人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试(含答案)

人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试（含答案）
一、选择题
1、如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）
A．12.5 B．12 C．8 D．4
2、已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（）
A． B． C．2﹣4 D．6﹣2
3、已知=，那么的值为（）
A． B． C． D．
4、矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
5、正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P
从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）
A．2 B．1 C．4 D．
6、如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
7、如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
8、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）
A．∠B=∠D B． = C．AD∥BC D．∠BAC=∠D
9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）
A． B． C． D．
二、填空题
10、已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．
11、在比例尺为1：1000 000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是__________千米．
12、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为
2，OE=2，则OD的长为．
13、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，A P= ．
14、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，四边形DEFB是菱形，AB=6，BC=4，那么AD= ．
15、如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为．
16、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．
17、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .
三、简答题
18、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2．
（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比．
19、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量
关系？请说明理由．
20、如图：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°
求证：（1）△PAC∽△BPD；
（2）若AC=3，BD=1，求CD的长．
21、已知，如图，Rt△ABC中∠B=90°，Rt△DEF中∠E=90°，OF=OC，AB=6，BF=2，CE=8，CA=0，DE=15．
（1）求证：△ABC∽△DEF；
（2）求线段DF，FC的长．
22、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1) 等边三角形“內似线”的条数为；
(2) 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
参考答案
一、选择题
1、C解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
解得，EF=8，
2、D解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，
∴PB=4×=6﹣2；
3、B解：∵=，
∴设a=2k，则b=3k，
则原式==．
4、D解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
5、B解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
∴=，即=，
∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；
∴当x=2时，y有最大值1cm
易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO=CQ=，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM=1，
6、D解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，∴，A错误；
∴，C错误；
∴，D正确；
不能得出，B错误；
7、A解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
8、A解：∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似；∵∠C=∠AED=90°，，
∴，即sin∠B=sin∠DAE，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似；∵AD∥BC，
∴∠B=∠DAE，
∵∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似；∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似；
9、C
二、填空题
10、6．解：若b是a、c的比例中项，
即b2=ac．则b===6．
11、30 ．
【考点】比例线段．
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，可知实际距离=图上距离÷比例尺．【解答】解：根据题意，3÷=3000 000厘米=30千米．
即实际距离是30千米．
故答案为：30．
【点评】本题考查了比例线段的定义及比例尺，属于基础题型，比较简单．12、2．【解答】解：连接BO并延长交AC于F，如图，
∵BA=BC，
∴=，
∴BF⊥AC，
∵直径MN⊥BC，
∴BD=CD，
∵∠BOD=∠EOF，
∴Rt△BOD∽Rt△EOF，
∴===，
设OF=x，则OD=x，
∵∠DBO=∠DEC，
∴Rt△DBO∽Rt△DEC，
∴=，即=，
而BD=CD，
∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，
在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．
故答案为
13、3【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR=90°=∠MPN，
∴∠QPE=∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴==2，
∴PQ=2PR=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，
∴x=，
∴AP=5x=3．
14、；解：∵四边形DEFB是菱形，
∴BD=BF=DE，DE∥BF，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得：AD=
15、45解：∵点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为：1：3，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为：1：9，
∵四边形ABCD的面积为5，
∴四边形A1B1C1D1的面积为：5×9=45．
16、（3，4）或（0，4）．【解答】解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=2x﹣8，
同理可得：直线AB的解析式为：y=x﹣2，直线BC的解析式为：y=﹣x+10，∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），
∴过这两点的直线为：y=2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），
则B1C1∥BC，B1A1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y=x+b，
∴﹣2+a=5，+b=3，
解得：a=7，b=，
∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y=x+，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；
②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），
则B1A1∥BC，B1C1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，
∴×2+c=5，﹣1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直线B1C1的解析式为y=x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）．
∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．
故答案为：
