.8 Q3 25
中对各部门（包括本部门）都存在着完全消耗关系所 致。

从行来看：如果国民经济中各种最终产品分别增
加 y1, y2,, yn ,那么第i部门的总产量要增 加 bi1y1 bi2y2 binyn (i 1,2,, n) 。
同理，利用完全消耗系数与(I A)1的关系，还
3、完全消耗系数可以大于1，而且价值表的直接消
a 耗系数 ij必定小于1。
（二）最终产品系数
一般把矩阵 (I A)1 中的元素 bij 称为最终产品系数或
追加需要系数。即最终产品系数为：
b11 b12 b1n
(I

A) 1

b21

b22
b2n

（2·6）
这就是完全消耗系数的计算公式。
直接消耗系数与完全消耗系数的区别
1、直接消耗系数相对于总产出而言，说明中间消 耗与总产出之间的数量关系；完全消耗系数相对于 最终产品而言；说明中间消耗与最终产品之间的数 量关系。
2、完全消耗包括了直接消耗与所有的间接消耗， 所以完全消耗系数总是大于相应的直接消耗系数。
A2


a112 a12a21 a11a21 a21a22
a11a12 a12a22 a12a21 a222

再计算农业和工业的二次间接消耗： 1、工业产品对农业产品的二次间接消耗为：
a
3 1
1

a11a12 a 21

a12 a a 21 11

a12 a 22 a 21