人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元 期末复习测试基础卷

人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元 期末复习测试基础卷
一、选择题
1．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ．
A ．25
B ．20
C ．24
D ．105
3．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，
45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）
A ．3
B ．23
C ．4
D ．32
4．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是
（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形
'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9 6．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（ ）
①BC=2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2
a b （）
+的值为（ ）
A ．13
B ．19
C ．25
D ．169
9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是（ ）
A ．3
B ．4
C ．7(21)-
D ．7(21)+
10．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（ ） A ．北偏西15︒
B ．南偏西75°
C ．南偏东15︒或北偏西15︒
D ．南偏西15︒或北偏东15︒
二、填空题
11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．
12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝1
3
S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．
13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知
BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.
15．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.
16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，则BM+MN的最小值是_____．
∠的角平分线，E是AD上的动点，F 17．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BAC
是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为_____．
18．如图，在△ABC中，AB=AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．
19．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．
20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．
三、解答题
21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE
长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．
22．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-
（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．
（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，
64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．
23．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是
ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒
1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
25．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，
①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.
（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积. 26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考：
作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且
CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.
27．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；
（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．
①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边
三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在
ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ∆的周长.
29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ． （1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．
30．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8. (1)求证:△ADG ≌△BDF ； (2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；
(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (4)求线段EF 长度的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项． 【详解】
解：A 选项不能证明勾股定理；
B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()2
21
42
a b ab c +=⨯
+，可得222+=a b c ；
C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(
)2
211
22
22
a b ab c +=⨯+，可得
222+=a b c ；
D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式
22211
2222
c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ．
故选：A ． 【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．
2．A
解析：A 【分析】
分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB ；把右侧面展开到正面上，连结AB ，；把向上的面展开到正面上，连结AB ；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB ，
再进行大小比较． 【详解】
把左侧面展开到水平面上，连结AB ，如图1
()
2
210205925537AB =
++==
把右侧面展开到正面上，连结AB ，如图2
()
()2
2
2010562525AB =
++==
把向上的面展开到正面上，连结AB ，如图3
()
()2
2
10205725529AB =
++==925725625>>∴53752925>> ∴需要爬行的最短距离为25cm 故选：A ． 【点睛】
本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形
3．D
解析：D
【分析】
先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得．
【详解】
如图，作QE AD ⊥，交AC 于点E ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=∠CAD ，
AD ∴是线段QE 垂直平分线（等腰三角形的三线合一）
PQ PE ∴=
PB PQ PB PE ∴+=+
由两点之间线段最短得：当点,,B P E 共线时，PB PE +最小，最小值为BE
点,P Q 都是动点
BE ∴随点,P Q 的运动而变化
由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值
在Rt BCE ∆中，456,C C B ∠=︒= 2322
BE CE BC ∴=== 即PB PQ +的最小值为32
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状.
∵a+b=10，ab=18，
∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64，
∵,c=8，
∴2c =64，
∴22a b +=2c ，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22a b +是解题的关键.
5．B
解析：B
【分析】
设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.
【详解】
设AB=c ，AC=b ，BC=a ，
由题意得'A BC 的面积=
1102a a ⋅=，
'AB C △的面积=
1422b b ⋅⋅=
∴2a = 2b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，
∴c 2=a 2-b 2=
∴'ABC △的面积=
21224c c c ⋅⋅==64= 故此题选B
【点睛】
此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边.
解：当a是直角三角形的斜边时,5
a==；
当a为直角三角形的直角边时,a=
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.
【详解】
解：由AC=BC=4，则AE=3=DE，由勾股定理可得，①正确；
1
>，②正确；
由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF，③正确；
△DCE的周长，△BDF的周长+4-
4个，故选：D.
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.
8．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据题意得：222
c a b
=+=13，4×1
2
ab=13﹣1=12，即2ab=12，则
2
()
a b
+=22
2
a a
b b
++=13+12=25，故选C．
考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．9．C
解析：C
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理，可得：DE＝DC＝x，则BE＝x，进而可得到AE＝AC＝7，在Rt△BDE中，应用勾股定理即可求解．
【详解】
过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，AE＝AC＝7，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC ＝AC ＝7，AB ＝22AC +BC =72，
在Rt △AED 和Rt △ACD 中，
AE ＝AC ，DE ＝DC ，
∴Rt △AED ≌Rt △ACD ，
∴AE ＝AC ＝7，
设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ，
在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ，
即：()()22
272-77-x x +=， 解得： 7(21)x =-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．
【详解】
解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；
∵222241857632490030+=+==，
∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，
∵甲船的航行方向是北偏东75°，
∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
二、填空题
11．【分析】
利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =
，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .
