广东省肇庆市2021届高三数学毕业班第二次模拟考试试题 理

广东省肇庆市2021届高三4月第二次模拟
数 学（理科）
本试卷共4页，21小题，总分值150分. 考试历时120分钟. 注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.
2. 选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3. 非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：锥体的体积公式
1
3V Sh
=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 22⨯列联表随机变量
))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
. )(2k K P ≥与k 对应值表： )(2k K P ≥ 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.706
3.841 5.024
6.635
7.879
10.828
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．假设复数2
(23)(1)z m m m i =+-+-是纯虚数（i 是虚数单位），那么实数m =
A ．3-
B ．3
C ．1
D ．1或3-
2．已知集合
2{1,2},{1,}M N a ==，假设M N M =，那么实数a =
A ．2
B 2
C ．2-
D ．2±
3．图1别离是甲、乙、丙三种品牌腕表日走时误差散布的正态散布密度曲线，那么以下说法不正确的选项是 A ．三种品牌的腕表日走时误差的均值相等； B ．三种品牌的腕表日走时误差的均值从大到小依
次为甲、乙、丙；
C ．三种品牌的腕表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙；
D ．三种品牌腕表中甲品牌的质量最好
4．假设如图2所示的程序框图输出的S 是31， 那么在判定框中M 表示的“条件”应该是 A ．3n ≥ B ．4n ≥ C ．5n ≥ D ．6n ≥
5．已知向量(1,2),(,)x y ==a b ，那么“4x =-且2y =” 是“⊥a b ”的
A ．充分而没必要要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也没必要要条件 6．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图3所示， 那么该几何体的体积是
A ．205
3cm B ．303
cm
C ．403
cm D ．423
cm
7．已知实数0≠a ，函数
⎩⎨
⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ， 若)1()1(a f a f +=-，那么a 的值为
A ．35-
B ．35
C ．34-
D ．3
4
8．设有一组圆
k
C ：
)(2)3()1(*
422N k k k y k x ∈=-++-. 以下四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不通过原点. 其中真命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分. （一）必做题（9～13题） 9．已知等比数列
{}
n a 知足
122348
a a a a +=+=，，那么
5a =
▲ .
10．不等式|3||2|0x x --≥的解集为 ▲ .
11．假设双曲线22
221x y a b -=的渐近线方程是2y x =±，那么双曲线的离心率等于 ▲ .
12．在
12)
31(x x -
的展开式中，3x 的系数为 ▲ .
13．直角坐标系xOy 中，已知两定点A （1，0），B （1，1）．动点(,)P x y 知足⎪⎩⎪⎨
⎧≤⋅≤≤⋅≤1
020OA OP OB OP ，那么点
(,)M x y x y +-组成的区域的面积等于 ▲ .
（ ） ▲
14．（坐标系与参数方程选做题）已知C 的参数方程为3cos 3sin x t
y t =⎧⎨
=⎩
(t 为参数)，C 在点（0，3）处的切线为l ，
假设以直角坐标原点为极点，以x 轴的正半轴 为极轴成立极坐标系，那么l 的极坐标方程为 ▲ . 15.（几何证明选讲选做题）如图4，在ABC ∆中，AB=BC ， 圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线 于点D ， BD=4，72=CD ，则AC 的长等于 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，总分值80分. 解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤. 16.（本小题总分值12分）
已知锐角△ABC 的面积等于33AB=3，AC=4.
