数学_2013年上海市闸北区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）
一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．
1. 设为虚数单位，集合A ={1, −1, i, −i}，集合B ={i 10，1−i 4，(1+i)(1−i)，1+i 1−i
}，
则A ∩B =________．
2. 函数y =sin 2x(−π
2<x <0)的反函数为________．
3. (1+2x)3(1−x)4展开式中x 2的系数为________．
4. 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2
5
；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7
9
．从袋中任意摸出2个
球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=________． 5. 半径为r 的球的内接圆柱的最大侧面积为________．
6. 设M(x, y, z)为空间直角坐标系内一点，点M 在xOy 平面上的射影P 的极坐标为(ρ, θ)（极坐标系以O 为极点，以x 轴为极轴），则我们称三元数组(ρ, θ, z)为点M 的柱面坐标．已知M 点的柱面坐标为(6,π
3，−1)，则直线OM 与xOz 平面所成的角为________．
7. 设y =f(x)为R 上的奇函数，y =g(x)为R 上的偶函数，且g(x)=f(x +1)，g(0)=2．则f(x)=________．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可） 8. 某商场在节日期间举行促销活动，规定：
(1)若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；
(3)若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为________． 9. 设OA →
=(x,a −x)，OB →
=(x,2)，x ∈[1, 2)，且OA →
⊥OB →
，则函数f(x)=log a |1
a
x −1|
的最大值为________．
二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是
正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分． 10. 命题“对任意的x ∈R ，f(x)>0”的否定是（ ）
A 对任意的x ∈R ，f(x)≤0
B 对任意的x ∈R ，f(x)<0
C 存在x 0∈R ，f(x 0)>0
D 存在x 0∈R ，f(x 0)≤0
11. 设函数f(x)=lg(a x −b x )(a >1>b >0)，若f(x)取正值的充要条件是x ∈[1, +∞)，则a ，b 满足（ ）
A ab >1
B a −b >1
C ab >10
D a −b >10
12. 在xOy 平面上有一系列的点P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)，…，P n (x n , y n )，…，对于所有正整数n ，点P n 位于函数y =x 2(x ≥0)的图象上，以点P n 为圆心的⊙P n 与x 轴相切，且⊙P n 与⊙P n+1又彼此外切，若x 1=1，且x n+1<x n ．则lim
n →∞nx n
=( )
A 0
B 0.2
C 0.5
D 1
三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
13. 已知向量m→=(cosθ,sinθ)和n→=(√2−sinθ,cosθ)，θ∈(π, 2π)，且|m→+n→|=8√2
5
，求
sinθ和cos(θ
2+π
8
)的值．
14. 某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60∘．
（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；
（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？
15. 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系O−xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F(x, y, z)=0．
设F1、F2为空间中的两个定点，|F1F2|=2c>0，我们将曲面Γ定义为满足|PF1|+|PF2|= 2a(a>c)的动点P的轨迹．
（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O−xyz，求曲面Γ的方程；
（2）指出和证明曲面Γ的对称性，并画出曲面Γ的直观图．
16. 设数列{a n}与{b n}满足：对任意n∈N∗，都有ba n−2n=(b−1)S n，b n=a n−n⋅
2n−1．其中S n为数列{a n}的前n项和．
（1）当b=2时，求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a n}的前n项和S n．
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F(√3
2，1
2
)的距离与到定直线l1：√3x+
y+2=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转
30∘形成的．
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M0(m, 0)(m>2)的直线l2交曲线C2于A、B两点，已知曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．
2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）答案
1. {−1, i}
2. y=arcsin(−√x)，(0<x<1)
3. −6
4. 1
5. 2πr2
6. arcsin
3√111
37
7. 2sin π
2x 8. 2000 9. 0 10. D 11. B 12. C
13. 解：m →
+n →
=(cosθ−sinθ+√2,cosθ+sinθ)， |m →
+n →
|=√(cosθ−sinθ+√2)2+(cosθ+sinθ)2 =√4+2√2(cosθ−sinθ) =√4+4cos(θ+π
4)．
=2√1+cos(θ+π
4)
由已知|m →
+n →
|=
8√2
5
，得cos(θ+π4)=7
