2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)(一试)附详细解答

2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)(一试)附详细解答
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1. 函数1
cos sin 1cos sin ++-=
x x x x y 的值域是___________
2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________
3. 若N n ∈，且9242
2
--+n n 为正整数，则.________=n
4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i
a , 若存在正整数k
使得61
=∑=k
i i
a 的概率m n
p =，其中n m ,是互质的正整数. 则
n
m 76log log -= .
5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______
6. 已知多项式f (x )满足：2
2
2
(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________
7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________
8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意
R x ∈和θ∈[0, π
2
],
2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．设数列
{}n a 满足0a N +
∈,2
11
n n n a a a +=
+.求证：当
1200+≤≤a n 时,n a a n
-=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．
10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆
14
22
=+y x 于两个不同的点
Q
P ,，过Q P ,作椭圆的切线，
两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程； ⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.
11.
若a 、b 、c R +
∈，且满足2
2
)4()
(c b a b a c
b a kabc
++++≤++，求k 的最
大值。

2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案
1.解
：
令sinx +cosx =t ,
则
t =
]2,1()1,2[)4
sin(2---∈+
π
x ,2sinxcosx =t 2
－1,
1
)1
21(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-⋅=++-=t t t t t t x x x x y 关于t +1在
)0,21[-和
]21,0(+
上均递增,所以,
2
21+≥
y 或
2
21-≤
y , 即值域
),2
2
1[]221,
(+∞+--∞ .
2. 解：因(m 2+n 2)c 2=(m 2+n 2)(a 2+b 2)=(ma )2+(nb )2+(mb )2+(na )2
≥(ma )2+(nb )2+2mnab =(ma +nb )2=c 2, 所以m 2+n 2
7. 解:不妨设AC ⊥OC ⊥BC ,∠ACB =α,∠AOC =∠BOC =θ,∠AOB =β.
因)CB OC ()CA OC (OB OA +⋅+=⋅=CB CA |OC |⋅+2
即αθθβcos ||||cos ||cos ||cos ||||+⋅=， 两端除以|OB ||OA |并注意到 θθ==|
|sin ||OB OA , 即得αθθβcos sin cos cos 2
2+=,
将β=450,θ=300代入得αcos 4
1
4322+=, 所以,3
22
cos -=α.
8.
解
:令
,
cos sin t =+θθ则
]2,1[∈t ,,1cos sin 22
-=t θθ)
,2(2
at x x t +++=+βα,
因222
2222)2(2
1)2(21)()2(+-=--++≥++++at t at x x t at x x t , 所以,2||≥+2)()2(222≥++++⇔at x x t 对任意R x ∈恒成立
⇔02)2(2
12
22≥-⇔≥+-at t at t 或t a at t ≤⇔≤+-042或t
t a 4+≥对任意
]
2,1[∈t 恒成立1≤⇔a 或5≥a .
9. 证明：对于任何正整数n ，由递推知0
n
a
>．由
2
1
011
n
n
n
n n
n n
a a
a a a a a +-=-=>++知数列{}n
a 递减. 又对任意*
N n ∈,
011()n n i i i a a a a -==+-∑10111n
i i i a a a -=-=-+∑011
1
(1)
1n i i a a =-=--+∑
0011
1
1n
i i a n a n
a =-=-+>-+∑
．即有n a a
n
->0,从而10(1)n a a n ->--.于
是，
当1n =时，1
1
1
1
111n i i a
a =-=
<++∑； 当
1
2
20+≤≤a
n 时，由{}n a 递减得121110
111≤+-<+<+-=-∑n a n
a n a n n
i i .
故<-n a
0011
1
11n
n i i a a n a n a =-=-+<-++∑
．所以，0
[]n
a a
n
=-.
10. 解（1）依题意设直线l 方程为3)2(+-=x k y ，与椭圆联
立得
0)8124(4)23(8)41(2
2
2
=+-+-++k k x k k x k ，)23(64k -=∆，由0>∆得3
2>k 设)
,(),,(2211y x Q y x P ，则过Q P ,椭圆的切线分别为
141
1
=+y y x x ……①和14
2
2
=+y y x
x ……② ①
-
⨯2x ②
1
x ⨯，并且由3
)2(11
+-=x k y 及
3
)2(22+-=x k y 得
)2
3(231≠-=k k y ， 同理)23(234≠--=k k k x ，故点M 的轨迹方程为026=-+y x （在椭圆外） （2）2
2
41)
1)(23(64k
k k PQ ++-=
，O 到PQ 的距离为2
1
123k
k d
+-=
，M
到PQ 的距离为 2
21232
34k
k k d +--=
，2
2
2
11231
4k
k k
d d +-+=+，
四边形POQM 的面积k
k PQ d d
S 23234)(2
121--=
⋅+=
当4=S 时解得1=k 或4
11=k ，直线l 为01=+-y x 或010411=--y x 11. 解:由均值不等式得2
2
2
2
)]2()2[()()4()(c b c a b a c b a b a +++++=++++
ab c bc ac ab bc ac ab ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+=++≥222224244)2222()2(2
2
ab c bc ac ab 16884+++=,
∴)(16884)()4()(2
2c b a abc
ab
c bc ac ab c b a abc
c b a b a ++⋅+++≥++⋅++++ )2
222)(111121(8))(16884(c b b a a ab ab a b c c b a ab a b c ++++++++=+++++=
100)25()215(854
2
2522=⋅⋅⋅≥c b a c b a ,等号成立当且仅当02>==c b a , 故
A
E M
k的最大值为100 .
2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试
(考试时间：80分钟满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节
自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.
2、函数f (x)的定义域为D，若满足①f (x)在D内是单调函数，②存在[a, b]⊆D，使f (x)在[a, b]上的值域为[a, b]，那么y=f(x)叫做闭函数，现有()2
f x x k
=+是闭函数，那么k的取值范围是_________
3、如图，在△ABC 中，
25
cos 25
C =,0,AH BC ⋅=0)(=+⋅CB CA AB ， 则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为
_________
4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，
在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两
条完整的边的概率为1
2
，则该圆的半径为________
5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．
6、若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=2
2
7ax by +=，
3
3
16ax by +=，4
4
42ax by +=，则5
5
ax by +=________
7、设对于任意满足7m n <的自然数m ，n 有不等式2
22
7m n n
λ-≥恒成立，则λ的最大值为__________
8、 圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．
已知正实数,x y ，设a x y =+，22
7b x xy y =++. （1）当1y =时，
求b a
的取值范围； （2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2
c xy 的取值范围.
10.
已知数列{a n }：30,202
1
==a a ，.31
1
-+-=n n
n a a a ⑴ 证明：5001
1
2-=-+-n n n
a a a )2(≥n
⑵ 求出所有的正整数n ，使得151++n
n a a 为完全平方数.
11.
设
d
c b a ,,,为正实数，且4
=+++d c b a ．证明：
2
2
222)(4b a a d d c c b b a -+≥+++．
2013年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案
1、由容斥原理知，有392
!
32!422!5=+⋅-种. 2、2x k x +=在[－2, +∞)有两不等实根． 2[0,)x t +=∈+∞，则2
()(2)0g t t t k =--+=在
[0, +∞)有两个不等实数根，则14(2)0k ∆=++>且(0)0g ≥解得(9,24k ⎤∈--⎥⎦
． 3、取AB 的中点D , 则2CA CB AD +=, 由0)(=+⋅CB CA AB 得0AB AD ⋅=, 即AB AD ⊥.
故△ABC 的底边AB 上的高线与中线重合. 从而△ABC 是等腰三角形. AC =BC . 由0AH BC ⋅=知,
AH BC ⊥. 由25cos 25C =
, 知5sin 25C =,1
tan 22
C =，则221
2tan
2422tan 1
3
1tan 1()22
C C C ⨯=
==--.
在Rt △ACH 中, 不妨设CH =3, 则AH =4, BC =AC 2
2
AH CH +
故以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为
4253
AH e AC CH ===--. 4、在正方形相邻边所夹的劣弧上，可以看到完整的两条边。

