初中数学压轴题--动态几何证明及实验题

（2）不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边 AF 时，即矩形的宽∶长＝AB∶AF＝ 3 : 2 时正
好能折出．如果设矩形的长为 A，宽为 B，可知当b ≤ 3 a 时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当 2
3 a＜b＜a 时，按此法无法折出完整的等边三角形．
2
〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解．
标注三
角板为
阴影
A △为阴F影CG
E
F
EM=MG，∠B=∠MCG．因为 FM 垂直平分 EG，所以 FE=FG．又因为 B
M
C
∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG +∠ACB=90°，即∠
°，所以 ，所以 ． FCG=90
GC 2 + FC 2 = FG 2
BE 2 + FC 2 = EF 2
E
∠MCG．因为 所 以 ∠ B+ ∠
FM 垂直平分 ° ， ACB=90
所EG以，所∠以MFCEG=F+G∠．又AC因B为=9∠0 °BA，C=即90∠°，标角阴影板注
为三
B
E
M
图 A 2
C G
°，所以 ，所以 ． FCG=90
GC 2 + FC 2 = FG 2
BE 2 + FC 2 = EF 2
个三角形中．
2．当角的两边分别与边 AB、直线 AC 相交于点 、E F 时，构造和证 明的方法不变．
证明（1）线段 、 、 BE EF FC 可以构成直角三角形．如图 1，延长 EM 到 G，使得 EM=MG，联结 GC、FG．因为 M 为 BC 中点，所以 ， BM=CM 又因为∠EMB =∠GMC，EM=MG，所以△EMB≌△GMC，所以 ， BE=GC
A
E
B
G
2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并 使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q． 探究：设 A、P 两点间的距离为 x．
（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数 的定义域；
实验操作
【要点导航】
通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验 操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.
【典例精析】
例 1 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，如图 1；第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 ， AE 点 B 在 MN 上的对应点为 B'，得 Rt△AB'E，如图 2；第三步：沿 EB'线折叠得折痕 EF，使 A 点落在 EC 的 延长线上，如图 3．利用展开图 4 探究： （1）△AEF 是什么三角形？证明你的结论； （2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．
【典例精析】
例 1 如图，在线段 AE 的同侧作正方形 ABCD和正方形 BEFG （ BE < AB ），连结 EG 并延长交
DC 于点 M ，过 M 作 MN ⊥ AB，垂足为 N ， MN 交 BD 于点 P ．设正方形 ABCD 的边长为 1．
（1）证明△CMG≌△NBP；
（2）设 BE=x，四边形 MGBN 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．
（2）如图 2，当点 F 在 CA 的延长线上时，延长 EM 到 G，使得 ， EM=MG
标注三 角板为 阴影 F
G
△为阴F影CG
A
联结 GC、FG．因为 M 为 BC 中点，所以 BM=CM，又因为∠EMB ∠ ， = GMC
EM=EG，所以△EMB≌△GMC，所以 ， ，∠ BE=GC EM=MG B=
2．∆BPG 中∠PBG 始终是 45°，而∠BPG 和∠PGB 有可能为 90°，要分情况讨论．
3．第（5）小题即可用割补法求也可用利用 ∥ AC BF 将△ACF 的面积转化为△ABC 的面积．
证明（1）因为
正方形 ABCD，所以
， ，同理 ．因为 ∠C = ∠CBA = 90° ∠ABD = 45°
（3）如果按照题设方法作出的四边形 BGMP 是菱形，求 BE 的长． D M C
（4）联结 PG，若∆BPG 能否成为直角三角形？如果能，求 BE 的长；
GF
如果不能，请说明理由． （5）联结 AC、AF、CF，求证△ACF 的面积为定值．
〖思路分析〗
P
A
NB
E
1．第（3）小题把四边形 BGMP 是菱形作为条件探索 BE 的长．
动态几何证明及实验题 所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题 目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变 化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的 选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针 对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的 特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．
∠BEG = 45°
， CD//BE
所以 ，因为 ∠CMG = ∠BEG = 45° MN ⊥ AB ，垂足为 N，所以 ．所以 ∠MNB = 90° 四边形 BCMN 是
矩形．所以 CM = NB ，又 因为 ， ∠C = ∠PNB = 90° ，所以 ∠CMG = ∠NBP = 45° △CMG≌△NBP．
（2）因为 正方形 BEFG，所以 ，所以 BG = BE = x CG =1− x ．从而 CM =1− x ，所以
．定义域为： ． y = 1 (BG + MN) ⋅ BN = 1 (1 + x)(1 − x) = 1 − 1 x2
0< x <1
2
2
22
（3）由已知易得 MN//BC，MG//BP．所以四边形 BGMP 是平行四边形．要使四边形 BGMP 是菱形．则
B
M
图3
C F
△ FCG 为阴影
G
如图 3，当点 F 在 AC 的延长线上时，同理可证