（1）求
)
2
sin(
A +π
的值；
（2）求)cos(B A -的值. 17.（本小题总分值12分）
为考察高中生的性别与是不是喜爱数学课程之间的关系，在我市某一般中学高中生中随机抽取200名学生，取得如下22⨯列联表：
喜欢数学课 不喜欢数学课 合计 男 30 60 90 女 20 90 110 合计
50
150
200
（1）依照独立性查验的大体思想，约有多大的把握以为“性别与喜爱数学课之间有关系”？
（2）假设采纳分层抽样的方式从不喜爱数学课的学生中随机抽取5人，那么男生和女生抽取的人数别离是多少？ （3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为ξ，求ξ的数学期望. 18.（本小题总分值14分）
如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为 2的菱形，且DAB=60. 侧面PAD 为正三角形，其所在的平
面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点. （1）求证：BG 平面PAD ；
（2）求平面PBG 与平面PCD 所成二面角的平面角的 余弦值；
（3）若E 为BC 边的中点，可否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF 平面ABCD ，并证明你的结论. 19.（本小题总分值14分）
如图6，圆
22
:(2)36C x y ++=，P 是圆C 上的任意 一动点，A 点坐标为（2，0），线段PA 的垂直平分线l 与半 径CP 交于点Q.
（1）求点Q 的轨迹G 的方程；
（2）已知B ，D 是轨迹G 上不同的两个任意点，M 为
BD 的中点. ①若M 的坐标为M （2，1），求直线BD 所在的 直线方程；②若BD 不通过原点，且不垂直于x 轴，点O 为轨迹 G 的中心. 求证：直线BD 和直线OM 的斜率之积是常数（定值）. 20.（本小题总分值14分）
已知正项数列
}
{n x 知足
2
11
<+
+n n x x （*
N n ∈）.
（1）证明：21
≥+
n
n x x ；
（2）证明：
1
+<n n x x ；
（3）证明：n n x n
n n 1
1+<
<-. 21．（本小题总分值14分）
已知函数x
x x a x f ln 2)1
()(--=，R a ∈．
（1）假设a=1，判定函数()f x 是否存在极值，假设存在，求出极值；假设不存在，说明理由； （2）求函数)(x f 的单调区间；
（3）设函数
x a
x g -
=)(．假设至少存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围．
数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题
8题解析：圆k
C 的圆心（k-1，3k ）在直线y=3（x+1）上运动，因此存在定直线y=3（x+1）与所有的圆均相
交；因圆
k
C 的半径2
2k r k =在转变，故①③错，②正确.
关于④：假设存在某个圆通过原点，那么4
222)3()1(k k k =+-（*），下面转化为那个关于k 的方程是不是有
正整数解，能够从k 的奇偶性分析：
①假设k 为奇数，那么k-1为偶数，3k 为奇数，于是2)1(-k 为偶数，2
)3(k 为奇数，从而方程（*）的左侧为
奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！
②假设k 为偶数，那么k-1为奇数，3k 为偶数，于是2)1(-k 为奇数，2)3(k 为偶数，从而方程（*）的左侧为
奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！ 综上知，假设不成立，故④正确. 二、填空题
9．364 10．[-3，1] 11．5 12．322
13．4 14．3sin =θρ 15．27
3
13题解析：由⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤1020OA OP OB OP ，得⎩⎨⎧≤≤≤+≤1020x y x
设M （s ，t ），那么s x y t x y =+⎧⎨=-⎩，解得1()21()2x s t y s t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由0201x y x ≤+≤⎧⎨≤≤⎩，得0202s t s ≤+≤⎧⎨≤≤⎩
. 三、解答题
16.（本小题总分值12分）
解：（1）∵
33sin 4321
sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
∆A A AC AB S ABC ， （2分）
∴
sin A =
. （3分）
又△ABC 是锐角三角形，∴
21
sin 1cos 2=
-=A A ， （4分）
∴
21
cos )2
sin(
=
=+A A π
. （5分）
（2）由余弦定理2
2
2
2cos BC AB AC AB AC A =+-⋅ （7分）
∴
1321
4324322=⨯
⨯⨯-+=BC （8分）
由正弦定理得
1339
2sin sin =
⋅=
BC A AC B ， （9分）
又B 为锐角，得
1313
sin 1cos 2=
-=B B . （10分）
∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+ （11分）
113321322397131326=⨯+⨯= （12分） 17.（本小题总分值12分）
解：（1）∵2
2
200(30906020) 6.061 5.024
9011050150K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， （2分）
∴约有97.5%以上的把握以为“性别与喜爱数学课之间有关系”. （4分） （2）男生抽取的人数有：60
52
6090⨯=+（人） （5分） 女生抽取的人数各有：90
53
6090⨯=+（人） （6分）
（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，
因此ξ的取值为1，2，3. （7分）
1232353(1)10C C P C ξ===，2132356(2)10C C P C ξ===，3
3351
(3)10C P C ξ===
，
因此ξ的散布列为：
ξ
1 2 3
()P ξ
3
10 610 110
（10分）
因此ξ的数学期望为
361
123 1.8101010E ξ=⨯
+⨯+⨯= （12分）
18.（本小题总分值14分） （1）证明：连结BD.
