山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.3.2圆周角和圆心角

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.3.2圆周角和圆
心角
的关系》教案北师大版
教学目标：
1.掌握圆周角定理的推论的内容；
2.会熟练运用推论解决相关问题．
3.在从观察和猜想到推理和证明的过程中，感受到分类、变换和类比等数学思想的重
要性
教学重点：
教学困难：
理解推论的“题设”和“推论”
教学准备：
多媒体课件、几何画板软件、圆规、三角尺．教法学法：
类比教学法、启发式教学法、合作探究法
一、创设情境，引入新课．
老师：在这节课上，让我们学习“圆周角和中心角之间的关系（II）”。

首先，让我
们复习上节课的主要内容。

谁来谈论这件事？
生1：圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．生2：圆
周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．设计意图：能将上节课学到
的圆周角定理记忆巩固．
老师：圆角定理在证明或计算中被广泛使用。

上节课，我们提出了足球场上投篮角度
的问题。

让我们来看看这张照片。

仅考虑投篮角度的大小，小明的四个点B、D、e和o中，哪一个相对于球门的角度更好？
生：o点．根据圆周角定理，∠aoc=2∠abc，∠aoc=2∠adc，∠aoc=2∠aec，∠aoc
比∠abc，∠adc和∠aec都大．师：我完全认同你的观点，那如果只在b,d,e三个点中选
择的话，哪个点的射门角度更好呢？为了研究这个问题，我们来看第一个探究．
设计意图：激发学生的求知欲，肯定学生的合理解释。

二、师生互动探索新知识（一）课件展示：
1
探针一：同一圆弧的周长之间的关系
问题：判断图中∠abc，∠adc和∠aec的大小关系？安排学生小组讨论后在探究纸上写出简要的证明过程．
老师：我想学生们很快就会得出结论。

哪一组会给出你的意见。

学生：我们认为a和B的拍摄角度是相同的
∵∠abc=
1.∠aoc21∠adc=∠aoc
21∠aec=∠aoc
2.∴∠abc=∠adc=∠aec
师：通过以上证明，再结合图形，同学们能得到怎样的结论呢？生：同弧所对的圆周角相等．
老师：这个结论可以推广到“在同一圆或等圆内，同一圆弧或等圆弧相对的圆周角相等吗？”学生们思考后举手
生：是可以的．根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”就可以推出这一结论．
老师：你明白他说的话吗？学生：我明白了
师：这就是我们这节课要学习的圆周角定理的第一个推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．给同学们一分钟的时间理解记忆一下．生阅读、理解、记忆．
老师：现在请找出图中四对相等的圆周角。

课件：
找一找：找出图中四对相等的圆周角．学生看图寻找并把答案写在探究纸上．师：谁来说一下？
学生：∠ 1 = ∠ 4.∠ 2 = ∠ 7.∠ 3 = ∠ 6.∠ 5 = ∠ 8因为它们都面对同一条弧线
师：这位同学找的非常全面．这个定理又为我们在圆中找等
角度提供了一个重要的依据。

我们已经知道“在同一圆或等圆中，同一圆弧或等圆弧的圆周角是相等的。

”现在请考虑一下。

如果我们交换这个命题中的条件和结论，即：在同一个圆或等圆中，如果两个圆的圆周角相等，它们会相等吗？为什么？做一个猜测，在练习本上画一幅画，试着证明你的猜测
生：相等．因为，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，根据“圆周角定理”，它
们所对圆心角也相等；再根据“圆心角、弦、弧三者关系定理”，就能够得出那么它们所
对弧也相等．
老师：是的。

这样，我们就可以得出一个结论：在同一个圆或同一个圆上，如果两个
圆的周角相等，那么它们的圆弧必须相等。

（2）调查两个
师：下面我们来深入探索一下．课件出示：
1.如图所示，AB为⊙ 你能找到学位吗？
2
学生思考并完成调查问卷上的证明过程
师：我看多数同学已经有答案了，谁来说一说自己的想法？生：∵ab是⊙o的直径
A.∠ 是一条直线，即在同一角度AOB上180°
∵∠acb和∠aob对着同一弧ab∴∠acb=
1.∠ AOB=90°2除法：然后交换刚才问题的条件和结论：如果圆周角∠ ACB=90°，
与之相对的弦AB是否等于⊙ 哦？
学生讨论，老师巡视，发现学生不好组织语言，就进一步做出提示：什么叫直径？过
圆心的弦叫做直径．那我们要证明弦ab是不是⊙o的直径，只需要证明什么？生：证明点o，a，b是否在同一条直线上即可．生根据提示快速思考，获得结论，举手回答问题．生：分别连接ob，oc，∵∠acb=90°
‡∠ AOB=180°（圆弧的圆周角等于其相对圆中心角的一半），也就是说，点o、a和
B位于同一条直线上，弦AB是圆弧的直径⊙ o
师：综上所述：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．（三）归
纳
老师：通过对以上问题的讨论，我们得出结论，有两个推论是圆的角度定理。