． BE 2 + FC 2 = EF 2 〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．若能将所要求线段移动到同一条直线上， 则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理 的可能性较大．
（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条直 角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 ⊥ DE BA 于点 E．此时请你通过观察、测量 、 DE DF 与 CG 的长度，猜想并 写出 ＋ DE DF 与 CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
并求出 Q 点坐标．
探索性问题
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探 索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索 型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一， 或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在 一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．
B
图6
C
B
图7
C
3. ★★★在△ABC 中， ， ⊥ AB=AC CG BA 交 BA 的延长线于点 G．一等腰直角三角尺按如图 1 所示 的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B．
（1）在图 1 中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系，然后证 明你的猜想；
【星级训练】
第 天 ，年 月 日 1. ★★★如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上（点 E 与点 、A B 不重合），过点 E 作 ⊥ ， FG DE
FG 与边 BC 相交于点 F，与边 DA 的延长线相交于点 G． （1）操作：由几个不同的位置，分别测量 、 、 BF AG AE 的长，从中你能发现 、 、 BF AG AE 的数量之
（2）探究 2：若改变为：“角的两边分别与边 AB、直线 AC 相交于点 E、F．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的 B 图形并请证明你的猜想．
M
C
〖思路分析〗 1．由点 M 是 BC 中点，所以构造绕点 M 旋转 180°重合的全等三角形，将线段 、 、 BE EF FC 移到同一
6
C
5
4
3 2A
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2
A' 23
l B 4 5 6x
-3 D ' E ' -4
-5
-6
(? 22? ? )
对称点 P′ 的坐标为
（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点 、 ，试在直线 D(1,-3) E(-1,-4) l 上确定一点 Q，使点 Q 到 、D E 两点的距离之和最小，
（3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到图 3 所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
F A
B
图1
G FA
E
CB
D
图2
G CB
G EA F
C D
图3
4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线．
图1
图2
图3
图4
【思路分析】
1．图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以∠BEA=∠AEB'=∠FEC，它们都是 60°角，所以△AEF 是
等边三角形．
2．由操作可知 AF>AD 时，不能完整折出这种三角形．当图 3 中的点 、F D 重合时，便可求得矩形的
长与宽的比例为 2︰ 3 ．
解（1）△AEF 0° ．因为 ∥ ， BC AD 所以∠AFE = ∠FEC = 60°．所以△AEF 是等边三角形．
例 2 已知：在△ABC 中，∠ ， BAC=90° M 为 BC 中点．操作：将三角板的 90°角的顶点与点 M 重合，
并绕着点 M 旋转，角的两边分别与边 、 AB AC 相交于点 E、F．
（1）探究 1：线段 、 、 BE EF FC 是否能构成三角形？如果可以构成
A
三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．
间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论； （2）连结 DF，如果正方形的边长为 2，设 AE= x ，△DFG 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，
并写出函数的定义域；
（3）如果正方形的边长为 ，2 FG 的长为 5 ，求点 C 到直线 DE 的距离． 2
D
C
D
C
F
A 供试验操作用 B
（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试说明理由．（图 5、图 6、图 7 的 形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用）
A
D
A
D
A
D
B
图5
C
条件探索
【要点导航】
“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之 中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因 而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合 性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法 的综合应用．
实验与探究：
（1）由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A′ 的
坐标为（2，0），请在图中分别标明 ,B(5 3) 、C(-2,5) 关
7y
于直线 l 的对称点 B′ 、C′ 的位置，并写出他们的坐标：
B′
、 C′
；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐 标平面内任一点 P(a,b)关于第一、三象限的角平分线 l 的
，所以 BG=MG
x=
．解得 2(1 − x)