而由题设“可以看到正方形的两条完整的边的
概率为1
2
”，可知延长正方形的边与圆的8个交点将圆
周8422+．
5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面，则4个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形，
26+． 6、因为3
3
16ax by +=，所以3
3
()()16()ax by x y x y ++=+．
所以4
4
2
2
()()16()ax by xy ax by x y +++=+．即42716()xy x y +=+……⑴ 因为2
2
7ax by +=，所以2
2
()()7()ax by x y x y ++=+．
所以3
3()()7()ax by xy ax by x y +++=+．即1637()xy x y +=+……⑵ 由⑴、⑵,解得14x y +=-，38xy =-．
又因为4
4
42ax by +=，所以4
4
()()42()ax by x y x y ++=+． 所以5
5
3
3
()()42()ax by xy ax by x y +++=+．所以5
5
42()1620ax by x y xy +=+-=． 注：用递归数列也可求解．
7、 原不等式227n m λ⇔-≥．()270mod7n ≡，()2
0,1,2,4mod7m ≡． ∴max
3λ=．
8、任选4点，共有410
210C =个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从不平行于直径的4条平行弦中选取，除去矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为
27
．
9、解：（1）∵
1
x a =-，且
11
a x =+> ∴
222
2
(1)7(1)1551195()2
4
a a
b a a a a a -+-++-=--+ 又111(0,1)a x a =+>⇒∈， 结合二次函数的图像知2
11
99
15()
244
a <--+
≤，
故b a 的取值范围为31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
另解：
22227171512121
b x x x x x a x x x x ++++=+++++=
511
2x x
+
++
，
15524,0142x x x x
++
≥<≤
++
312
b a ∴<
≤，得b a 的取值范围为31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
（2）设
2
c k xy
=，则c k xy
=
⋅，2222()77()
c x y x xy y
c x xy y x y ⎧<+++⎪⎨>+++⎪⎩ 即
22
22()77()x y x xy y k xy x xy y x y k xy ⎧++++⎪⎪
⎨
++-+⎪
>
⎪2772x y
x y k y x y x x y
x y k y x
y x
++++⎨
++++恒成立，
令x t y =，由于1
y t t
=+在[)1,+∞是增函数，令11
()72f t t t t t
++++
则
11
()72945
f t t t t t
=++++又
11
721
11
72t t t t
t t t t
+++++++++
15,125
k k ∴<<<，得2
c xy
的取值范围为()1,25
10、解30,202
1
==a a ，.180,704
3
==a a 我们用归纳法证明.5001
12-=-+-n n n
a a a )2(≥n （*） （1）当2=n 时，结论成立.
（2）假设当k n =)2(≥k 时，结论成立。

