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，偶函数的图象关于 奇函数的图象关于 注意： （1）研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域 （2）若函数 y f ( x ) ， x D 是奇函数，且 0 D ，则 如：判断 y ( x 1)
1 x 的奇偶性。 1 x
关于函数的单调性和奇偶性的的结论： 1、若奇函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上单调递增（减） ，则 f ( x ) 在区间 [ b, a ] 上是单调 递 ；
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对称性 性 周期性 性 奇偶性 关于 y=x 对称
S f (r )
；定义域为
。
（3）函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 一 ；
f ( x) ax 2 bx c, x (m, n) 的形式；
②逆求法（反求法） ：通过反解，用 y 来表示 x ，再由 x 的取值范围，通过解不等式，得
元素与集合 韦恩图
一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ，
集合元素的互异性：如： A {x, xy , lg( xy )} ， B{0, | x |, y} ，求 A ； （2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如：
2
f ( x) g ( x) h( x) ；其中 g ( x)
（3）函数对称性的结论：
是偶函数， h( x )
是奇函数；
②y
x x3 x x3 ；③ y ； , x (,0) （2 种方法） , x (,0) （2 种方法） x 1 x x x3 x x3 , x (,0) ；⑤ y , x (,0) （2 种方法） ； 2 x x 1 x2
2
y F {( x, y ' ) | y x 2 2 x 1} ； G {z | y x 2 2 x 1, z } x
（5）空集是指不含任何元素的集合。 （ {0} 、 和 { } 的区别；0 与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为 A B ，在讨论的时候不要遗忘了 A 的情况。 如： A {x | ax 2 x 1 0} ，如果 A R ，求 a 的取值。
2 2 2
1、 设函数 y f ( x ) 的定义域为 R ， 且满足条件： f ( a x ) f (b x ) ， 则函数 y f ( x ) 的图象关于直线 对称； 对称； 对称；
如：由 f (1 x ) f (1 x ) 成立，则 f ( x ) 关于 注意： y f ( a x ) 与 y f (b x ) 关于
，则 f ( x ) 在区间 [ b, a ] 上是单调 2、若偶函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上单调递增（减） 递 ； 3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为 ；这样的函数有 个。
k ⑥基本不等式法：转化成型如： y x ( k 0) ，利用平均值不等式公式来求值域； x
；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 注意： “若 p q ，则 p q ”在解题中的运用， 如： “ sin sin ”是“ ”的
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条件。
六、反证法：当证明“若 p ，则 q ”感到困难时，改证它的等价命题“若 q 则 p ”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判 断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假 命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、 “唯一”等字眼时。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 正面词语 否定 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个
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一、集合与简易逻辑：
集合 概念 元素的特征 确定性 互异性 无序性 集合的分类 列举法 集合的表示 描述法
2 2 2
二、集合间的关系及其运算 （1）符号“ , ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“ , ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
一元一次函数
一元二次函数
型如：
y c
对
a xb
应
y x
方
k ( k 0) x
程 不等式
④赋值法：如：已知 2 f ( x ) f ( ) x 1( x 0) ，求 f ( x ) ； （2）函数定义域的求法： ①y
1 x
映
射
常用函数
一一映射 反函数 函数的三要素 反 解 图 象 定义域 值 域 解析式 解析式 定义域 值 域 最 一、映射与函数： 单调性 值
2
A {x | y x 2 x 1} ； B { y | y x 2 x 1} ； C {( x, y ) | y x 2 x 1} ； D {x | x x 2 x 1} ； E {( x, y ) | y x 2 x 1, x Z , y Z } ；
ax b 出 y 的取值范围；常用来解，型如： y , x ( m, n ) ； cx d
③判别式法：转化一个关于 x 的一元二次方程（其中 y 为参数） ，利用存在 x 使得方程成 立，找方程有解的充要条件；适用题型： y
