高中数学必修二 第二章检测题 附答案解析

数学必修二第二章
点、直线、平面间位置关系检测题
(时间:90分钟
满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题正确的是(
)
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.互相垂直的两条直线是相交直线
C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线
D.不在同一平面内的两条直线是异面直线
2.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,异面直线AB,A 1D 1所成的角等于()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.对两条不相交的空间直线a 与b,必存在平面α,使得(
)A.a ⊂ ,b ⊂α B.a ⊂α,b ∥α
C.a ⊥α,b ⊥α
D.a ⊂α,b ⊥α
4.给出下列四个命题:
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行
③若直线l 1,l 2与同一平面所成的角相等,则l 1,l 2互相平行其中不正确的个数是()A.1
B.2
C.3
D.0
5.若l 为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()
A.若l ∥α,l ∥β,则α∥β
B.若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β
C.若l ⊥α,l ∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β
6.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 是A 1C 1的中点,
则直线CE 垂直于()A.BD B.AC C.AD
D.A 1D 1
7.如图,点S 在平面ABC 外,SB ⊥AC,SB=AC=2,
E,F 分别是SC 和AB 的中点,则EF 的长是()
A.1
C.
2 D.
1
2
8.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为(
)
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()
A.AC ⊥β
B.AC ⊥m
C.AB ∥β
D.AB ∥m
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论:
①EF⊥AA1;②EF∥AC;
③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD.
其中一定正确的是()
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.直线l1∥l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是.
12.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC与平面DEF的位置关系是.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A 时,∠PCB的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)
14.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,它的体积为3,底面对角线的长为2,则
A1B1与平面AB1C1所成角的大小为.
15.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件时,有
A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,经过点A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.
17.(8分)如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面为等边三角形,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E
∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明.
18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC.
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,
使得PA∥平面CEF?说明理由.
19.(10分)已知四面体A-BCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.
20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥E-ABC的体积.
参考答案
一、选择题
1.【解析】没有公共点的两条直线还可能异面,所以A 选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B 选项不正确;D 选项中,缺少任一平面内,所以D 选项不正确;很明显C 选项正确.【答案】C.
2.【解析】由于AD ∥A 1D 1,则∠BAD 是异面直线AB ,A 1D 1所成的角,很明显∠BAD=90°.【答案】D.
3.【解析】对于选项A,当a 与b 是异面直线时,A 错误;对于选项B,若a ,b 不相交,则a 与b 平行或异面,都存在α,使a ⊂α,b ∥α,B 正确;对于选项C,a ⊥α,b ⊥α,一定有a ∥b ,但当a 与b 异面时,不存在平面α,使结论成立,C 错误;对于选项D,a ⊂α,b ⊥α,一定有a ⊥b ,但当a 与b 平行时,不存在平面α,使结论成立,D 错误.【答案】B
4.【解析】利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C .【答案】C
5.【解析】对于A,若l ∥α,l ∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A 错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B 正确;对于C,若l ⊥α,l ∥β,应推出α⊥β,故C 错误;对于D,l 与β的位置关系不确定,l ∥β,l ⊂β,l 与β相交,都有可能,故D 错误.【答案】B
6.【解析】由BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C ,则BD ⊥平面ACC 1A 1.又CE ⊂平面ACC 1A 1,所以BD ⊥CE.【答案】A
7.【解析】取CB 的中点D ,连接ED ,DF ,
则∠EDF (或其补角)为异面直线SB 与AC 所成的角,
即∠EDF=90°.
在△EDF 中,ED=
12SB=1,DF=1
2
AC=1,所以222EF ED DF =+=
.
【答案】B
8.【解析】如图,O 为底面ABCD 的中心,
连接AC ,BD ,SO ,易得SO ⊥平面ABCD.
所以∠OCS 为侧棱SC 与底面ABCD 所成的角.
又由已知可求得OC=
2
2
.因为SC=1,所以∠OCS=45°.【答案】C
9.【解析】如图,
则有AB ∥l ∥m ;AC ⊥l ,m ∥l
⇒AC ⊥m ;AB ∥l ,AB ⊄β⇒AB ∥β.【答案】A
10.【解析】如图,由于AA
1⊥平面A 1B 1C 1D 1,EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1,
则EF ⊥AA 1,所以①正确;
当E ,F 分别是线段A 1B 1,B 1C 1的中点时,
EF ∥A 1C 1,又AC ∥A 1C 1,则EF ∥AC ,所以③不正确;当E ,F 不是线段A 1B 1,B 1C 1的中点时,EF 与AC 异面,所以②不正确;
由于平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ,EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以EF ∥平面ABCD ,所以④正确.