即.5001
12-=-+-k k k
a a a 又由于.31
1+--=k k k a a a 代入上式可得：.500321
1
2-=+-++k k k k
a a a a ……
①
则当1+=k n 时，=-++2
2
1
k k
k a a a =--++)3(1
21
k
k k
k a a a a 50032
121
-=+-++k
k k k a a a a （由
①）
故当1+=k n 时，结论成立，即（*）式成立. 又1
13+--=n n n a a a 可知：.50032
121
-=+-++n
n n n a a a a 则=+n n a a 15500)(21+++n n a a ，151++n n a a .501)(2
1++=+n
n a a
设151++n n a a 2t =).(N t ∈ 则-2t .501)(2
1=++n
n a a 知：)]([1n n a a t +-+.501)(1=++⋅+t a a n
n 又N a a n
n ∈++1且16735011501⨯=⨯=
故⎩
⎨⎧=++-=-+++501111t a a t a a n
n n n 或⎩
⎨⎧=++-=-+++167311t a a t a a n
n n
n 故⎩
⎨⎧=+=+2502511n
n a a t 或⎩
⎨
⎧=+=+82
851n
n a a t （舍去）
则当3=n 时，满足条件.
11.证明 因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明 d
c b a b a
d c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++2
2
2
2
2
)(4 …… ① 事实上，
)(2
222d c b a a
d d c c b b a +++-+++
)2()2()2()2(2222d a a d c d d c b c c b a b b a -++-++-++-+=
2222)(1
)(1)(1)(1a d a
d c d c b c b a b -+-+-+-= ……… ②
由柯西不等式知
2222()()()()[]()
a b b c c d d a a b c d b c d a
----++++++
2
|)||||||(|a d d c c b b a -+-+-+-≥ …………… ③
又由||||||||a b a d d c c b -≥-+-+-知
2
2
)(4|)||||||(|b a a d d c c b b a -≥-+-+-+-
2013年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试
(考试时间：80分钟满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1、设a, b是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a, b)有_
组.
2、方程16sinπx cosπx＝16x＋1
x的解集合为
3、三棱锥S ABC
是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底
面ABC ∆内的一点，
那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________
4、对任意,x y R ∈，代数式2
2
2
2
2654522M x x y y x xy y =-+-+-+最小值为________
5、计算：232010sin sin sin sin 2011201120112011
ππππ
=_______________ 6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球
（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种．
7、对,x y R ∀∈，函数(,)f x y 都满足：①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=； ③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则(3,2011)f =__________________
8、设2n 个实数1
2
2,,,n
a a a 满足条件212
11
()1n i i
i a a -+=-=∑
则1
2
212()()
n n n
n a a a a a a μ++=+++-+++的最大值为
________________
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．
设由不超过1000的两个正整数组成的数对(,)m n 满足
条件：1
21m m n n
+<<+． 试求所有这样的数对(,)m n 的个数．
10. P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，1
2
,F F 是椭圆
的焦点，1
2
,PF PF 分别交椭圆与,A B 两点，求证：1
2
12
||||||||
PF
PF F A F B +是定值．
11.
给定大于2011的正整数n ，将2
1,2,3,,n 分别填入n n ⨯的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．
2013年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案
1、设331
24124
2
3711,23711a b αβαααβββ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 则有
11max 22max 33max 44max {,}4,{,}3,{,}2,{,}1
αβαβαβαβ====.
故有序正整数对(a , b )有(241)(231)(221)(211)⨯+⨯+⨯+⨯+=945组.
2、当x ＞0时，16x ＋1x ≥8，（x ＝1
4
取到等号）而
，(x ＝14
＋k , k ∈Z 取到等号), 于是
有当x ＞0时，方程只有一个解x ＝1
4。

