2016届高三数学一轮复习课件：8.3圆的方程

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与圆有关的最值问题
研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数 形结合求解． (1)形如 u＝yx－－ba的最值问题，可转化为动直线的斜率的最 值问题． (2)形如 t＝ax＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的 最值问题． (3)形如 t＝(x－a)2＋(y－b)2(t>0)的最值问题，可转化为动点 到定点的距离的最值问题．
解得 D＝－2，E＝－4，F＝－95， ∴所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－95＝0.
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方法二 由 A(1,12)，B(7,10)得 A、B 的中点坐标为(4,11)，kAB ＝－13， 则 AB 的中垂线方程为 3x－y－1＝0， 同理得 AC 的中垂线方程为 x＋y－3＝0，
此外还有交轨法、参数法等.不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何 性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键.
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如图所示，已知 P(4,0)是圆 x2 y2 ＝36 内的一点，A，B 是圆 上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.
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4．(2013·青岛模拟)若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线
4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）
A.(x 3)2 (y 7)2 1 3
B.(x 2)2 (y 1)2 1
C.(x 1)2 (y 3)2 1
D.(x 3)2 (y 1)2 1 2
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(2)方法一如图，设圆心(
x0
，－4
x0
)，依题意得
4x x0
0 3
2
=1，
∴ x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)， 半径 r＝ (3 1)2 (2 4)2 2 2 ，
故圆的方程为(x 1)2 (y 4)2 8.
方法二设所求方程为(x x0 )2 (y y0 )2 r2，
求圆的方程
常见的求圆的方程的方法有两种，一是利用圆的几 何特征，求出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程 ；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知 条件选择标准方程还是一般方程.
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根据下列条件，求圆的方程．
(1)求过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为
若以 AB 的长为直径的圆 M 恰好经过点 C(1，－1)，则圆
心 M 的轨迹方程是
．
【解析】设圆心 M 坐标为(x，y)，则(x 1)2 (y 1)2 (| AB |)2，
2
即(x 1)2 (y 1)2 9 .
【答案】(x 1)2 (y 1)2 9
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即 x 2 ＋y 2 －4x－10＝0.
因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，点 Q 即在所求的轨迹上
运动.
设 Q(x，y)，R(x1，y1)，因为 R 是 PQ 的中点，
所以
x1＝
x
2
4
，y 1 ＝
y
2
0
，代入方程
解析： （1）设 AP 中点为 M（x，y）， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为（2x-2,2y）. ∵P 点在圆 x2+y2=4 上，∴（2x-2）2+（2y）2=4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1.
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（2）设 PQ 的中点为 N（x，y）， 在 Rt△PBQ 中，|PN|=|BN|， 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以 x2+y2+（x-1）2+（y-1）2=4. 故 PQ 中点 N 的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.
（1）过三点 A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.
（2）求半径为 10 ，圆心在直线 y=2x 上，被直线 x-y=0 截得
的弦பைடு நூலகம்为4 2 的圆的方程.
【解析】 (1)方法一 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx 1＋144＋D＋12E＋F＝0
＋Ey＋F＝0，则49＋100＋7D＋10E＋F＝0， 81＋4－9D＋2E＋F＝0
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则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝4 2， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16. ∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝a2＋b22－10， ∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16， 即 a－b＝±2. 又 b＝2a，∴ba＝＝42.， 或ab＝ ＝－ －24，. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
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方法二 ∵r＝ 10，设圆心 C(a,2a)，
圆心到直线 x－y＝0 的距离为 d，
则
d＝|a－2a|＝ 2
22|a|，
由垂径定理知 r2－d2＝2 2，
即 10－12a2＝8，∴a2＝4.
∴a＝±2.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
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与圆有关的轨迹问题
求与圆有关的轨迹时，根据题设条件的不同常采用以下做法： （1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；
（3）几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
y0
4 x 0
根据已知条件得 (3 x0 )2
(2
y0 )2
r2
，解得
x y
0 0
1 4
| x0 y0 1| r
r 2 2
2
因此所求圆的方程为(x 1)2 (y 4)2 8
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【变式训练】 1.根据条件，求下列圆的方程：
3
3
2
【解析】依题意知，直线 l 过圆的圆心． 又圆心坐标为(3，－3)，代入直线方程得 a＝6. 所以直线的斜率是－ 3 .
2 【答案】D
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3.△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，
则该三角形的外接圆方程是
x
2
＋y
2
－4x－10＝0，
得
x
x
2
4
2
y 2
2
4
x
2
4
－10＝0，
整理得 x 2 ＋y 2 ＝56，此即为所求顶点 Q 的轨迹方程.
