高考数学第一轮精品复习课件 第十一章 计数原理(选修2-3)
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【思路点拨】 横、纵坐标都确 定了才能得到点的坐标．因此应用分 步乘法计数原理．
课堂互动讲练
【解】 (1)确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定 方法；
第二步确定b的值，也有6种确定 方法．
根据分步计数原理，得到平面上 的点数是6×6＝36.
课堂互动讲练
(2)确定第二象限的点，可分两步 完成：第一步确定a，由于a<0，所以 有3种确定方法；
2．分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步 有m2种不同的方法…做第n步有mn种 不同的方法．那么完成这件事共有N＝
m1×m2×m3×…×mn种不同的方法，
这一原理叫做 分步乘法计数原理 ．
基础知识梳理
在解题过程中如何判定是用分类加 法计数原理还是用分步乘法计数原理？
规律方法总结
1．关于两个计数原理的应用范围 (1)如果完成一件事情有几类办法， 这几类办法彼此之间相互独立，无论哪 一类办法中的哪一种方法都能独立完成 这件事，求完成这件事的方法种数时就 用分类加法计数原理，分类加法计数原 理可利用“并联”电路来理解．
规律方法总结
(2)如果完成一件事情要分几个步 骤，各个步骤都是不可缺少的，需要 依次完成所有的步骤，才能完成这件 事，而完成每一个步骤各有若干种不 同的办法，求完成这件事的方法种数 时就用分步乘法计数原理，分步乘法 计数原理可利用“串联”电路理解．
课堂互动讲练
(2)完成的事情是带3本不同学科 的参考书，只有从外语书、数学书、 物理书中各选一本书后，才能完成这 件事，因此应用分步计数原理，结果 为5×4×3＝60(种). 8分
课堂互动讲练
(3)选1本数学书和选1本外语书， 应用分步计数原理，有5×4＝20种选 法，同样地，选外语书、物理书各一 本有5×3＝15种选法，选数学书、物 理书各一本有4×3＝12种选法，应用 分类计数原理，结果为20＋15＋12＝ 47(种). 12分
【思路点拨】 采用列举法分 类，先确定一个加数，再利用“和 大于20”确定另一个加数．
课堂互动讲练
【解】 当一个加数是1时，另 一个加数只能是20,1种取法．
当一个加数是2时，另一个加数 可以是19,20,2种取法．
当一个加数是3时，另一个加数 可以是18,19,20,3种取法．
…… 当一个加数是10时，另一个加数 可以是11,12，…，20,10种取法．
规律方法总结
2．应用两个计数原理的注意事项 (1)要真正理解“完成一件事”的含 义，以确定需要分类还是需要分步． (2)分类时要做到不重不漏． (3)对于复杂的计数问题，可以分 类、分步综合应用．
用两个计数原理解决计数问题时，最重 要的就是在开始计算之前要仔细分析．首先 我们可以考虑问题是否应当分类，分类能否 使问题的复杂程度大大降低；然后在每一类 中考虑是否应当分步．我们把问题分解成几 类互不重复的情况，每一类都使用分步乘法 计数原理来计数，然后再用分类加法计数原 理将各类情况组合在一起．
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命题探究
1.计数原理内容考查比较稳定，试题 难度起伏不大；排列组合题目一般为选择、 填空题，考查排列组合的基础知识、思维能 力，多数试题与教材习题的难度相当，但也 有个别题难度较大；二项式定理是高考重点 考查内容之一．分值一般为5～8分．
2．考查热点为排列组合与两个计数原 理结合命题，求展开式中某一项或某一项的 系数，求某些项的系数和求含字母的项中字 母的值等．
第二步确定b，由于b>0，所以有 2种确定方法．
由分步计数原理，得到第二象限 点的个数是3 解题时，关键是 分清楚完成这件事是分类还是分步， 在应用分步乘法计数原理时，各个步 骤都完成，才算完成这件事，步骤之 间互不影响，即前一步用什么方法， 不影响后一步采取什么方法，运用分 步乘法计数原理，要确定好次序，还 要注意元素是否可以重复选取．
2分
课堂互动讲练
①给a，c涂同种颜色共5种涂法， 再给b涂色有4种涂法，最后给d涂色 也有4种涂法．由分步乘法计数原理 知，此时共有5×4×4种涂法.7分
②给a，c涂不同颜色共有5×4＝ 20种涂法，再给b涂色有3种涂法，最 后给d涂色也有3种涂法，此时共有 20×3×3种涂法．故由分类加法计数原 理知，共有5×4×4＋20×3×3＝260种 涂法.12分
第1课时 两个计数原理
基础知识梳理
1．分类加法计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类 办法中有m1种不同的方法，在第2类办 法中有m2种不同的方法…在第n类办法 中有mn种不同的方法．那么完成这件
事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋ 种不
同的方法，m这n一原理叫做 分类加法计 数原理 ．
基础知识梳理
课堂互动讲练
当一个加数是11时，另一个加数 可以是12,13，…，20,10,9种取法．
…… 当一个加数是19时，另一个加数 是20,1种取法． 由分类加法计数原理可得共有1＋ 2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100种 取法．
