消费者行为理论

消费者行为理论
1.1 基本概念
消费者选择模型主要由四个部分构成，即消费集、可行集、偏好关系与行为假定。

1.1.1 消费集
消费集（consumption set）X代表一切备择物或整个消费计划的集合，它们是消费者所能够设想到的集合，而不管其中一些它可能是无法得到的。

因此，我们可以看到消费者即使对于他们在其能力范围内所无法得到的消费选择仍然可以有一个优劣的评判，显然正是消费集之上我们在后面探讨其上的偏好关系。

消费集有时称为选择集。

如果令xi 2 R代表第i种商品的数量，假定其有意义时为非负，则令x = (x1，……，xn)为一个向量，它包含n种不同数量的商品，并称x为消费束或消费计划。

显然，一个消费束x 属于X，可由一个点x 属于Rn+表示。

也就是将消费集视为整个非负象限。

因此，消费集有如下性质：
假设：消费集X的性质
消费集的最低条件是：1）空集=不等于X 属于Rn+ ，2）X是闭的，3）X是凸的，4）0 属于X。

1.1.2 可行集
可行集（feasible set）不仅是可想象到的，也是在现实条件下消费者可以获得的消费备择物。

因此，可行集B代表一切可选择的消费计划。

因此，可以想象可行集B是消费集X的子集，即B 包含于X。

1.1.3 偏好关系
偏好关系（preference relation）就是消费者对想要的各种消费束的排序。

A preference relation typically speci¯es the limits, if any, on the con-sumer's ability to perceive in situations involving choice, the form of consis-tency or inconsistency in the consumer's choices, and information about the consumer's tastes for the di®erent objects of choice.
1.1.4 行为假设
行为假设确保消费者作出选择的指导原则。

一般假定消费者在其可获得的备择物中，依照其个人偏好，作出最受偏好的选择。

1.2 从偏好关系到效用函数
1.2.1 偏好关系
消费者偏好是以公理化为特征的。

消费者选择的公理旨在为消费者行为的基本方面及其对选择对象的态度给予正式的表达。

通过公理化体系表达了消费者能够选择，并且这些选择以特定方式保持一致性。

我们正式定义在消费集X上的二元关系>~代表消费者偏好。

如果x1>~ x2，我们称对于这个消费者“x1与x2至少一样好”。

如下公理提出了二元比较必须遵循的基本标准：
公理1：完备性（completeness）。

对于所有属于X集的两个选择x1与x2，要么x1 >~x2，要么x2>~ x1。

公理2：传递性（transitivity）。

对于所有属于X集的任何三个元素x1、x2与x3，如果x1 >~x2，且x2>~ x3，则x1 >~x3。

完备性公理表明消费者具有辨别能力，并能够对任何两个消费计划作出比较。

传递性公理表明消费者的选择具有一致性，可以将成对的比较按一种一致性的方式联系起来，并排斥了循环偏好的出现。

我们把消费集X上满足公理1与公理2的二元关系>~称为一种偏好关系。

偏好关系使消费者建立一种排序，并反映那些消费者的偏好。

满足上面两个公理，将使消费者能够完整地对消费集X中的任何有限的要素排序（从最好到最坏，包括有些同样好）。

所以，如果偏好关系>~满足以上两个公理，我们就称偏好关系>~是理性的。

从偏好关系出发引出两个附加的关系：
定义：严格偏好关系（strict preference relation）
消费集X上的二元关系>被定义如下：x1 >~x2，当且仅当x1>~ x2，且x2不>~ x1。

关系>被称为由>~引出的严格偏好关系，x1 >x2被读作“x1严格偏好于x2”。

定义：无差异关系（indi®erence relation）
消费集X上的二元关系～被定义如下：x1 ~x2，当且仅当x1 >~x2，且x2 >~x1。

关系～被称为由>~引出的无差异关系，x1 ~ x2被读作\x1与x2无差异"。

在消费者对备择物的排序中，对于任何一对x1与x2，三种相互排斥的可能性中只有一种存在：x1 ~ x2，或x2 ~ x1，或x1 ~ x2。

定义：由偏好关系引出的X中的集合
设x0是消费集X中的任何一点，相对于这一点，我们将定义X的如下子集：
1）>~ (x0) ={x\x属于X，x>~x0},称“至少与x0一样好"的集合；
2）<~(x0) ={x\x属于X，x0>~x}，称\不比x0好"的集合；
3）< (x0) ={x\x属于X，x0>x}，称\比x0差"的集合；
4）> (x0) ={x\x属于X，x>x0}，称\比x0更受偏爱"的集合；
5）~ (x0) ={x\x属于X，x~x0}，称\与x0无差异"的集合。