25，
∴ sin(θ+π4)=√1−(7
25)2=24
25， ∴ sinθ=sin[(θ+π
4
)−π
4
]=
√2
2×(2425−725
)=
17√2
50
； 又cos(θ+π4
)=2cos 2(θ2
+π8
)−1， 所以cos 2(θ
2+π
8)=16
25． ∵ π<θ<2π，∴
5π8
<θ2
+π8
<
9π8
，
∴ cos(θ2
+π8
)<0． ∴ cos(θ
2+π
8)=−4
5． 14. 该粮仓可储存
176√23
立方米的粮食．
15. 解：（1）以两个定点F 1，F 2的中点为坐标原点O ，以F 1，F 2所在的直线为y 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，
以与xoy 平面垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示
则F 1(0, c, 0)，F 2(0, −c, 0)，设P 的坐标为(x, y, z)，可得 |F 1F 2|=2c >0，|PF 1→
|+|PF 2→
|=2a(a >c)，
∴ √x 2+(y +c)2+z 2+√x 2+(y −c)2+z 2=2a ， 移项得√x 2+(y +c)2+z 2=2a −√x 2+(y −c)2+z 2 两边平方，得∴ a√x 2+(y −c)2+z 2=a 2−cy ， 两边平方，整理得x 2
a 2−c 2+y 2
a 2+z 2
a 2−c 2=1 令√a 2−c 2=
b ，得x 2
b 2+y 2
a 2+z 2
b 2=1．① 因此，可得曲面Γ的方程为
x 2b 2
+
y 2a 2
+
z 2b 2
=1．
（2）对称性：
由于点(x, y, z)关于坐标原点O 的对称点(−x, −y, −z)也满足方程①， 说明曲面Γ关于坐标原点O 对称； 由于点(x, y, z)关于x 轴的对称点(x, −y, −z)也满足方程①，
说明曲面Γ关于x 轴对称；同理，曲面Γ关于y 轴对称；关于z 轴对称． 由于点(x, y, z)关于xOy 平面的对称点(x, y, −z)也满足方程①，
说明曲面Γ关于xOy 平面对称；同理，曲面Γ关于xOz 平面对称；关于yOz 平面对称． 由以上的讨论，可得曲面Γ的直观图如右图所示．
16. 解：由题意知a 1=2，且ba n −2n =(b −1)S n ，ba n+1−2n+1=(b −1)S n+1 两式相减得b(a n+1−a n )−2n =(b −1)a n+1
即a n+1=ba n +2n ①（1）当b =2时，由①知a n+1=2a n +2n 于是a n+1−(n +1)⋅2n =2a n +2n −(n +1)⋅2n =2(a n −n ⋅2n−1)
又a 1−1⋅2n−1=1≠0，所以{a n −n ⋅2n−1}是首项为1，公比为2的等比数列． 故知，b n =2n−1，
再由b n =a n −n ⋅2n−1，得a n =(n +1)2n−1．
（2）当b ≠2时，由①得a n+1−1
2−b ⋅2n+1=ba n +2n −1
2−b ⋅2n+1=b(a n −1
2−b ⋅2n ) 若b =0，S n =2n
若b =1，a n =2n ，S n =2n+1−2 若b ≠0、1，数列{a n −1
2−b ⋅2n }是以2(1−b)2−b 为首项，以b 为公比的等比数列，
故a n −1
2−b ⋅2n =2(1−b)2−b
⋅b n−1，a n =12−b [2n +(2−2b)b n−1]S n =1
2−b (2+22+23+⋯+
2n )+
2(1−b)2−b (1+b 1+b 2+⋯+b n−1)，
S n =2(2n −b n )2−b
b =1时，S n =2n+1−2符合上式 所以，当b ≠0时，S n =
2(2n −b n )2−b
当b =0时，S n =2n 另解：
当n =1时，S 1=a 1=2
当n ≥2时，∵ ba n −2n =(b −1)S n ∴ b(S n −S n−1)−2n =(b −1)S n ∴ S n =bS n−1+2n 若b =0，S n =2n 若b ≠0，两边同除以2n 得
S n 2n
=b
2⋅
S n−12n−1
+1
令S
n
2n +m =b
2⋅S
n−12n−1+1+m ，即S
n 2n +m =b
2⋅(S
n−1
2n−1+
2+2m b )
由m =2+2m b 得m =2b−2∴ {S n
2n +2b−2}是以b
b−2为首项，b
2为公比的等比数列
∴
S n 2n
+2b−2
=b b−2
⋅(b
2
)n−1，
所以，当b ≠0时，S n =
2(2n −b n )2−b
17. 解：（1）设P(x, y)，由题意，可知曲线C 1为抛物线，并且有√32
)1
2
)=
12
|√3x +y +2|，
化简，得抛物线C 1的方程为：x 2+3y 2−2√3xy −8√3x −8y =0． 令x =0，得y =0或y =8
3，
令y =0，得x =0或x =8√3，
∴ 曲线C 1与坐标轴的交点坐标为(0, 0)和(0,8
3)，(8√3，0)．
由题意可知，曲线C 1为抛物线，过焦点与准线垂直的直线为y −12=
√
3
−√3
2
)，化为y =
√3
3
x ． 可知此对称轴过原点，倾斜角为30∘．
又焦点F(√3
2，12
)到l 1：y
=−√3x −2的距离为√3×√32+1
2+2√(√3)2+12
=2．
∴ C 2是以(1, 0)为焦点，以x =−1为准线的抛物线，其方程为：y 2=4x ．
（2）设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，
由题意知直线l 2的斜率k 存在且不为零，设直线l 2的方程为y =k(x −m)，则直线CD 的方程为y =−1
k x +b ，
则{y =−1
k x +b
y 2=4x.
得y 2+4ky −4kb =0， ∴ △=16k(k +b)>0①
∴ y 1+y 2=−4k ，y 1⋅y 2=−4kb ，
设弦CD 的中点为G(x 3, y 3)，则y 3=−2k ，x 3=k(b +2k)． ∵ G(x 3, y 3)在直线l 2上，−2k =k(bk +2k 2−m)，即b =m−2−2k 2
k
②
将②代入①，得0<k 2<m −2，
|CD|=√1+(−k)2⋅|y 1−y 2|=√1+k 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√−(k 2−
m −32)2+(m −12
)2
设t =k 2，则0<t <m −2． 构造函数f(t)=4√−(t −
m−32
)2
+(
m−12
)2
，0<t <m −2．
由已知m >2，当{m −2>0
m −3<0，即2<m ≤3时，f(t)无最大值，所以弦长|CD|不存在最大
值．
当m >3时，f(t)有最大值2(m −1)，即弦长|CD|有最大值2(m −1)．。