课堂互动讲练
【规律小结】 应用分类加法计 数原理，首先根据问题的特点，确定 分类的标准，分类应满足：完成一件 事的任何一种方法，必属于某一类且 仅属于某一类．
【思考·提示】 如果已知的每类 办法中的每一种方法都能完成这件事， 应该用分类加法计数原理；如果每类办 法中的每一种方法只能完成事件的一部 分，就用分步乘法计数原理．
三基能力强化
1．从3名女同学和2名男同学中
选1人主持本班的某次主题班会，则
不同的选法为( )
A．6种
B．5种
C．3种
D．2种
答案：B
D．72
答案：D
三基能力强化
4．已知a∈{0,3,4}，b∈{1,2,7,8}， r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 表示不同的圆的个数是________．
答案：24
三基能力强化
5．甲厂生产的空调外壳形状有3 种，颜色有4种，乙厂生产的空调外 壳形状有4种，颜色有5种，均与甲厂 生产的不同．这两厂生产的空调仅从 外壳的形状和颜色看，共有________ 种不同的品种．
答案：32
课堂互动讲练
考点一 分类加法计数原理的应用
如果完成一件事有n类办法，这 n类办法彼此之间是相互独立的，无 论哪一类办法中的哪一种方法都能 完成这件事，求完成这件事的方法 种数，就用分类加法计数原理．
课堂互动讲练
例1 在1到20这20个整数中，任 取两个相加，使其和大于20，共 有几种取法？
课堂互动讲练
互动探究
题目条件不变，试求P可表示多 少个不在直线y＝x上的点？
解：点P(a，b)在直线y＝x上的 充要条件是a＝b.
因此a和b必须在集合M中取同一 元素，共有6种取法，即在直线y＝x 上的点有6个．
由(1)得不在直线y＝x上的点共 有36－6＝30(个)．
课堂互动讲练
考点三 两个计数原理的综合应用
课堂互动讲练
例3 (解题示范)(本题满分12分) 有一个圆被两相交弦分成
四块，现在用5种不同颜料给这 四块涂色，要求共边两块颜色 互异，每块只涂一色，共有多 少种涂色方法？
课堂互动讲练
【思路点拨】 这里的“完成一 件事情”是指得到一个公共边区域不 同色的涂色圆面．
【解】 如图所示，分别用 a，b，c，d表示这四块区域，a 与c可同色也可不同色，可先考 虑给a，c两块涂色，可分两类：
第十一章 计数原理（选修2-3）
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考纲解读
1.分类加法计数原理、分步乘法 计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步 乘法计数原理．
(2)会用分类加法计数原理或分步 乘法计数原理分析和解决一些简单的实 际问题．
2011高考导航
考纲解读
2．排列与组合 (1)理解排列、组合的概念． (2)能利用计数原理推导排列数公 式、组合数公式． (3)能解决简单的实际问题． 3．二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开 式有关的简单问题.
课堂互动讲练
【规律小结】 按元素性质分类， 按发生过程分步是处理排列、组合的基 本思想方法，在应用分类加法计数原理 时，要注意“类”与“类”间的独立性 与并列性；在应用分步乘法计数原理 时，要注意“步”与“步”间的连续 性．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分12分)某个同学有课外参考 书若干本，其中有5本不同的外语书，4 本不同的数学书，3本不同的物理书，他 欲带参考书到图书馆阅读．
课堂互动讲练
考点二 分步乘法计数原理的应用
如果完成一件事需要分成n个步 骤，缺一不可，即需要依次完成所有 的步骤，才能完成这件事，而完成每 一个步骤各有若干种不同的方法，计 算完成这件事的方法种数就用分步乘 法计数原理．
课堂互动讲练
例2 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}， P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的 点？
(1)若他从这些书中带一本去图书 馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书中 各一本，有多少种不同的带法？
课堂互动讲练
(3)若从这些参考书中选两本不 同学科的参考书带到图书馆，有多 少种不同的带法？
解：(1)完成的事件是带一本 书，无论是带外语书还是带数学 书、物理书，事件都能完成，从而 确定为分类计数原理，结果为5＋4 ＋3＝12(种). 4分
三基能力强化
2．(教材习题改编)5个高中毕业生
报考三所重点院校，每人报且只报一所
院校，则不同的报名方法有( )
A．35种
B．53种
C．5×4×3种 D．5×3种
答案：A
三基能力强化
3．(2009年高考北京卷改编)由数
字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位奇
数的个数为( )
A．8
B．24
C．48
课堂互动讲练
【解】 (1)确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定 方法；
第二步确定b的值，也有6种确定 方法．
根据分步计数原理，得到平面上 的点数是6×6＝36.