17、6．解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
三、简答题
18、【解答】解：（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；
（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，
∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，
∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．
19、（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABM和△BCP中，
AB=BC，∠ABC=∠C，CP=BM，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABM=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴=，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴=，
∴=，
∴BM=MC．
20、证明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，∴∠APC+∠BPD=45°，又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，
∵∠PCA=∠PDB，∴△PAC∽△BPD；
（2）∵=，PC=PD，AC=3，BD=1
∴PC=PD=，
∴CD==．
21、（1）证明：∵OF=OC，
∴∠OCF=∠OFC，
∵∠B=90°，∠E=90°，
∴△ABC∽△DEF；
（2）解：∵△ABC∽△DEF，
∴==，
∵AB=6，DE=15，AC=10，BF=2，CE=8，
∴==，
∴DF=25，CF=2．
22、(1) 解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
(2) 证明：∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC，
∴BD是△ABC的“內似线”；
(3) 解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当==时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∵DN∥AC，
∴=，即，
∴CE=，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF=；
②当==时，同理得：EF=；
综上所述，EF的长为．
人教版九年级下数学第二十七章 《相似》单元练习题（含答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若＝，则下列说法不正
确的是（ ）
A ．＝
B ．＝
C ．＝
D ．＝
2．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AD ＝3ED ，EC 交对角线BD 于点F ，
则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，有一块三角形余料ABC ，BC ＝120mm ，高线AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足PM ：PQ ＝3：2，则PM 的长为（ ）
A ．60mm
B ． mm
C ．20mm
D ． mm
4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），以D 为顶点作△DEF ，使△DEF ∽△ABC （相似比k ＞1），EF ∥BC ．两三角形重叠部分是四边形AGDH ，当四边形AGDH 的面积最大时，最大值是多少？（ ）
A ．12
B ．11.52
C ．13
D ．8
5．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则PA 的长为（ ）
A ．2﹣2
B ．6﹣2√5
C ．
D ．4﹣2
6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，正方形OABC 的边长为8，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ．若S △BPQ ＝
，则OQ 长为（ ）
A ．6
B ．
C ．
D ．
8．在△ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（ ）
A ．如果∠BAC ＝90°，A
B 2＝BD •B
C ，那么A
D ⊥BC
B ．如果AD ⊥B
C ，A
D 2＝BD •CD ，那么∠BAC ＝90°
C ．如果A
D ⊥BC ，AB 2＝BD •BC ，那么∠BAC ＝90°
D ．如果∠BAC ＝90°，AD 2＝BD •CD ，那么AD ⊥BC 9．如图，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 两个内角平分线的交点，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点
E ，
F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知△ABO 与△DCO 位似，且△ABO 与△DCO 的面积之比为1：4，点B 的坐标为（﹣3，2），则点C 的坐标为（ ）
A ．（3，﹣2）
B ．（6，﹣4）
C ．（4，﹣6）
D ．（6，4）
11．在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm ，该路段实际长度约为（ ）
A ．3200m
B ．3000m
C ．2400m
D ．2000m
12．如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ，OB ，O C 的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC 的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题
13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．
14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．
16．若＝，则＝．
17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S
，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF
1
＝，S1：S2：S3＝．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，E F分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是．
19．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE
＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．
三．解答题
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE•CD＝AD•CE；
（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．
21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE 交AF于点G，且AE2＝EG•ED．
（1）求证：DE⊥EF；
（2）求证：BC2＝2DF•BF．
22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求
的值．
23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．
（1）求AD的长；
（2）求矩形EFGH的面积．
24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．
25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点
D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果＝，求证：AB＝BD．
参考答案一．选择题
1．【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，＝＝，＝＝，
＝（）2＝，
∴＝，
故A、B、D选项正确，C选项错误，
故选：C．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AD＝3ED，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴＝＝，
故选：A．
3．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故选：A．
4．【解答】解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠EDF＝∠BAC＝90°，
如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B＝∠E，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠EMC，
∴∠B＝∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵∠EDF＝90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∴四边形AGDH为正方形，
当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
如图2，
