高一数学复习考点知识与题型专题讲解2---不等式的恒成立与能成立

高一数学复习考点知识与题型专题讲解
专题02 不等式的恒成立与能成立
【方法精讲】
1. 不等式恒成立、能成立问题通常利用分离变量转化为求函数的最值．
2. 对于任意x D ∈,()f x a >（()f x a ≥）恒成立min ()f x a ⇔>（min ()f x a ≥）； 对于任意x D ∈,()f x a <（()f x a ≤）恒成立max ()f x a ⇔<（max ()f x a ≤）.
3. 对于存在x D ∈,()f x a >（()f x a ≥）能成立max ()f x a ⇔>（max ()f x a ≥）； 对于存在x D ∈,()f x a <（()f x a ≤）能成立min ()f x a ⇔<（min ()f x a ≤）.
【典型例题】
例1 设函数f k (x )＝2x ＋(k －1)·
2－x (x ∈R ，k ∈Z)．设不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4的解集为A ，若A ∩[1,2]≠∅，求实数m 的取值范围.
【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，54
【分析】代入得2x －2－x ＋m ·2x ≤4，分离参数m ≤2－x －2x ＋4
2x
，A ∩[1,2]≠∅意即“存在x ∈[1,2]，上不等式能成立”，故应等价转化为其最大值≥m ，考虑用换元法求出其最大值即可.
【解析】等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即为2x －2－x ＋m ·
2x ≤4， 所以m ≤2－x －2x ＋42x ，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x 2＋4·12x －1.
令t ＝12x ，x ∈[1,2]，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，12，
设h (t )＝t 2
＋4t －1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，12， 则h (t )max ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝54.
由A ∩[1,2]≠∅，即不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4在[1,2]上有解，则需m ≤h (t )max ，即m ≤54. 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54.
例2 已知函数f (x )＝2x ＋2－x ,若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值．
【答案】4
【分析】分离参数，直接转化为最值问题，使用换元法或基本不等式求最值.
【解析】由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.
因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，
所以m ≤f x
2＋4f x
对于x ∈R 恒成立． 而f x
2＋4f x ＝f (x )＋4f x ≥2 f x ·4f x ＝4，且f 02＋4
f 0＝4，
所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.
例3 若对于[]1,1a ∀∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->都成立，则x 的取值范围是_________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞
【分析】此题难度并不大，但学生受定式思维的影响，习惯上将x 视为变量而走入死胡同.事实上，要“变更主元”，“求谁谁是参数，已知谁谁是元”，设22
()(4)42(2)(44)f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，其是关于a 的一次函数，欲使对于[]1,1a ∀∈-，()0f a >恒成立，只需其最小值大于0，故只需其端点值都大于0即可.
【解析】设22()(4)42(2)(44)f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，其是关于a 的一次函数， 欲使对于[]1,1a ∀∈-，()0f a >恒成立，
只需(1)0(1)0f f >⎧⎨->⎩，即22320560
x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩，解之得1x <或3x > 所以x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.
【巩固练习】
1. 若关于x 的不等式2320x mx m -+-≥在区间[]1,2上有解，则实数m 的取值范围是_________.
2.已知函数f (x )＝a －1|x |，若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
3. 已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值范围是________． 3. 若二次函数f (x )＝x 2－x ＋1，若在区间[－1，1]上，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．
4.已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，若f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________．
5.设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3．
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；
(2)当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；
(3)设不等式f (x )≥a 对于满足1≤a ≤3的一切a 的取值都成立，求x 的取值范围．
【答案与提示】
1.【答案】[)2,-+∞
【解析】对不等式2
320x mx m -+-≥分离参数得：223x m x -≥- 设22()3
x g x x -=-（[]1,2x ∈），则min ()m g x ≥ 令3(12)x t t -=≤≤，则2(3)27()()6t g t t t t
--==-++- 函数7t t
+在区间[]1,2t ∈单减，故max 78t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，min ()(1)2g t g ==- 所以2m ≥-，即实数m 的取值范围是[)2,-+∞.
2.【答案】 (－∞，3]．
3. 【答案】(－2，23)．
【提示】易知函数f (x )是R 上的单增的奇函数，由f (mx －2)＋f (x )＜0得(mx －2)＋x ＜0，“变更主元”，设g(m )= (mx －2)＋x 为关于“m ”的一次函数，则g(－2) ＜0且g(2) ＜0.
3. 【答案】(－∞，－1)
【解析】f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减，
∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1＞0得，m ＜－1．
因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．
4.【答案】(－∞，－1＋22)
5.【答案】(1)－6≤a ≤2； (2) －7≤a ≤2； (3) x ≤－3或x ≥0．
(2)【提示】思路1：(利用二次函数的图象)
注：此方法可改进，由f (2)≥a ，f (－2)≥a 得－7≤a ≤73．对称轴x ＝－a 2∈[－76，72]，可少讨论一种情况．
思路2：(求函数的最值)
注：此方法可改进，由f (2)≥a ，f (－2)≥a 得－7≤a ≤73，再进行分类讨论．
思路3：(变量分离后，再求函数的最值) ．。