课堂互动讲练
(2)确定第二象限的点，可分两步 完成：第一步确定a，由于a<0，所以 有3种确定方法；
2．分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步 有m2种不同的方法…做第n步有mn种 不同的方法．那么完成这件事共有N＝
m1×m2×m3×…×mn种不同的方法，
这一原理叫做 分步乘法计数原理 ．
基础知识梳理
在解题过程中如何判定是用分类加 法计数原理还是用分步乘法计数原理？
规律方法总结
1．关于两个计数原理的应用范围 (1)如果完成一件事情有几类办法， 这几类办法彼此之间相互独立，无论哪 一类办法中的哪一种方法都能独立完成 这件事，求完成这件事的方法种数时就 用分类加法计数原理，分类加法计数原 理可利用“并联”电路来理解．
规律方法总结
(2)如果完成一件事情要分几个步 骤，各个步骤都是不可缺少的，需要 依次完成所有的步骤，才能完成这件 事，而完成每一个步骤各有若干种不 同的办法，求完成这件事的方法种数 时就用分步乘法计数原理，分步乘法 计数原理可利用“串联”电路理解．
课堂互动讲练
(2)完成的事情是带3本不同学科 的参考书，只有从外语书、数学书、 物理书中各选一本书后，才能完成这 件事，因此应用分步计数原理，结果 为5×4×3＝60(种). 8分
课堂互动讲练
(3)选1本数学书和选1本外语书， 应用分步计数原理，有5×4＝20种选 法，同样地，选外语书、物理书各一 本有5×3＝15种选法，选数学书、物 理书各一本有4×3＝12种选法，应用 分类计数原理，结果为20＋15＋12＝ 47(种). 12分
【思路点拨】 采用列举法分 类，先确定一个加数，再利用“和 大于20”确定另一个加数．
课堂互动讲练
【解】 当一个加数是1时，另 一个加数只能是20,1种取法．
当一个加数是2时，另一个加数 可以是19,20,2种取法．
当一个加数是3时，另一个加数 可以是18,19,20,3种取法．
…… 当一个加数是10时，另一个加数 可以是11,12，…，20,10种取法．
规律方法总结
2．应用两个计数原理的注意事项 (1)要真正理解“完成一件事”的含 义，以确定需要分类还是需要分步． (2)分类时要做到不重不漏． (3)对于复杂的计数问题，可以分 类、分步综合应用．
用两个计数原理解决计数问题时，最重 要的就是在开始计算之前要仔细分析．首先 我们可以考虑问题是否应当分类，分类能否 使问题的复杂程度大大降低；然后在每一类 中考虑是否应当分步．我们把问题分解成几 类互不重复的情况，每一类都使用分步乘法 计数原理来计数，然后再用分类加法计数原 理将各类情况组合在一起．
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命题探究
1.计数原理内容考查比较稳定，试题 难度起伏不大；排列组合题目一般为选择、 填空题，考查排列组合的基础知识、思维能 力，多数试题与教材习题的难度相当，但也 有个别题难度较大；二项式定理是高考重点 考查内容之一．分值一般为5～8分．
2．考查热点为排列组合与两个计数原 理结合命题，求展开式中某一项或某一项的 系数，求某些项的系数和求含字母的项中字 母的值等．
第二步确定b，由于b>0，所以有 2种确定方法．
由分步计数原理，得到第二象限 点的个数是3 解题时，关键是 分清楚完成这件事是分类还是分步， 在应用分步乘法计数原理时，各个步 骤都完成，才算完成这件事，步骤之 间互不影响，即前一步用什么方法， 不影响后一步采取什么方法，运用分 步乘法计数原理，要确定好次序，还 要注意元素是否可以重复选取．
2分
课堂互动讲练
①给a，c涂同种颜色共5种涂法， 再给b涂色有4种涂法，最后给d涂色 也有4种涂法．由分步乘法计数原理 知，此时共有5×4×4种涂法.7分
②给a，c涂不同颜色共有5×4＝ 20种涂法，再给b涂色有3种涂法，最 后给d涂色也有3种涂法，此时共有 20×3×3种涂法．故由分类加法计数原 理知，共有5×4×4＋20×3×3＝260种 涂法.12分
第1课时 两个计数原理
基础知识梳理
1．分类加法计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类 办法中有m1种不同的方法，在第2类办 法中有m2种不同的方法…在第n类办法 中有mn种不同的方法．那么完成这件
事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋ 种不
同的方法，m这n一原理叫做 分类加法计 数原理 ．
基础知识梳理
课堂互动讲练
当一个加数是11时，另一个加数 可以是12,13，…，20,10,9种取法．
…… 当一个加数是19时，另一个加数 是20,1种取法． 由分类加法计数原理可得共有1＋ 2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100种 取法．
课堂互动讲练
【规律小结】 应用分类加法计 数原理，首先根据问题的特点，确定 分类的标准，分类应满足：完成一件 事的任何一种方法，必属于某一类且 仅属于某一类．