点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，
如图2，
点D在BC上，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠F＝∠C，
∵EF∥BC．
∴∠F＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠C，
∴DG∥AC，
∴△BGD∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝8﹣GA，
S
＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，
矩形AGDH
当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．
5．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴PA＝AB＝×4＝2﹣2．
故选：A．
6．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
设DE＝k，BC＝2k，
∴BF＝2k﹣k，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴△DBF∽△ADE，
∴＝（）2＝＝﹣1，
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴AB∥OC，
∴△PBQ∽△COQ，
∴＝（）2＝，
∴OC＝3PB，
∵OC＝8，
∴PB＝，
∵＝＝，BO＝8，
∴OQ＝×8＝6，
故选：B．
8．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；
B、∵AD2＝BD•CD，
∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；
C、∵AB2＝BD•BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；
D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符
合题意；
故选：D．
9．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，
∵△ABC的周长为8，BC＝x，
∴AB+AC＝8﹣x，
∴y＝8﹣x，
∵AB+AC＞BC，
∴y＞x，
∴8﹣x＞x，
∴0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），
故选：A．
10．【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点C的坐标为（6，﹣4），
故选：B．
11．【解答】解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：1：8000＝25：x，
解得：x＝200000，
∵200000cm＝2000m，
∴该路段实际长度约为2000m．
故选：D．
12．【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE＝AB，
∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，
∴△DEF∽△DBA，
∴＝，
∴△ABC的周长＝2×2＝4．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
13．【解答】解：∵∠A是公共角，
如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ABC；
如果＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
14．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，
故答案为：．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFCD是矩形，
∴EF＝CD＝2，CF＝DE，
∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CF＝1，
∴EC的长＝＝＝，
故答案为：．
16．【解答】解：设＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，
所以＝＝4．
故答案是：4．
17．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，
∴DE：AD＝4：9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∴S1：S2：S3＝16：81：36，
故答案为：4：9，16：81：36．
18．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，
∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，
∵EM：BC＝2：5，
∴＝＝，
设AM＝2x，则AC＝5x，故MC＝3x，
∴＝＝，
故答案为：．
19．【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，
∴AD＝3，
∵AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠EAF，
∵∠ADE＝∠C，
∴△ADF∽△ACG；
∴＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
20．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝90°．
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠ADE＝∠DCE．
又∵∠AED＝∠DEC＝90°，
∴△AED∽△DEC，
∴＝，
∴DE•CD＝AD•CE；
（2）∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC．
∵F为DE的中点，
∴DE＝2DF．
∵DE•CD＝AD•CE，
∴2DF•BC＝AD•CE，
∴＝．
又∵∠BCE＝∠ADF，
∴△BCE∽△ADF，
∴＝，
∴AF•BC＝AD•BE．
21．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝FE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵AE2＝EG•ED，
∴＝，
∵∠AEG＝∠DEA，
∴△AEG∽△DEA，
∴∠EAG＝∠ADG，
∵∠AGD＝∠FGE，
∴∠DAG＝∠FEG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AFB＝90°，
∴∠FEG＝90°，
∴DE⊥EF；
（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，
∴FE2＝EG•ED，
∴＝，
∵∠FEG＝∠DEF，
∴△FEG∽△DEF，
∴∠EFG＝∠EDF，
∴∠BAF＝∠EDF，
∵∠DEF＝∠AFB＝90°，
∴△ABF∽△DFE，
∴＝，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠AFB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴FE＝AB＝BC，
∴＝，
∴BC2＝2DF•BF．
22．【解答】解：∵BG：GH：HC＝2：4：3，∴设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，（k≠0）∵DE∥BC，FG∥AB，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∴DF＝BG＝2k，
∵DE∥BC，FH∥AC
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴EF＝HC＝3k，
∴DE＝5k
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，
∵FG∥AB
∴∠FGH＝∠B，
∴∠ADE＝∠FGH，
同理可得：∠AED＝∠FHG
∴△ADE∽△FGH
∴＝（）2＝，
23．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，
∴×3x×2x＝12，
解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
则AD的长＝2x＝4；
（2）设GF＝y，则HG＝2y，
∵四边形EFGH为矩形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，y＝，
HG＝2y＝，
则矩形EFGH的面积＝×＝．
24．【解答】解：△DBH∽△HBC，
理由：∵四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，∴A，B，C，D在一条直线上，∠A＝90°，
设AB＝x，则AH＝BC＝CD＝x，
∴BH＝x，BD＝2x，
∴，
∵∠HBC＝∠HBC，
∴△DBH∽△HBC．
25．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，
∴BE＝ED＝DB，
∵EF2＝•BD•EC，
∴EF2＝ED•EC，即得＝，
又∵∠FED＝∠CEF，
∴△EDF∽△EFC．
（2）∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
又∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B，
∴∠ADB＝∠FDC，
∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，