因为ABCD 为棱形，且∠DAB=60°，因此ABD 为正三角形. （1分）
又G 为AD 的中点，因此BG⊥AD. （2分） 又平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ， （3分） ∴BG⊥平面PAD. （4分） 解：（2）∵△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，∴PG⊥AD. ∵PG 平面PAD ，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD. ∴PG、BG 、AD 两两垂直. （5分） 故以G 为原点，成立如图所示空间直角坐标系G xyz -，
330cos =︒=PD PG ，
360sin =︒=AB GB ， （6分）
因此(0,0,0)G ，(0,1,0)D ，
(
)0,0,3
P ，(
)3,2,0
C ，
(
)0,1,3,PD =-
(
)3,2,3
PC =
- （7分）
设平面PCD 的法向量为0()0n PD n x y z n PC ⎧=⎪=⎨=⎪⎩·，，，∴·， 即30
3230y z x y z ⎧-=⎪⎨
+-=⎪⎩
令1z =，那么
13(131)x y n =-==-，，∴，， （8分）
又平面PBG 的法向量可为
()
020AD =，，， （9分）
设平面PBG 与平面PCD 所成二面角的平面角为θ，那么
∴
2315
cos 5||||25
n AD n AD θ=
==
·· 即平面PBG 与平面PCD 所成二面角的平面角的余弦值为15
5. （10分）
（3）当F 为PC 的中点时，平面DEF⊥平面ABCD. （11分） 取PC 的中点F ，连结DE ，EF ，DF ，CG ，且DE 与CG 相交于H. 因为E 、G 别离为BC 、AD 的中点，因此四边形CDGE 为平行四边形，
故H 为CG 的中点. 又F 为CP 的中点，因此FH//PG. （12分） 由（2），得PG 平面ABCD ，因此FH 平面ABCD. （13分）
又FH 平面DEF ，因此平面DEF⊥平面ABCD. （14分） 19.（本小题总分值14分）
解：（1）圆C 的圆心为C （-2，0），半径r=6，4
CA =. （1分）
连结QA ，由已知得QA QP
=， （2分）
因此
6QC QA QC QP OP r CA
+=+===>. （3分）
依照椭圆的概念，点Q 的轨迹G 是中心在原点，以C 、A 为核心，长轴长等于6的椭圆，
即a=3，c=2，
222
945b a c =-=-=， （4分） 因此，点Q 的轨迹G 的方程为22
195x y +=. （5分）
（2）①设B 、D 的坐标别离为),(11y x 、),(22y x ，
则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+4595459522222
121y x y x （6分）
两式相减，得
121212125()()9()()0
x x x x y y y y -++-+=， （7分）
当BD 的中点M 的坐标为（2，1）时，有⎩⎨
⎧=+=+2
4
2121y y x x ， （8分）
因此0)(18)(202121=-+-y y x x ，即
9
10
2121-
=--=
x x y y k BD . （9分）
故BD 所在的直线方程为)2(910
1--
=-x y ，即029910=-+y x . （10分）
②证明：设
1122(,),(,)
B x y D x y ，且21x x ≠，
由①可知
121212125()
9()
BD y y x x k x x y y -+=
=--+, （11分）
又
12
12
OM y y k x x +=
+ （12分）
因此
9
5
)(9)(521212121-
=++⨯++-
=⋅x x y y y y x x k k OM BD （定值）. （14分）
20.（本小题总分值14分） 证明：（1）
方式一：因为
>n x ，因此
2121=⨯≥+
n
n n n x x x x ， （1分）