【思考·提示】 如果已知的每类 办法中的每一种方法都能完成这件事， 应该用分类加法计数原理；如果每类办 法中的每一种方法只能完成事件的一部 分，就用分步乘法计数原理．
三基能力强化
1．从3名女同学和2名男同学中
选1人主持本班的某次主题班会，则
不同的选法为( )
A．6种
B．5种
C．3种
D．2种
答案：B
D．72
答案：D
三基能力强化
4．已知a∈{0,3,4}，b∈{1,2,7,8}， r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 表示不同的圆的个数是________．
答案：24
三基能力强化
5．甲厂生产的空调外壳形状有3 种，颜色有4种，乙厂生产的空调外 壳形状有4种，颜色有5种，均与甲厂 生产的不同．这两厂生产的空调仅从 外壳的形状和颜色看，共有________ 种不同的品种．
答案：32
课堂互动讲练
考点一 分类加法计数原理的应用
如果完成一件事有n类办法，这 n类办法彼此之间是相互独立的，无 论哪一类办法中的哪一种方法都能 完成这件事，求完成这件事的方法 种数，就用分类加法计数原理．
课堂互动讲练
例1 在1到20这20个整数中，任 取两个相加，使其和大于20，共 有几种取法？
课堂互动讲练
互动探究
题目条件不变，试求P可表示多 少个不在直线y＝x上的点？
解：点P(a，b)在直线y＝x上的 充要条件是a＝b.
因此a和b必须在集合M中取同一 元素，共有6种取法，即在直线y＝x 上的点有6个．
由(1)得不在直线y＝x上的点共 有36－6＝30(个)．
课堂互动讲练
考点三 两个计数原理的综合应用
课堂互动讲练
例3 (解题示范)(本题满分12分) 有一个圆被两相交弦分成
四块，现在用5种不同颜料给这 四块涂色，要求共边两块颜色 互异，每块只涂一色，共有多 少种涂色方法？
课堂互动讲练
【思路点拨】 这里的“完成一 件事情”是指得到一个公共边区域不 同色的涂色圆面．
【解】 如图所示，分别用 a，b，c，d表示这四块区域，a 与c可同色也可不同色，可先考 虑给a，c两块涂色，可分两类：
第十一章 计数原理（选修2-3）
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考纲解读
1.分类加法计数原理、分步乘法 计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步 乘法计数原理．
(2)会用分类加法计数原理或分步 乘法计数原理分析和解决一些简单的实 际问题．
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考纲解读
2．排列与组合 (1)理解排列、组合的概念． (2)能利用计数原理推导排列数公 式、组合数公式． (3)能解决简单的实际问题． 3．二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开 式有关的简单问题.
课堂互动讲练
【规律小结】 按元素性质分类， 按发生过程分步是处理排列、组合的基 本思想方法，在应用分类加法计数原理 时，要注意“类”与“类”间的独立性 与并列性；在应用分步乘法计数原理 时，要注意“步”与“步”间的连续 性．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分12分)某个同学有课外参考 书若干本，其中有5本不同的外语书，4 本不同的数学书，3本不同的物理书，他 欲带参考书到图书馆阅读．
课堂互动讲练
考点二 分步乘法计数原理的应用
如果完成一件事需要分成n个步 骤，缺一不可，即需要依次完成所有 的步骤，才能完成这件事，而完成每 一个步骤各有若干种不同的方法，计 算完成这件事的方法种数就用分步乘 法计数原理．
课堂互动讲练
例2 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}， P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的 点？
(1)若他从这些书中带一本去图书 馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书中 各一本，有多少种不同的带法？
课堂互动讲练
(3)若从这些参考书中选两本不 同学科的参考书带到图书馆，有多 少种不同的带法？
解：(1)完成的事件是带一本 书，无论是带外语书还是带数学 书、物理书，事件都能完成，从而 确定为分类计数原理，结果为5＋4 ＋3＝12(种). 4分
三基能力强化
2．(教材习题改编)5个高中毕业生
报考三所重点院校，每人报且只报一所
院校，则不同的报名方法有( )
A．35种
B．53种
C．5×4×3种 D．5×3种
答案：A
三基能力强化
3．(2009年高考北京卷改编)由数
字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位奇
数的个数为( )
A．8
B．24
C．48