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【变式训练】 2.已知圆 x2+y2=4 上一定点 A（2，0），B （1,1）为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. （1）求线段 AP 中点的轨迹方程； （2）若∠PBQ=90°，求 PQ 中点的轨迹方程.
【思考探究】 二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+ Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么？
提示：
A C 0 B 0
D2 E2 4F 0
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2．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心 A(a， b)，半径 r，若点 M(x0，y0)在圆上，则__(x_0－__a)_2 ___ __＋__(y_0－__b)_2＝__r2____；若点 M(x0，y0)在圆外，则 ___(_x0_－_a_)2_＋_(y_0_－_b_)2_>r_2 _______；若点 M(x0，y0)在圆 内，则__(_x_0－_a_)_2＋_(_y0_－_b_)2_<_r2______.
【解析】由题意知，m2 (2)2 －4×3>0. ∴m>2 2 或 m<－2 2 . 【答案】B
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2．若圆 x2 y2 －6x＋6y＋14＝0 关于直线 l：ax＋4y－6＝0
对称，则直线的斜率是（）
A.6 B. 2 C.－ 2 D.－ 3
【解析】设 AB 的中点为 R，坐标为(x，y)，连接 OR，PR， 则在 Rt△ABP 中，|AR|＝|PR|. 又 R 是弦 AB 的中点， 所以在 Rt△OAR 中， |AR| 2 ＝|AO| 2 －|OR| 2 ＝36－(x 2 ＋y 2 ). 又|AR|＝|PR|＝ (x－4)2＋y2 所以有(x－4) 2 ＋y 2 ＝36－(x 2 ＋y 2 )，
由已知| y1 y2|＝4 3 ，其中 y1， y2是方程④的两根， 所以(y1 y2 )2＝(y1 y2 )2 －4y1y2＝E2 －4F＝48.⑤
D＝－2 D＝－10，
解②、③、⑤组成的方程组得E＝0 或E＝－8，
F＝－12 F＝4.
故所求圆的方程为x2 y2－2x－12＝0 或x2 y2－10x－8y＋4＝0.
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1．(2014·阜阳模拟)方程 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 表示圆， 则 m 的范围是（） A.(－∞，－ 2 )∪( 2 ，＋∞) B.(－∞，－2 2 )∪(2 2 ，＋∞) C.(－∞，－ 3 )∪( 3 ＋∞) D.(－∞，－2 3 )∪(2 3 ，＋∞)
()
A. x22 y22 20
B. x22 y22 10
C. x22 y22 5
D. x22 y22 5
【解析】易知△ABC 是直角三角形，∠B＝90°， ∴圆心是斜边 AC 的中点(2，2)，半径是斜边长的一半， 即 r＝5， ∴外接圆的方程为x22 y22 5. 【答案】C
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【解析】依题意设圆心 C(a,1)(a>0)，由圆 C 与直线 4x－3y＝0 相切，
得 | 4a 3 | ＝1，解得 a＝2，则圆 C 的标准方程是(x 2)2 (y 1)2 1. 5
【答案】B
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第七页，编辑于星期五：二十点 十一分。
5．已知 A、B 是圆 O： x2 y2 16上的两点，且|AB|＝6，
4 3 的圆的方程．
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点
P(3，－2). 【解析】(1)设圆的方程
为x2 y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 E2 －4F＞0)．①
将
P，Q
点的坐标分别代入①得
4D－2E＋F＝－20 D－3E－F＝10
②③
令 x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④
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3 若实数 x，y 满足x22 y2
.求：
y
(1) 的最大值和最小值；
x
(2)y－x 的最小值；
. (3) x42 y32的最大值和最小值
【解析】(1) y y 0 ， x x0
3x－y－1＝0 x＝1 联立x＋y－3＝0 得y＝2 ， 即圆心坐标为(1,2)， 半径 r＝ 1－12＋2－122＝10. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
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(2)方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10， ∵圆心 C(a，b)在直线 y＝2x 上， ∴b＝2a. ∵圆被直线 x－y＝0 截得弦长为 4 2， 将 y＝x 代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得 2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线 y＝x 交圆 C 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
定义 平面内与定点 的距离等于定长 的点的集合（轨迹） 限定条件
标准 方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心：（a,b）,半径： r.
r>0
一般 方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0圆心：
D 2
, E 2
,
1
半径： 2
D2 E2 4F
D2+E2-4F>0
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