减函数； 注意： （ 1）函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于 x 的多 项式，还可以通过求导证明：当 时为增函数，当 时为减函数。 （2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。 （2） 函数的奇偶性： 对于函数 f ( x ) ， 如果定义域内任意的 x1 ， 都有 为奇函数； 都有 ，则称 f ( x ) 为偶函数； ； ； ； ， 则称 f ( x )
（3）函数的概念：如果 A, B 都是 函数，记作
，那么 A 到 B 的映射 f : A B 就叫做 A 到 B 的 ； 个，B 到 A 的映射有 个； 个。
问： A 到 B 的映射有 如： 若 A {1,2,3,4} ，B {a, b, c} ；
A 到 B 的函数有
个，若 A {1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射有 个。 。 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的 个元素，在集合 B 中都有 的元素与它对应；记作：
（2）一一映射： A, B 是两个集合， f : A B 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射下， 对于集合 A 中的 ；在集合 B 中有 ；而且 B 中 ；
f ( x) ，则 g ( x)
0
；
②y
2n
f ( x) (n N * ) 则
； ；
函
性
数
质 图 象
③ y [ f ( x )] ，则 ⑤含参问题的定义域要分类讨论；
； ④如： y log f ( x ) g ( x ) ，则
图象变换 伸缩变换 平移变换 翻转变换
如：已知函数 y f ( x ) 的定义域是 [0,1] ，求 ( x ) f ( x a ) f ( x a ) 的定义域。 ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据 实际意义来确定。如：已知扇形的周长为 20 ，半径为 r ，扇形面积为 S ，则
函数 y ( x ) 的图象与直线 x a 交点的个数为 二、函数的三要素： ， 相同函数的判断方法：① （1）函数解析式的求法： ， ；②
二、函数
定 义 图 象 性 质 方 程
①定义法（拼凑） ：如：已知 f ( x
1 1 ) x 2 2 ，求： f ( x) ； x x
②换元法：如：已知 f (3 x 1) 4 x 3 ，求 f ( x ) ； 反比例函数 对数函数 三角函数 指数函数 型如： ③待定系数法：如：已知 f { f [ f ( x )]} 1 2 x ，求一次函数 f ( x ) ；
ax bx c (a, b 不全为 0) ；有 dx 2 ex f
2
两种情况： （1） x 无具体范围：直接套用 0 ； （2） x 有具体范围：要用实 根分布来其有根的充要条件； 注意： （1）若得到的一元二次方程，二次项系数是含有 y 的多项式，此时要分类讨论。 （2）若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令 x 取不连续点的值，求出 y ， 再由这个 y 求出与它对应的 x ， 如果还有定义域内有定义的 x ' 与它对应， 则 此 y 为值域中的一个值，否则，此 y 不在值域中。 ④换元法： 通过变量代换转化为能求值域的函数， 化归思想； 适用题型 y ax bx c ； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
④y
⑥ y 2 x 3 4 x ；⑦ y 2 x 3 4 x ；⑧ y 三、函数的性质：
4 x2 4 ； x
，
2、定义在 R 上的函数 y f ( x ) 对定义域内任意 x 满足条件 f ( x ) 2b f ( 2a x ) ，则

集合与集合
交集 且
互异性
并集 或
补集 非 ，
无序性
原命题
互为逆否
逆命题
。
否命题
；整数集
逆否命题
充分非必要条件
必要非充分条件
2
CU A B U
③ CU A CU B
CU ( A B ) ；
（4）①若 n 为偶数，则 n ；若 n 为奇数，则 n ； ②若 n 被 3 除余 0， 则n ； 若 n 被 3 除余 1， 则n ； ； 若 n 被 3 除余 2，则 n 三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个 数是__________，所有非空真子集的个数是 。 ；有理 （2） A B 中元素的个数的计算公式为： Card ( A B ) （3）韦恩图的运用： 四、 A {x | x 满足条件 p} ， B {x | x 满足条件 q} ， 若 若 若 若 ；则 p 是 q 的充分非必要条件 A _____ B ； ；则 p 是 q 的必要非充分条件 A _____ B ； ；则 p 是 q 的充要条件 A _____ B ； ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 __________ _ ； ；
简易逻辑 关系 运算 联结词 命题 四种命题 条件
（2） A B {_________ __________ _} ； A B {_________ __________ ____} ；
CU A {_________ __________ _}
（3）对于任意集合 A, B ，则： ① A B ___ B A ； A B ___ B A ； A B ___ A B ； ② A B A ； A B A ； CU A B ； ； ； 充要条件 既非充分又非必要
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：① y
2
4 、任意定义在 R 上的函数 f ( x ) 都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：
a bx (a 0, b 0, a b, x [1,1]) （2 种方法） ； a bx