【详解】
在Rt △ACD 中，CD=AD=
∴6=，
在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12
BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴2221
6()2AB AB +=,
解得AB=
故答案为：
【点睛】
此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.
12．
【分析】
根据S △PAD ＝13
S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值．
【详解】
设△PAD 中AD 边上的高是h ．
∵S △PAD ＝
13S 矩形ABCD ， ∴12 AD •h ＝13
AD •AB ， ∴h ＝
23AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，
如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．
在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8，
DE ＝22228882AE AD +=+= ,
即PA +PD 的最小值为82 ．
故答案82．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．
13．15厘米
【分析】
要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】
解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，
∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB =39π=厘米，矩形的宽BC =12厘米． ∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB =+=+=厘米．
故答案为：15厘米
【点睛】
求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．
14．12
【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得()()222210210220BO EO +=
+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.
因为三角形COA 是等腰直角三角形
所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°
因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，
所以∠BAO+∠BCO=180°,
又∠BAO+∠OAE=180°
所以∠BCO=∠OAE
所以∆BCO ≅∠EAO
所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA
所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°
所以三角形BOE 是等腰直角三角形
所以()()222210210220BO EO +=
+=
所以AB=BE-AE=20-8=12
故答案为：12
【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
15．5
【分析】
设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值
【详解】
如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10
设绳索x 尺，则OA=OB=x
∴OC=x+1-5=x-4
在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2
∴222(4)10x x =-+
得x=14.5（尺）
故填14.5
,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.
16．7
【解析】
【分析】
通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：
∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，
∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，
∴BE＝EN＝AN＝2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN＝2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝3
4 CN．
在直角△CDM中，CD＝1
2
BC＝3，DM＝
1
2
AD＝
33
2
，
∴CM223
7 2
CD MD
+=
∴CN＝43
727 32
=．
∵BM+MN＝CN，
∴BM+MN的最小值为27．
故答案是：27．
【点睛】
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
17．120 13
【解析】
∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴B点，C点关于AD对称，
如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CF=BE+FF的最小值，
根据勾股定理得，AD=12，
利用等面积法得：AB⋅CF=BC⋅AD，
∴CF=BC AD
AB
⋅
=
1012
13
⨯
=
120
13
故答案为120 13
.
点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.
18．6
【解析】
∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴B点，C点关于AD对称，
如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，
则CQ=BP+PQ的最小值，
根据勾股定理得，AD=8，
利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，
∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.
19．49
【解析】
连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC =22AB BC + =10． 在△ADC 中，∵AD =CD =52，∴AD 2+CD 2=（52）2+（52）2=100．
∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．22-【分析】
根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．
【详解】
解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，
∵90ACB ∠=，2AC BC ==，
∴∠CAB=45°，
又∵45EAD ∠=，
∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，
∴∠EAC =∠DAB ，
∴在△EAC 与△DAB 中
AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，
∴△EAC ≌△DAM （SAS ）
∴CE=MD ，
∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，
∵AC=BC=2，
由勾股定理可得2222
=+=，
AB AC BC
∴222
BM，
=-
∵∠B=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形，
∴DM=BD，
由勾股定理可得222
+
BD DM=BM
∴DM=BD=22
-
∴CE=DM=22
-
故答案为：22
-
【点睛】
本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE最小时的状态，化动为静．
三、解答题
21．（132）150°；（313
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可利用SAS证明△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的性质即得结果；
（2）在△ADE中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，进而可求出∠AEC的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；
（3）过C作CP⊥DE于点P，设AC与DE交于G，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE与CP的长，进而可得AE＝CP，然后即可根据AAS证明△AEG≌△CPG，于是可得AG＝CG，PG＝EG，根据勾股定理可求出AG的长，进一步即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE＝DE＝2，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD3
（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE =
==， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2
， ∴∠AED ＝90°，
∵∠DEC ＝60°，
∴∠AEC ＝150°，
∵△BCD ≌△ACE ，
∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，
∵△CDE 是等边三角形，
∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，
∴AE ＝CP ，
在△AEG 与△CPG 中，
∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，
∴△AEG ≌△CPG ，
∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12
， ∴AG ()2
22211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73
【分析】
(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从
而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】
(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,
在Rt AOC ∆中,
AO 2-OC 2=AC 2
因为81AB AC ∇=
所以AO 2-OC 2=81