公理1和公理2告诉我们，相对于x0，消费者必须把X中的每一点放到三种相互排斥的类型中去：每个其他点或劣于x0，或与x0无差异，或比x0更受偏爱。

因此，对于任何消费束x0，三个集合< (x0)，~ (x0)与> (x0)划分了消费集。

满足公理1和公理2假设的偏好如下图：图1.1: 满足公理1、2的假说性偏好。

显然，这一图形与我们通常见到的无差异图存在比较大的不同，而这需要附加更多的假定（正则条件：连续性、严格单调性和凸性）来实现。

注意在图1.1中，无差异集~ (x0)是一个开集。

这样一种形式的偏好关系图并不违背理性偏好的两个公理。

下面我们引入连续性公理，将开的无差异集限定成闭集。

公理3：连续性（continuity）。

对于所有的x 属于Rn+，\至少与x一样好
的"集合>~（x0)与\不比x好的"集合<~（x0)在Rn+ 上是闭的。

由于集合>~（x0)与<~（x0)是闭的，由于~ (x0)是两者的交集，因而也是闭的，因此，偏好图中的无差异集成为闭区域。

连续性公理保证了不出现突然的偏好逆转。

也就是如果一个消费束序列的每个元素yn至少与x一样好（并不比x好），并且yn收敛于y，那么，y也至少同x一样好（并不比x好）。

闭的含义是所有极限点都包含在该集合之内。

满足公理1、2和3的偏好图如下：图1.2: 满足公理1、2、3的假说性偏好我们进一步假设即使人们被限制在较小的范围内进行选择，他们也会作出更好的选择。

这就局部非饱和性公理。

公理4’局部非饱和性（local nonsatiation）。

对于所有x0属于Rn+ ，与对于所有E > 0，总会存在一些x 属于BE(x0)交Bn+ ，使得x >x0。

也就是说，在给定点x0的任何邻域内，无论这个邻域多么小，将总存在至少其他一个点x，使得消费者偏好该点甚于偏好x0。

满足公理1到4‘偏好图如下图：图1.3: 满足公理1、2、3、4’的假说性偏好局部非饱和性指的是消费者无论在一个多么小的选择区域里，都可以作出选择，但并没有给出具体偏好关系的信息。

一般来说，人们总认为\多比少好"，但局部非饱和性并没有作出类似这样的限定，也就是在没有更加限制性的条件下，非饱和性并不排除受偏好的备择物可能涉及较少的商品，也意味着并没有赋予消费者更多的每件东西就必然使消费者得到改善。

公理4：严格单调性（strict monotonicity）。

对于所有x0，x1属于Rn+ ，如果x0>=x1，那么x0 >~ x1；如果x0 >> x1，那么x0~ x1。

其中x0>=x1表示消费束x0包含的每种物品至少同x1的一样多，x0 >>x1表示消费束x0包含的每种物品数量严格比x1多。

这样，在公理4条件下，任何东北部的点，诸如x1所涉及的每种物品的数量均大于x0，故如象限东北部的这类点必定严格比x0更偏爱。

同理，x0必定比象限西南方的点更受偏爱。

到现在为止的偏好图与我们常见的无差异图的区别还存在一个凹区域。

这将通过下面的公理加以排除。

公理5'：凸性（convexity）。

如果x1 >~x0，那么对于所有t 属于[0; 1]，tx1+(1 - t)x0 >~ x0。

其较强的形式如下：
公理5：严格凸性（strict convexity）。

如果x1不等于x0，并且x1 >~ x0，那么，对于所有有t属于[0; 1]，tx1+(1 - t)x0 ~ x0。

图1.6: 满足公理1、2、3、4和5'或5的假说性偏好
实际上，我们已经知道无差异曲线的斜率（的绝对值）被称为边际替代率，它度量了消费者愿意放弃x2以换取x1的比率，以便在交换后是无差异的。