由于奇函数
的性质，可知x ＝1
4
是方程的另一解。

故方程的解集合为{14, －1
4
}
3、解：由2
2
2
cos cos cos 1OSA OSB OSC ∠+∠+∠=，
得222
sin cos cos OSC OSA OSB ∠=∠+∠≥2cos cos OSA OSB ∠⋅∠， 同理还有两个不等式，则W ≥22．
4、解：配方得22222
(1)(2)1(2)()M x x y x x y -+-+-+-，设(1,2),(,),(0,)A B x x C y ，
点A 关于直线y x =的对称点为1
(2,1)A ，关于y 轴的对称点为2
(1,2)A -，
所以：12||||||||||||M AB AC BC A B A C BC =++=++≥12
||10A A =
5、解：设122cos sin
z i n n
ππ
=+ ， 则1
z 是方程1n
z =的根， 则2
1211111()()()
n n z z z z z z z z z --+++=---，
2111112(1)|(1)(1)(1)|2sin
sin
sin n n n n z z z n
n
n
π
ππ
---⇒=---=，令2011n =，则原
式＝2010
20112
6、解：设经过n 次传球跑动后回到甲的不同传球方式为n a （n ≥2），则1
1
4n n n a a --+=，
所以 66554211
()()()a a a a a a a a =+-++++-5432
44444820=-+-+= 7、解：由①②③可推出3(1,)2(2,)23(3,)23n f n n f n n f n +=+=+=-．2014
(3,2011)23f =- 8、解： 当n ≥2时，令1111,1,2,3,,21i i i
x a x a a i n ++==-=-
则2122
1n i
i x -==∑，12i i
a x x x =+++
所以：1
2
12212()(1)((1))
n n n n n n x x
x nx n x x nx n x x μ+-=++
+++-+
+-+-++
231222(1)(1)n n n n
x x n x nx n x x ++=+++-++-+
+ 2
212
2
2
2
22
(21)
(121)3
n i
i n n n x -=+++
++
+=
∑ 9、解：由121
m m n n
+<<
+ 212(1)
n m n -<<+
对于每个
n
，在这个范围内的整数个数为
2(1)]21][2(1)]2]1n n n n +--=+-+
又707210007082< ， 则n ≤707, 但当707n =时，999,1000m =
所以：数对(,)m n 的总数为7061
([2(1)]2]1)2n n n =+-++∑
706
1
2(1)][2])708
708[7072][2]70899911706
n n n ==+-+=+-=+-=∑
10、证明：如图，
由椭圆的定义知：1
||
||PF PP e =，1
||F M p =，
11||
||FA AA e
=
其中e 为该椭圆的离心率，
p
为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得：
11111111111||||
||||||||2||||||||||||PF AF AF F P PF AF PF AP e
e AF AF AF ep AF ep p e
-
+-====--
所以：111||2||1||PF PF AF ep =-, 同理可得：222||2||
1||PF PF BF ep
=-
所以：
1212||||||||PF PF F A F B +
21222
44(||||)222a a PF PF ep
ep b =+-=-=-为定值．
11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的．
又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有2011n -个格子为行优的．
另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数≤(2011)n n -．
将棋盘的第(1,2,3,,)i i n =行第,1,,2010i i i ++（大于n 时，取模n 的余数）列中的格子填入“*”，再将1,2,3,,2011n 填入有
P
1
F 2
F A B
1
A M
1
P
“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有(2011)n n -个．
容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最
大值为(2011)n n -个．
A
Q
D
R
C
B
P
2013年全国高中数学联赛模拟卷(4)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1、设a , b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a , b )有 _ 组.
2、方程16sin πx cos πx ＝16x ＋1
x 的解集合为 3、三棱锥S ABC -是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O 是底面ABC ∆内的一点，
那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________
4、对任意,x y R ∈，代数式2
2
2
2
2654522M x x y y x xy y =-+-+-+最小值为________
5、计算：232010sin sin sin sin 2011201120112011
ππππ
=_______________ 6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球
（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种．
7、对,x y R ∀∈，函数(,)f x y 都满足：①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=；
③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则
(3,2011)f =__________________
8、设2n 个实数1
2
2,,,n
a a a 满足条件212
11
()1n i i
i a a -+=-=∑
则
12212()()
n n n n a a a a a a μ++=+++-+++的最大值为
________________
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．
设由不超过1000的两个正整数组成的数对(,)m n 满足
条件：1
21m m n n
+<<
+． 试求所有这样的数对(,)m n 的个数．
10. P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，1
2
,F F 是椭圆
的焦点，1
2
,PF PF 分别交椭圆与,A B 两点，求证：1
2
12
||||||||
PF
PF F A F B +是定值．
11.
给定大于2011的正整数n ，将2
1,2,3,,n 分别填入n n ⨯的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．
2013年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案
1、设331
24124
2
3711,23711a b αβαααβββ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 则有
11max 22max 33max 44max {,}4,{,}3,{,}2,{,}1
αβαβαβαβ====.
故有序正整数对(a , b )有(241)(231)(221)(211)⨯+⨯+⨯+⨯+=945
组.
2、当x ＞0时，16x ＋1x ≥8，（x ＝1
4
取到等号）而
，(x ＝14
＋k , k ∈Z 取到等号), 于是
有当x ＞0时，方程只有一个解x ＝1
4。