课件：
圆角定理的推论：推论1。

在同一圆或等圆中，与同一圆弧或等圆弧相对的圆弧角度相等；相等的圆周角等于圆弧。

推论2：直径的圆周角为直角；与90°圆周角相对的线的直径。

学生们，你们呢？你明白这两个推论吗？学生：我明白了
设计意图：在探究的过程中，既能发展学生的独立思考能力，又发展能互相合作的能力．老师要做的就是引导学生体会一般到特殊如何总结规律．（四）例题分析
老师：现在让我们把我们的心变成行动——请看一个例子。

给我看课件：
例：如图，ab是⊙o的直径，bd是⊙o的弦，延长bd到c，使ac=ab，bd与cd的大
小有什么关系？为什么？
三
师：请同学们思考一下．
在独立思考的基础上，学生分组讨论，验证自己的观点，然后老师和学生一起完成主
题
师生共同分析：由题中ab是⊙o的直径，我们不难想到“推论2”――直径所对的圆
周角是直角．那么既然有直径ab，但图中并未作出它所对的圆周角，所以我们可以直接连接ad，那么∠adc=90°，即ad⊥bc．又因为ac=ab，根据等腰三角形的“三线合一”，所以bd=cd．师：下面谁能来说一下具体的步骤？生：解：连接ad
∵ AB是直径⊙ o⊙ ADB=90°，即ad⊥ BC和∵ AC=ab
∴bd=cd（三线合一）
（五）讨论
师：在以上的探究过程中，你用到了哪些方法？学生组内交流，全班进行汇总．
学生：在学习图形的过程中，我们使用了测量、证明、分类、变换和类比的方法。

在
求解算例时，我们还实现了一种辅助线的加法：在直径上构造圆周角
师：同学们总结的非常好，下面我们还要沿用以上方法来解决一下这类问题．设计意图：培养学生善于总结和向他人学习的学习态度．（六）做一做课件出示：
在船的航行中，船长经常通过测量角度来确定是否会遇到暗礁。

如图所示，a和B代
表灯塔，暗礁分布在穿过a和B两点的圆形区域内，C代表危险临界点，∠ ACB是“危险
的角度”。

当船与两座灯塔之间的夹角大于“危险角”时，就有可能撞到礁石上
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
（2）船与两座灯塔之间的夹角∠ α当小于“危险角”时，船舶位于何处？为什么？安排学生在课本上画画，在独立思考的基础上分组讨论，以提高他们的想法，然后小组将
派代表解释他们的观点。

分析：（1）船与两座灯塔之间的夹角∠ α大于“危险角”时，船舶位于内部⊙ O.可以用反证法解释：假设船舶位于图中的E点，则∠ α等于“危险角”，这与已知的相矛盾，因此
4
无法在上找到⊙ o；如果船在外面⊙ o、如图中P点所示∠ α+ ∠ PBE=∠ bea=∠ C、有∠ α小于“危险角”，这与已知角度相反，因此船舶不能位于外部⊙ O.总之，该
船位于内部⊙ O.（2）当船舶与两座灯塔之间的夹角为∠ α当小于“危险角”时，船舶位于外部⊙ O.证明过程以（1）为模型。

假设船位于图中的E点∠ α等于“危险角”，与已知角度相矛盾，因此无法定位船舶⊙ o；如果船在⊙ o、如图中Q点所示∠ α= ∠ bea+∠ ebq=∠ C+∠ ebq，现在有了∠ α大于“危险角”，这与已知角度相反，因此船舶不能位于⊙ O.总之，该船位于船外⊙ 设计意图：培养学生分析和解决问题的能力。

第三，课堂练习，巩固应用
师：下面我们来看一些练习题，检测一下同学们最本节课内容的掌握和理解情况．课件出示：1.判断题：
（1）在相同或相等的圆中，相等圆弧的圆周角相等（2）与90°角相对的弦为直径（3）相同弦的圆周角相等（1）(√) 这句话是推论一
（2）（×）反例:（3）（×）反例:如图，弦ab所对的圆周角有两类，它们的顶点分别在弦ab所对的优弧和劣弧上，这两类圆周角显然不一定相等（除非这条弦是直径）．可以引导学生进一步分析得出：∠acb+∠adb=180°．
老师：现在让我们来看看两个空白的填充问题。

学生先独立完成，然后向学生询问答案和依据。

课件：2填空：
(1)如图1,所示,∠bac=,∠dac=.
（2）如图2所示，直径⊙ o AB=10cm，C为⊙ 哦，∠ BAC=30°，然后BC=cm
图1图2学生独立思考完成题目，教师组织回答问题．生1：（1）∠bac=∠bdc，
∠dac=∠dbc．因为同弧所对的圆周角相等．生2：（2）∵ab为⊙o的直径
‡∠ ACB=90°，即。

△ ABC是一个直角三角形≓∠BAC=30°
∴bc=
1ab=5cm.25。