【答案】D 二、填空题
11.【解析】因为l 1∥l 2,所以经过l 1,l 2有且只有一个平面.【答案】1
12.【解析】因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3,
所以EF ∥AC.
又因为AC ⊄平面DEF ,EF ⊂平面DEF ,所以AC ∥平面DEF.【答案】平行
13.【解析】∵l ⊥平面ABC ,∴l ⊥BC.∵∠ACB=90°,
∴BC ⊥AC.又PA ∩AC=A ,PA ,AC ⊂平面PAC ,
∴BC ⊥平面PAC.∴BC ⊥PC.∴∠PCB=90°.故当点P 逐渐远离点A 时,∠PCB 的大小不变.【答案】不变14.【解析】由已知可求得长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为1,侧棱长为3.
过点A 1作
A 1E ⊥A
B 1于点E ,
因为B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥A 1E.因为AB 1∩B 1C 1=B 1,所以A 1E ⊥平面AB 1C 1.所以∠A 1B 1E 即为A 1B 1与平面AB 1C 1所成的角.因为AA 1=3,A 1B 1=1,所以AB 1=2,A 1E=32
.因为sin∠A 1B 1E=
1113
2
A E A B
,所以∠A 1B 1E=60°.【答案】60°
15.【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以CC 1⊥B 1D 1.要使得B 1D 1⊥A 1C ,只要B 1D 1⊥平面A 1C 1C ,即只要B 1D 1⊥A 1C 1.此题还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件.【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题
16.【证明】因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BC.
又ABCD 是正方形,所以AB ⊥BC.而PA ∩AB=A ,所以BC ⊥平面PAB.因为AE ⊂平面PAB ,所以BC ⊥AE.由PC ⊥平面AEFG ,得PC ⊥AE.
因为PC ∩BC=C ,所以AE ⊥平面PBC.所以AE ⊥PB.
17.【解析】点D 为AA'的中点.证明如下:
取BC 的中点F ,连接AF ,EF.设EF 与BC'交于点O ,连接DO ,
易证A'E ∥AF ,A'E=AF ,且A',E ,F ,A 共面于平面A'EFA.因为A'E ∥平面DBC',A'E ⊂平面A'EFA ,且平面DBC'∩平面A'EFA=DO ,
所以A'E ∥DO.在平行四边形A'EFA 中,
因为O 是EF 的中点(因为EC'∥BF ,且EC'=BF ),所以点D 为AA'的中点.
18.(1)【证明】
因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC ⊥DC.又因为DC ⊥AC ,所以DC ⊥平面PAC.
(2)【证明】因为AB ∥DC ,DC ⊥AC ,所以AB ⊥AC.因为PC ⊥平面ABCD ,
所以PC ⊥AB.所以AB ⊥平面PAC.所以平面PAB ⊥平面PAC.
(3)【解析】棱PB 上存在点F ,使得PA ∥平面CEF.证明如下:取PB 中点F ,连接EF ,CE ,CF.又因为E 为AB 的中点,所以EF ∥PA.又因为PA ⊄平面CEF ,所以PA ∥平面CEF.
19.【解析】过点A 作AO ⊥平面BCD ,连接OD ,OB ,OC ,可知O 是△BCD 的中心.
作QP ⊥OD ,如图.易知QP ∥AO ,
所以QP ⊥平面BCD.连接CP ,则∠QCP 即为所求的角.
设四面体的棱长为a ,
因为在等边三角形ACD 中,Q 是AD 的中点,所以CQ=2
a .因为QP ∥AO ,Q 是AD 的中点,
所以QP=1
21236⨯=,
即sin∠QCP=
3
QP CQ =
.20.(1)【证明】在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB.
又因为AB ⊥BC ,
所以AB ⊥平面B
1BCC 1.
所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.
(2)【证明】取AB 的中点G ,连接EG ,FG.因为E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点,
所以FG ∥AC ,且FG=12
AC.因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1,所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形.所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ,C 1F ⊄平面ABE ,所以C 1F ∥平面ABE.
(3)【解析】因为AA 1=AC=2,BC=1,AB ⊥BC ,
所以=
所以三棱锥E-ABC 的体积V=1
3
S △ABC ·AA 1=111232⨯⨯=.。