由于奇函数
的性质，可知x ＝1
4是方程的另一解。

故方程的解集合为{14, －1
4
}
3、解：由2
2
2
cos cos cos 1OSA OSB OSC ∠+∠+∠=，
得2
2
2
sin cos cos OSC OSA OSB ∠=∠+∠≥2cos cos OSA OSB ∠⋅∠， 同理还有两个不等式，则W ≥22．
4、解：配方得22222
(1)(2)1(2)()M x x y x x y -+-+-+-，设(1,2),(,),(0,)A B x x C y ，
点A 关于直线y x =的对称点为1
(2,1)A ，关于y 轴的对称点为2
(1,2)A -，
所以：12||||||||||||M AB AC BC A B A C BC =++=++≥12
||10A A =
5、解：设122cos sin
z i n n
ππ
=+ ， 则1
z 是方程1n
z =的根， 则2
1211111()()()
n n z z z z z z z z z --+++=---，
2111112(1)|(1)(1)(1)|2sin
sin
sin n n n n z z z n
n
n
π
ππ
---⇒=---=，令2011n =，则原
式＝2010
20112
6、解：设经过n 次传球跑动后回到甲的不同传球方式为n a （n ≥2），则1
1
4n n n a a --+=，
所以 66554211
()()()a a a a a a a a =+-++++-5432
44444820=-+-+= 7、解：由①②③可推出
3(1,)2(2,)23
(3,)23
n f n n f n n f n +=+=+=-．2014
(3,2011)2
3
f =-
8、解： 当n ≥2时，令1
1
1
1,1,2,3,
,21
i i i
x a x
a a i n ++==-=-
则2122
1n i
i x -==∑，1
2
i
i
a x x x =+++
所以：1
2
12212()(1)((1))
n n n n n n x x
x nx n x x nx n x x μ+-=++
+++-+
+-+-+
+
231222(1)(1)n n n n
x x n x nx n x x ++=+++-++-+
+ 2
212
2
2
2
22
(21)
(121)3
n i
i n n n x -=+++
++
+=
∑ 9、解：由1
21
m m n n
+<
<+ 212(1)
n m n -<<+
对于每个
n
，在这个范围内的整数个数为
2(1)]21][2(1)]2]1n n n n +--=+-+
又707210007082< ， 则n ≤707, 但当707n =时，999,1000m =
所以：数对(,)m n 的总数为7061
([2(1)]2]1)2n n n =+-++∑
706
1
2(1)][2])708
708[7072][2]70899911706
n n n ==+-+=+-=+-=∑
10、证明：如图，
由椭圆的定义知：1
||
||PF PP e =，1
||F M p =，
11||
||FA AA e
=
其中e 为该椭圆的离心率，
p
为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得：
11111111111||||
||||||||2||||||||||||PF AF AF F P PF AF PF AP e e AF AF AF ep AF ep p e
-
+-==
==--
所以：111||2||1||PF PF AF ep =-, 同理可得：222||2||
1||PF PF BF ep
=-
所以：
1212||||||||PF PF F A F B +
21222
44(||||)222a a PF PF ep
ep b =+-=-=-为定值．
11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011
P
1
F 2
F A B
1
A M
1
P
个方格中所填的数，则称此格为行优的．
又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有2011n -个格子为行优的．
另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数≤(2011)n n -．
将棋盘的第(1,2,3,,)i i n =行第,1,,2010i i i ++（大于n 时，取模n 的余数）列中的格子填入“*”，再将1,2,3,,2011n 填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有(2011)n n -个．
容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最
大值为(2011)n n -个．
A
Q
D
R C
B
P
2013年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
__________
1. 正八边形8
7
6
5
4
3
2
1
A A A A A A A A 边长为1，任取两点j
i
A A ，则2
1A A A A j i ⋅最大值为__________
2. 若i
i i k
k k
k
x a x x f C -==∑∑=--=200720070
20070
2007
)3()1()(，则∑=20071
k k
a ＝_________
3. 若关于x 的方程0142)6(2
2
2
2
2
=+-+++-+-b a b a x b b a x 的两个实数根2
1,x x 满足
,102
1≤≤≤x x 则442
2+++a b a 的最小值为______________, 最大值分别为____________
4. 设P 双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1右支上一动点，过P 向两条渐
近线作垂线，垂足分别为点B A ,，若点B A ,始
终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是___________.
5. 对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数。

对于某个整数k ，恰存在2008个正整数2008
21,,,n n n ，满足[][][]3
20083
2
3
1
n n n k ==== ，并且k 整除)2008,2,1( =i n i
，则
k
=___________. 6. A 、B 两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。

A 队的三名队员是3
2
1
,,A A A ，
B 队三名队员是B 1, B 2, B 3,，且i A 对j
B 的胜率为i
i +j
(1
≤i , j ≤3)，A 队得分期望的最大可能值是________. 7. △ABC 的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为r 的圆O , O 1, O 2, O 3放在△ABC 内，并且⊙O 1与
边AB 、AC 相切，⊙O 2与边BA 、BC 相切，⊙O 3与边CB 、CA 相切，⊙O 与⊙O 1, O 2, O 3相切,
则r =_________.
8. 设,a b 都是正整数，且(100
212a +=+，则ab 的个位数字是__________
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．已知：实数
),,2,1(n i a i =满足
1
(1,2,,)
i
a i n i
≥=，证明：
1
2
1
2112
(1)()()(12)
2(1)!
n
n n
a a a a a na n n +++≥+++++
10.
已知数列}{n
a 由2
2
2
*
1
1
1
1
2
,,()
3
n n
n a a a a a n N +-==++
∈确定, 若对于任
意*
N n ∈，
1
2
111
11
1
n
M a a a ++<+++恒成立。

