数学人教A版选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示课件(1)
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设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k,b=b1i+b2 j+b3k
∴a∙b=（a1i+a2 j+a3k）∙（b1i+b2 j+b3k）
∵i∙i=j∙ j=k∙ k=1
i=0
i∙j=j∙ k=k∙
∴a∙b=（a1b1,a2b2,a3b3）
其他运算的坐标表示怎样证明呢？
5.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a= Ԧ,b= Ԧ.
(1)若|c|=3,c∥ Ԧ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
解:(1)∵
Ԧ=(-2,-1,2)且 c∥
Ԧ,
∴设 c=λ Ԧ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2 )2 + (- )2 + (2 )2 =3|λ|=3,解得λ=±1.
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
＝
cos〈a，b〉＝
.
2
2
2
2
2
2
|a||b|
a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
空间向量的坐标运算
(2m)·
(-3n)=(2,-6,10)·
(6,-6,12)=168.
3.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
2
解:若 a∥b,则有 = 8 =
-1
,解得λ=4.
-6
2
若 a⊥b,则 a·b=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=- 3.
2
4 ,若a⊥b,则 λ= -3
请同学们自己完成。
空间向量的坐标运算
空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；
如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标
减去起点坐标.
空间向量的坐标运算
类似于平面向量运算的坐标表示，我们还能得到哪些公式？
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
空间向量的坐标运算应用
6
4.已知 a=(- 2,2, 3),b=(3 2,6,0),则|a|=
解析:|a|= · =
3
,a 与 b 夹角的余弦值等于
(- 2)2 + 22 + ( 3)2=3
·
a 与 b 夹角的余弦值 cos<a,b>=|||| =
-6+12+0
3×3 6
=
6
.
9
9
.
空间向量的坐标运算应用
1 2 + 1 2
∙
=
1 2 +1 2
12 +12 22 +22
特别地
//
Ԧ
⟺ 1 2 −1 2 =0；
Ԧ ∙ ⟺ 1 2 + 1 2 =0
思考1：空间向量的坐标表达又是怎么的呢？
下面我们通过类比法来探究。
02空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算
人教A版202X选修第一册
第 1 章空间向
量与立体几何
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标
1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的
核心素养；
2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养；
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素
养；
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
—→
x2－x12＋y2－y12＋z2－z12
则 P1P2＝|P1P2 |＝_____________________________.
03空间向量的坐标运算应用
空间向量的坐标运算应用
1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3）
a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3）
λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R
a∙b=（a1b1,a2b2,a3b3）
空间向量的坐标运算
如何证明空间向量数量积运算的坐标表
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
5
解得 k=2 或 k=-2.
空间向量的坐标运算应用
向量平行与垂直问题主要题型
(1)平行与垂直的判断;
a b (2, 3, 5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3, 5) ( 3,1, 4) (5, 4, 9)
| a | 22 (3)2 52 38
8a 8(2, 3, 5) (16, 24, 40)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 2 (3) (3) 1 5 (4) 29
空间向量的坐标运算应用
2.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n= (-1,-1,1)
3m-n= (5,-11,19) ,(2m)·
(-3n)=
168
.
解:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
2.坐标运算的应用；
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.
解题时要注意:
①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;
②最好选择坐标情势,以到达简化运算的目的.
空间向量的坐标运算应用
6.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1 的中点.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
空间向量的坐标运算应用
5.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a= Ԧ,b= Ԧ.
(1)若|c|=3,c∥ Ԧ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
(1)求证：EF⊥CF；
―→ ―→
(2)求 EF 与 CG 所成角的余弦值；
(3)求 CE 的长.
解
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
1 1
1
则(0,0,0), (0,1,0), ( , . 0), (1,1, )
2 2
2
空间向量的坐标运算应用
04课堂小结
课堂小结
1.空间向量的坐标运算；
强化数学运算和逻辑推理的核心素养
01复习导入
复习导入
平面向量运算的坐标表示
夹角公式
设=(
Ԧ
1 ，1 )， = （2 , 2 ）
cos ,
Ԧ =
(1 + 2 ，1 + 2 )
+=
Ԧ
-=
Ԧ
λ =
Ԧ
Ԧ ∙ =
(1 − 2 , 1 -2 )
(λ1 ,λ1 )
a=a1i+a2 j+a3k,b=b1i+b2 j+b3k
∴a∙b=（a1i+a2 j+a3k）∙（b1i+b2 j+b3k）
∵i∙i=j∙ j=k∙ k=1
i=0
i∙j=j∙ k=k∙
∴a∙b=（a1b1,a2b2,a3b3）
其他运算的坐标表示怎样证明呢？
5.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a= Ԧ,b= Ԧ.