∵△EDF∽△EFC，
∴∠EFD＝∠C，
∴△EDF∽△ADC，
∴＝（）2＝，
∴＝，即 ED ＝AD ，
又∵ED ＝BE ＝BD ，
∴BD ＝AD ，
∴AB ＝BD ．
人教版九年级下数学第二十七章相似单元练习题（含答案）.doc
一、选择题
1.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()
A．∠C＝∠AED
B．＝
C．∠B＝∠D
D．＝
2.如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为()
A．(0,3)
B．(0,2.5)
C．(0,2)
D．(0,1.5)
3.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是()
A．①②③④
B．①④
C．②③④
D．①②③
4.如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有()
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
5.下列各组图形中可能不相似的是()
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
6.如图，把一个长方形划分为5个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的边a，b应满足的条件是()
A．a＝5b
B．a＝10b
C．a＝b
D．a＝2b
7.如图，己知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是()
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
A．1
B．2
C．3
D．4
8.如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为()
A．
B．
C．
D．
9.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，若以点B为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2∶1，则点C′的坐标为()
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1，－1)
D．(1,0)
10.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保
持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是() A．平移
B．旋转
C．轴对称
D．位似
二、填空题
11.已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
(1)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△DEF∽△ABC；
(2)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△FDE∽△ABC.
12.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE 交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.
13.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．
14.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．
15.两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm.
16.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2 m，b＝4 m，c＝5 m，则d＝__________ m.
17.汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB ＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.
18.△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2.以点C为位似中心将△ABC按∶1放大，A、B 的对应点分别为A′、B′，再将△A′B′C绕点C旋转90°，A′的对应点为P，则点P与B之间的距离为__________．
19.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.5 m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2 m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1 m，则塔高AB是__________米．
20.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8 m，小华的身高MN＝1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距4.7 m，则路灯AD 的高度是____________．
三、解答题
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F.请找出一对相似三角形，并加以证明．
22.作图：如图所示，O为△ABC外一点，以O为位似中心，将△ABC缩小为原图的.(只作图，不写作法和步骤)
23.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．
(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；
(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.
24.如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx＋b 与y＝－2x＋4是“平行一次函数”
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3,1)，求b的值；
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．
25.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
26.如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．
27.如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
28.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,4)，C(－3,2)．
(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；
(2)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标．
答案解析
1.【答案】D
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE.
A．∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，错误；
B．∵＝，∴△ABC∽△ADE，错误；
C．∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，错误；
D．∵＝，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，正确．故选D.
2.【答案】C
【解析】连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴＝＝，
∴GP＝1，PC＝2，
∴点P的坐标为(0,2)，
故选C.
3.【答案】D
【解析】∵在▱ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①正确；
∵S△AEF＝4，＝＝，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选D.
4.【答案】C
【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知，图中相似三角形有4对，分别是△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA.故选C.
5.【答案】A
【解析】A.不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B．由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
C．正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
D．正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选A.
6.【答案】C
【解析】∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a2＝5b2，
∴a＝b.
故选C.
7.【答案】C
【解析】根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2∶1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
故选C.
8.【答案】A
【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＋∠ACE＝90°，
∵∠BCF＋∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG＝1，BG＝EF＝CF＋CE＝7，。