求M 得最小值。

11. 在双曲线C ：x 24－y 2
5
＝1中，1
2
,F F 分别为双曲线C 的
左右两个焦点，P 为双曲线上且在第一象限内
的点，1
2
PF F ∆的重心为G ，内心为I . (1) 是否存在一点P , 使得IG||1
2
F F ；
(2) 已知A 为双曲线C 的左顶点，直线l 过右焦点2
F 与双曲线C 交于M ，N 两点，若AM ，AN 的斜率
12,k k 满足12
k k +=－1
2
，求直线l 的方程.
2013年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案
1、解：根据向量内积的几何意义，只要看向量在2
1
A A 方向上的投影即可。

最大值为2+1
2、令1=x 得∑=20070
k k
a =k
k k
k
C 2)1(20070
2007∑=-=1)21()2(2007
20070
2007
-=-=-∑=k
k k
C ，
又0
a 为k
k k
k
x C
)3()1(20070
2007
--∑=展开式中最高次项的系数1-，则
2
20071
-=∑=k k
a
3、解：设0
142)6()(22222
=+-+++-+-=b a b a x b b a x
x f ，则0)1(,0)0(≥≤f f ，
整理得
4
)2()1(22≤-++b a ，且01≥++b a ，在以b a ,分别为横轴和纵轴
的坐标系中画出上面两个不等式所表示的规划区域。

则2
2
2
2
)2(44b a a b a ++=+++，点)0,2(-到规划区域最小值
即为到直线01=++b a 的距离1
2
，则442
2+++a b a 的最小值
为距离的平方1
2
；点)0,2(-到规划区域最大值为)0,2(-的圆
心)2,1(-的距离与半径2的和25+，则442
2+++a b a 的最大值为2
)25(+=549+
4、解：由对称性，我们只讨论A 在第一象限情形.设),(00y x P ，),(A
A y x A ，则直线PA 的方程为
)
(00x x b a
y y --=-，与x a b y =联立，得：.0)(0000y x a
b
y x b a x
b
a
a b A
->⇒>+=
+
若P 在第一象限显然满足，若P 在第四象限或坐标轴
上，则)1(02
2
02
20
2
2
2
-=>⇒≤a
x
b y x a b y ， 所以
22
02222)(b x a
b b a ->-，只须
21,,022
22≤<≥∴≥-e b a a
b b a
5、解：若
33
1n
k n ≤<-，则n
k n k
>+≤33
)1(,，满足k 整除n ，则n
可取
k
k k k k k 33,,2333+++ ，共43+k 个，所以668,200843==+k k
6、解：讨论可知，2
3
1
2
3
1
:;:;:B A B A B A ，最大期望6091
=ξE
7、解：不妨设15,14,13===c b a 。

可知ABC ∆与3
2
1
O O O ∆相似，且
O 为3
2
1
O O O ∆的外心，
外接圆半径为r 2，则135
cos cos 231==∠C O O O ，13
12sin 2
31=∠O O O ，由正弦定理
13
48sin 423121r
O O O r O O =
∠=，同理可得
5
4
sin ,53cos =
=A A ，3356
cos ,sin 6565
B B =
=，
又
2cot 2cot 1521B r A r O O --==r
B B r A A r 4
15
15sin cos 1sin cos 115-=+-+-，所以
415151348r r -=，
129
260=
r
8、由二项式定理：
2a b -=(10012，((100100112122a ⎡
⎤
=+⎢
⎥⎣⎦，
((100100121222b ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，故
((2002001212
42ab ⎤=+-⎥⎦
((10010032232242⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦，设
((32232242n n n x ⎤
=+--⎥⎦，
则1
21,6
x
x ==，由恒等式()()()112
2
n
n n n n n x y x y x y xy x y -----=+---得：
()1
2
63n
n n x x x n --=-≥，{}n
x 的个位数字依次为1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，
0，…，所以6n x +≡n x ()mod10，100x ≡6164x ⨯+≡4
4x =()mod10
9
、
证
明：原
不
等式等价于
)21(2)1()12)(1)(1(2
1
2
1
n
n
n
na a a na a a n +++≥++++，
设),2,1(,1n i ia x i
i
=+=，则),2,1(,2n i x i
=≥，原不等式即为
)1(2)1(2121+-+++≥+n x x x x x x n n
n n ，等价于n
n
n
x x x n x x x n 2121)
1(2
1--+++≥+(*) 若令n
x x x ,,,3
2
不变，则(*)式右边为
n
n x x x x n x x x 321
32)
1(1--++++
，由
),2,1(,2n i x i =≥知21
=x 时(*)式右边取最大值。