(1)若|c|=3,c∥ Ԧ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
解:(1)∵
Ԧ=(-2,-1,2)且 c∥
Ԧ,
∴设 c=λ Ԧ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2 )2 + (- )2 + (2 )2 =3|λ|=3,解得λ=±1.
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
＝
cos〈a，b〉＝
.
2
2
2
2
2
2
|a||b|
a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
空间向量的坐标运算
(2m)·
(-3n)=(2,-6,10)·
(6,-6,12)=168.
3.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
2
解:若 a∥b,则有 = 8 =
-1
,解得λ=4.
-6
2
若 a⊥b,则 a·b=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=- 3.
2
4 ,若a⊥b,则 λ= -3
请同学们自己完成。
空间向量的坐标运算
空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；
如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标
减去起点坐标.
空间向量的坐标运算
类似于平面向量运算的坐标表示，我们还能得到哪些公式？
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
空间向量的坐标运算应用
6
4.已知 a=(- 2,2, 3),b=(3 2,6,0),则|a|=
解析:|a|= · =
3
,a 与 b 夹角的余弦值等于
(- 2)2 + 22 + ( 3)2=3
·
a 与 b 夹角的余弦值 cos<a,b>=|||| =
-6+12+0
3×3 6
=
6
.
9
9
.
空间向量的坐标运算应用
1 2 + 1 2
∙
=
1 2 +1 2
12 +12 22 +22
特别地
//
Ԧ
⟺ 1 2 −1 2 =0；
Ԧ ∙ ⟺ 1 2 + 1 2 =0
思考1：空间向量的坐标表达又是怎么的呢？
下面我们通过类比法来探究。
02空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算
人教A版202X选修第一册
第 1 章空间向
量与立体几何
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标
1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的
核心素养；
2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养；
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素
养；
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
—→
x2－x12＋y2－y12＋z2－z12
则 P1P2＝|P1P2 |＝_____________________________.
03空间向量的坐标运算应用
空间向量的坐标运算应用
1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3）
a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3）
λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R
a∙b=（a1b1,a2b2,a3b3）
空间向量的坐标运算
如何证明空间向量数量积运算的坐标表
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
5
解得 k=2 或 k=-2.
空间向量的坐标运算应用
向量平行与垂直问题主要题型
(1)平行与垂直的判断;
a b (2, 3, 5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3, 5) ( 3,1, 4) (5, 4, 9)
| a | 22 (3)2 52 38
8a 8(2, 3, 5) (16, 24, 40)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 2 (3) (3) 1 5 (4) 29
空间向量的坐标运算应用
2.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n= (-1,-1,1)
3m-n= (5,-11,19) ,(2m)·
(-3n)=
168
.
解:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
2.坐标运算的应用；
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.
解题时要注意:
①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;
②最好选择坐标情势,以到达简化运算的目的.
空间向量的坐标运算应用
6.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1 的中点.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
空间向量的坐标运算应用
5.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a= Ԧ,b= Ԧ.
(1)若|c|=3,c∥ Ԧ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
(1)求证：EF⊥CF；
―→ ―→
(2)求 EF 与 CG 所成角的余弦值；
(3)求 CE 的长.
解
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
1 1
1
则(0,0,0), (0,1,0), ( , . 0), (1,1, )
2 2
2
空间向量的坐标运算应用
04课堂小结
课堂小结
1.空间向量的坐标运算；
强化数学运算和逻辑推理的核心素养
01复习导入
复习导入
平面向量运算的坐标表示
夹角公式
设=(
Ԧ
1 ，1 )， = （2 , 2 ）
cos ,
Ԧ =
(1 + 2 ，1 + 2 )
+=
Ԧ
-=
Ԧ
λ =
Ԧ
Ԧ ∙ =
(1 − 2 , 1 -2 )
(λ1 ,λ1 )