所以AC 2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,
在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,
在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,
∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =
12
AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =
222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,
在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=
+=
∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;
(3)作BD ⊥CD,
因为24ABC S ∆=,8AC =,
所以BD=26ABC S AC ∆÷=,
因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,
所以AO 2-OC 2=-64,
所以OC 2-AO 2=64,
由因为AC 2=82=64,
所以OC 2-AO 2= AC 2
所以∠OAC=90°
所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯
÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=
所以BC=2OC=273,
在Rt △BCD 中,
CD=()2222276163BC BD -=-=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=22228610AD BD +=+=
【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
23．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ．
在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +
-=（， 解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，
252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132
⨯-=(cm )；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ =BQ 时，如图1所示，
则∠C =∠CBQ ．
∵∠ABC =90°，
∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，
∴∠A =∠ABQ ，
∴BQ =AQ ，
∴CQ =AQ =10，
∴BC +CQ =22，
∴t =22÷2=11(s )．
②当CQ =BC 时，如图2所示，
则BC +CQ =24，
∴t =24÷2=12(s )．
③当BC =BQ 时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
24．作图见解析，
325
【分析】
作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．
【详解】
如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．
连接AN ，
在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，
∴2222AB AC =84=45++
∵11AB AC=BC AH 22
⋅⋅
∴
∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，
∴CA ∥A 'M
∴∠C=∠A 'NH ，
由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH 和△A'NH 中，
∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，
∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）
∴A'N=AC=4=AN ，
设NM=x ，
在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x
在Rt △AA'M 中，AA'=2AH=5
，A 'M=A 'N+NM=4+x
∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭
x
∴()2
224=16-+-⎝⎭x x 解得125
x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+
125=325 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
25．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92
；②k 的取值范围为
13k ≤<；（3）ABC ∆的面积为
3或5
． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；
（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；
②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；
（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等
式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．
【详解】
（1）该命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1
故该命题是真命题；
（2）①90,6CB b A ∠=︒=
c ∴=
根据优三角形的定义，分以下三种情况：
当2a b c +=时，6a +=，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根
当2a c b +=时，12a =，解得92
a =
当2b c a +=时，62a =，解得86a =>，不符题意，舍去
综上，a 的值为
92
； ②由题意得：,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）
当2a b c +=时，则1b k a
=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+，解得3b a <，即3b k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时，则1c k a =
≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+，解得3c a <，即3c k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时，则1c k b =
≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+，解得3c b <，即3c k b
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<
综上，k 的取值范围为13k ≤<；
（3）如图，过点A 作AD BC ⊥，则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x = 2222,3AB BD x AD AB BD x ∴===-=
22222(3)(4)224AC AD CD x x x x =+=++=++
11432322
ABC S BC AD x x ∆=⋅=⨯⨯= ABC ∆是优三角形，分以下三种情况：
当2AC BC AB +=时，即222444x x x +++=，解得103x =
则10203232333
ABC S x ∆==⨯= 当2AC AB BC +=时，即222428x x x +++=，解得65x =
则6123232355
ABC S x ∆==⨯= 当2BC AB AC +=时，即242424x x x +=++，整理得234120x x ++=，此方程没有实数根
综上，ABC ∆的面积为2033或1235
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．
26．（1）证明见解析；（2）21.
【分析】
（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，
∴A′D=AD，C A′=CA，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD平分∠ACB，
∴A′点落在CB上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，
∴A′D=A′B，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△AD′C．
∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC平分∠BAD，
∴D′点落在AB上，
∵BC=10，
∴D′C=BC，
过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，
设D′E=BE=x，
在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，
在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．
∴102-x2=172-（9+x）2，
解得：x=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.
27．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析
【分析】
（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断
出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=1
2
（c-a），AG=
1
2
（a+c），两个
直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，
∴ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
∴ab+b2＝a2+b2，
∴ab＝a2，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是类勾股三角形，
即：原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°。