同理知
),2,1(,2n i x i
==时，(*)式右边取最大值为n
n 2
1
+，即原不等式成立
10、解：由题可知2≥n 时，n
n n a a a +=+2
1，又3
1)31(942212
+
===a a
，不
妨设)
2(,3
11
≥==n a b
b n n
， 则
)
(*
2
1N n b b b n n n ∈+=+，∴1
1112
11111+++++-=-===+n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b
∴1
121223111
311111111111
()()()3111n n n n n n b b b b b b b b b b b b ++++-+++=-+-++-=-=+++
则
11111121+++++n a a a =
1
12111
11111111b a b b b n +-
++++++++ ＝1111205720313+++-=--n n n b b b
易知1
+n b 为正数，且9
12
12
1=
≥=-+b b b b
n n n ， n 趋于无穷大时，1
+n b 趋
于无穷大，则M 的最小值为20
57 11、解：(1)假设存在点P 坐标为0
(,)(0)
x y y
>,而G 为1
2
PF F
∆的重心, 故00
(,)33x y G .
而I 为1
2
PF F ∆的内心, 设1
2
PF F ∆的内切圆半径为r , 则
12
1201212
11
||||(||||||)22
PF F S F F y PF PF F F r
∆=⋅=++⋅, 于是01211
2||(||||2)22
c y PF PF c r ⋅⋅=++⋅.
122||||2cy r PF PF c
=
++. 由IG ∥1
2
F F 知,
00
122||||23
cy y
PF PF c =++, 即12||||4PF PF c
+=.
又2a =,c
e a =. 由焦半径公式知, 1020||,||PF ex a PF ex a
=+=-, 则
120
||||2PF PF ex +=.
故0
24ex c =, 即0
223432
c x e
⨯=
==. 又点P 0
(,)(0)
x y y
>在双曲线上,
则
22
00145
x y -=.
解得0
15y =(舍负). 故存在15)P , 使得IG ∥1
2
F F . (2) 若直线l 斜率不存在, 显然1
2
0k k +=不合题意. 若直线l 斜率存在, 设过2(3,0)F 的直线方程为(3)y k x =-, 直线和椭圆交于1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y .将(3)y k x =-代入2
2
5420x y -=中,
得到2
2
2
2
(54)2436200k x k x k -+--=. 由韦达定理可知:
21222
12224,453620.45k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩
又12121212123311
()[25()]222222
AM
AN y y x x k k k k x x x x x x --+=
+=+=-+++++++, 而
22212222
2
121212411244(45)21222()43620484(45)5x x k k k x x x x x x k k k k +++--+===++++++++-,
从而222111
(25)52
AM
AN
k k
k k k k -+=-⋅==-
, 即2k =-. 故所求直线l
的方程为2(3)y x =--.
2013年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1．函数 51102y x x =--的最大值是 _______
2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻
顶点跳跃.到达D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃
方式有____________种.
3．设2
()f x ax bx c =++,(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________
4．设数列{}n
a 的前n 项和n
S 满足：1n n
n S a -+=，1,2,n =，则通
项n
a = ______
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)与直线1x y +=交于M , N
两点, 且OM ON ⊥(O 为原点), 当椭圆的离心率e ∈[3
3
,
2
2
]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________ 6．对于每个大于等于2的整数n ，令)(n f 表示x nx sin sin =在区间],0[π上不同解的个数，
)(n g 表示x nx cos cos =在区间],0[π上不同解的个数，则∑=-20072
))()((n n f n g =____________
7．在平面直角坐标系中，定义点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)之间的“直角距离”为d (P , Q )=|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|
若C (x , y )到点A (1, 3), B (6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x , y 满足0≤x ≤10, 0≤y ≤10，
则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 _________ 8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，
则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．已知
,,a b c
是实数, 二次函数2
()f x ax bx c =++满足
()02a b c f a
--=，求证：－1与1中至少有一个是()0f x =的根.
10．设0b >，数列{}n
a 满足1a
b
=，1
122
n n
n nba a
a n --=
+-(2)
n ≥．
（1）求数列{}n
a 的通项公式； （2）证明：对于一切
正整数n ，1
1
12
n n
n b a ++≤+．
11．已知椭圆1
2
22
=+y x ，过定点)0,1(C 两条互相垂直的动直
线分别椭交圆于Q P ,两点。

2
1
,F F 分别 为左右焦点，O 为坐标原点。

（1）求向量||2
1
PF +的最小值；
（2）当向量2
1
PF PF +与2
1
QF QF +互相垂直时，求Q P ,两点所在直线的斜率。

2013年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案
1、函数的定义域为[1, 5]，且y ＞0,
5125y x x
=--
22225(2)(1)(5x x ≤+-+-2743
=⨯=当且仅当
215
5x x -=-，等号成立，即x ＝127
27
时
函数取最大值6 3 2、 跳5步共有32种，其中包含3步跳到D 的两种情形，应减去8种，
所以满足条件的5步跳有24种。