故
2
1
≥+
n
n x x ，当且仅当1=n x 时，等号成立. （2分）
方式二：
因为
>n x ，因此
0)1(212
≥-=-+
n
n n n x x x x ， （1分）
故
2
1
≥+
n
n x x ，当且仅当1=n x 时，等号成立. （2分）
（2）由（1）知
21≥+
n n x x ，又21
1<++n n x x ，
因此11
1+>n n
x x ，因此1+<n n x x . （4分） （3）先证：
n n x n 1->
当n=1时，不等式显然成立； （5分）
假设当n=k （*
N k ∈）时不等式成立，即
k k x k 1
->
. （6分）
当n=k+1时，由
2
11
<+
+n n x x 得
112121
1+=
--
>->
+k k
k k x x k
k ， （7分）
即当n=k+1时，不等式成立； （8分）
综上，对一切*
N n ∈都有
n n x n 1
->
成立. （9分）
再证：
n n x n 1+<
由
>n x 及
2
11
<+
+n n x x （*
N n ∈），得
2
<n x （*
N n ∈），
因此当n=1时，不等式显然成立； （10分）
当2≥n 时，假设存在k ，使得
k k x k 1
+≥
， （11分）
那么有1121211-=+-≥->+k k k k x x k k ，即
11->+k k x k ， 因此212-->+k k x k ，323-->+k k x k ，┅，2322>-k x ，212>-k x ， （12分）
与题设21212<+
-k k x x 矛盾. （13分） 因此对一切*N n ∈都有n n x n 1
+<成立. （14分）
因此对一切*N n ∈都有n n x n
n n 11+<<-成立. 21.（本小题总分值14分）
解：（1）当1a =时，x x x x f ln 21)(--=，其概念域为（0，+）.
因为0)1(211)(22≥-=-+='x x x x x f ， （1分）
因此)(x f 在（0，+）上单调递增， （2分）
因此函数()f x 不存在极值. （3分）
（2）函数x x x a x f ln 2)1()(--=的概念域为(0,)+∞．
当0a ≤时，
因为0)(<'x f 在（0，+）上恒成立，因此)(x f 在（0，+）上单调递减. （4分）
当0a >时，
当),0(+∞∈x 时，方程0)(='x f 与方程022=+-a x ax 有相同的实根. （5分）
①当01a <<时，>0，可得a a x 2111--=，a a x 2
211-+=，且210x x <<
因为),0(1x x ∈时，0)(>'x f ，因此)(x f 在),0(1x 上单调递增； （6分）
因为),(21x x x ∈时，0)(<'x f ，因此)(x f 在),(21x x 上单调递减； （7分）
因为),(2+∞∈x x 时，0)(>'x f ，因此)(x f 在),(2+∞x 上单调递增； （8分）
②当1≥a 时，0≤∆，因此0)(>'x f 在（0，+
）上恒成立，故)(x f 在（0，+）上单调递增.
（9分） 综上，当0a ≤时，)(x f 的单调减区间为（0，+）；当01a <<时，)(x f 的单调增区间为)11,0(2a a --与
),11(2+∞-+a a ；单调减区间为)11,11(2
2a a a a -+--；当1≥a 时，)(x f 的单调增区间为（0，+）. （10分）
（3）由存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f >成立，
得002ln ax x >，即0
02ln x a x >.
（11分） 令2ln ()x
F x x =，等价于“当],1[e x ∈ 时，min )(x F a >”.
（12分） 因为22(1ln )
()x F x x -'=，且当],1[e x ∈时，()0F x '≥，
因此()F x 在[1,e]上单调递增，
（13分） 故min ()(1)0F x F ==，因此0a >. （14分）。