在加上2种3
3、()()()24233f a b c a b c a b c c =++=+++-+-()()()()()()3113031130f f f f f f =+--≤+-+
3137≤++=, 当()2
21f x x =-+时, ()27f =
4.
1
1
1
1
(1)(2)(1)n n n
n n
n n a S S a a
n n n n +++-=-=--++++，即 2n
n a n n n n n n a ++++-++-+=+)
1(1
11)2)(1(221 =)
1(1
)2)(1(2++
+++-n n a n n n ，由
此得
2)1(1
))2)(1(1(1++
=+++
+n n a n n a
n n ．
令1(1)
n
n b
a n n =+
+，1
1
11
22
b a =+= (1
0a =)，有1
12
n n b
b +=，故1
2n
n
b
=
，所以
)
1(121+-
=
n n a n n ． 5. 由
22
221
1x y a
b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
,可得2
222222()20
a
b x a x a a b +++-= ① 由OM ON ⊥得12
120
x x
y y +=, 即12
122()10
x x
x x -++=, 将
2
122
22a x x a b +=-+, 222
122
2
a a
b x x a b -=+代入得2
2
11
2
a b +=, 即2
2
1
12b a =-
, 因为
3232
c a ≤≤,
得
2211132
b a ≤-≤, 得
221223
b a ≤≤, 有2
2
31
(2)22
a
a ≤⋅-
≤, 526
a ≤≤6、由x nx sin sin =得：
x
k x k nx -++=πππ22或
，即π112++=n k x 或π1
2-=n k
x ，又],0[π∈x ，
则20n k ≤≤或2
1
0-≤≤n k ；但两组取值可能重复。

若=++π112n k π1
2-n m ，讨论得：*
,14N t t n ∈+=
时重复一组。

同理对于x nx cos cos =，π12-=n k x 或π1
2+=n k
x ，21
0-≤
≤n k 或21
0+≤≤n k ，
*
,12N t t n ∈+=时重复一组。

比较两种解的取值知，2
1
0-≤≤n k
210+≤
≤n k 比2
0n k ≤≤多一组解，但)(n g 当*
,12N t t n ∈+=时重复一组。

)(n f 只当*
,14N t t n ∈+=时重复一组。

实质只有当*
,14N
t t n ∈+=时，)(n g 比)(n f 多1个解，
其余情况解相同。

所以∑=-20072
))()((n n f n g =50114
5
2005=+-。

7. 由条件得|1||3||6||9|x y x y -+-=-+- --------①
当y ≥9时，①化为|1|6|6|x x -+=-，无解； 当y ≤3时，①化为|1|6|6|x x -=+-，无解；
当3≤y ≤9时，①化为212|6||1|y x x -=--- -------②
若x ≤1，则y ＝8.5，线段长度为１；若1≤x ≤6，则x ＋y ＝9.5，线段长度为52；若x ≥6，
则y ＝3.5，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为1＋52＋4＝5(2＋1)
8. 如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面
1
11A B C //平面ABC ，
与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体
1
11
P A B C -的中心，11
1
PO A B C ⊥面，垂足D 为1
11
A B C 的中心．
因111
111
13P A B C A B C V S PD -∆=⋅111
4O A B C V -=⋅111
1
43
A B C S OD ∆=⋅⋅⋅， 故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．
记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1
OP ，则
2
222
1
1
(3)22PP PO OP r r r =-=-=．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，
易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三答图1
记为1
P EF ，如答图2．记正四面体的棱长为a ，过1
P 作1
PM PA ⊥于M ．
因16
MPP π∠=，有11
3
cos 226PM PP MPP r r =⋅==， 故小三角形的边长1
226PE PA PM a r =-=-．
小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）
1PAB
P EF
S S ∆∆-2
2
3
(26))a a r =--2
3263ar r =-． 又1r =，6a =1
24363183PAB
PEF S S ∆∆-=
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723
9、由()02a b c f a --=知二次函数2
()f x ax bx c =++有零点，若二次
函数2
()f x ax bx c =++只有唯一的零点，则这个零点就是抛物
线的顶点，有22a b c b a a --=-，解得a c =，由0=，有22
40b a -=，
则2b a =±，故抛物线的顶点横坐标为2122b a
x a a
=-=
=，所以1-与
1中至少有一个是()0f x =的根。

若二次函数2
()f x ax bx c =++有两个不同的零点，因为：
()()2
2
242a a b c b a b c a b c f c a a a ------⎛⎫=++ ⎪
⎝⎭
()()2
244a b c b a b c ac a
--+--+= ()()244a b c a b c b ac
a
----++=
()2
244a c b ac a
--+=
()2
2
4a c b a
+-=
()()
4a b c a b C a
--++=
()()110
4f f a
-=
=，所以()10f -=或
()10
f =
故1-与1中至少有一个是()0f x =的根。

10、解：∵1
1
22
n n
n nba a a n --=+-，∴1
1
22n
n n a ba n a n --=+-，∴1211
n
n n n a b a b
--=
⋅+。