凸性要求表明的是当我们沿无差异曲线由西北移向东南时，消费者将用x2换取x1的比率递减。

这就是边际替代率递减原理。

1.2.2 效用函数及其性质
把偏好关系转换为效用函数（utility function），使我们便于利用微积
分方法进行分析。

效用函数的定义如下：定义：代表偏好关系>~的效用函数
如果对于所有x0; x1属于Rn+ ，u(x0) >=u(x1)充分必要x0>~x1，那么实值函数u : Rn+趋向于R被称为代表偏好关系的一个效用函数。

因此，如果一个效用函数分派一个较大的数给所偏爱的消费束，那么该函数则代表了一个消费者的偏好关系。

因此，在偏好关系与效用函数之间能否具有这种联系，也就是能否保证偏好关系能由一个连续的实值函数来代表的问题。

在数学上，这一问题就是代表偏好关系的一个连续效用函数的存在性问题。

人们可以证明任何一个具备完备性、传递性与连续性的二元关系才能被用一个连续实值函数来表达，如Debreu在其1983年文献中所给出的证明1。

但通常教科书中的有关效用函数存在性的证明，为简化分析的需要，往往附加严格单调性的假定，但不要求任何凸性。

定理：代表偏好关系的实值函数的存在性
如果二元关系>~实完备的、可传递的、连续的及严格单调的，那么，必
存在一个连续的实值函数u : Rn+趋向于R，它一定代表>~
（证明略）
以上定理可以把用基本的集合论所表示的偏好关系转换为用一个连续效用函数来对偏好关系加以表述。

但效用函数不是唯一的，如果函数u代表一个消费者偏好，那么u + 5和u立方同样是对该消费者偏好的表述。

对这一性质，我们有：
定理：效用函数对正单调变化的不变性
令>~是Rn+ 上的一个偏好关系，并设u(x)是一个代表此偏好关系的效用函数。

对于每个x，当且仅当v(x) = f(u(x))，这里f : R 趋向于R,在u所确定的值集上是严格递增的，那么v(x)也代表偏好关系>~
（证明略）
效用函数的序数性实际上就是指效用函数具有单调递增变换的性质。

进一步关于偏好性质与效用函数间的关系如下：
定理：偏好性质与效用函数
令>~是由u : Rn+趋向于R表示，那么：
1）当且仅当>~是严格单调的，u(x)是严格递增的；
2）当且仅当>~是凸的，u(x)是拟凹的；
3）当且仅当>~是严格凸的，u(x)是严格拟凹的。

因此，效用函数作为实值函数一般具有连续性、严格递增性和严格拟凹性。

在效用函数连续性基础上，我们往往还假定它是可微的。

也就是既是连续的，也是光滑的。

由此我们得到u(x)关于xi的一阶偏导，并称其为物
品i的边际效用。

对任何一个消费束x1 = (x11,x21)，通过该点的无差异曲线正是该点二维平面上的一个函数，可以表述为x2 = f(x1)。

在无差异曲线上，对于所有x1，有：
u(x1; f(x1)) = 常数
在消费束点x1 = (x11,x21)处，用商品1替代商品2的边际替代率表示为MRS12(x11,x21)，它是通过x1 = (x11,x21)点的无差异曲线斜率的绝对值，
即：MRS12(x11,x21)=|f’(x11)|=- f’(x11)
1.3 消费者问题
现在我们所要研究的消费者将具有如下一些要素：
1）他拥有一个消费集X = Rn+，包含消费者所可想象到的消费备择物；
2）他对备择物的倾向由定义在Rn+ 上的偏好关系>~描述；
3）消费者受限定而实际可获得的备择物构成一个可行集B属于Rn+ ；
4）消费者按偏好关系选择最受偏爱的可行备择物，即：x*属于B，使得对于所有x*属于B，X*>~x
将偏好关系转换为效用函数后，我们就可以针对效用函数研究消费者行为了。

1.3.1 偏好与效用
我们首先仍然提出对消费者偏好（consumer preferences）的假定，以及相应的效用函数的特性。

假设：消费者偏好
消费者的偏好关系>~在Rn+上是完备的、可传递的、连续的、严格单调的并且是严格凸的。

因此，根据前面的定理，这种偏好关系可由一个实值效用函数u表示。

该函数在Rn+ 上是连续的、严格递增的且严格拟凹的。

两种物品的偏好可以由以下无差异图表示，其上的效用水平集不交叉、严格凸向原点，且沿东北方向递增。

效用函数是严格拟凹的，限定了无差异曲线是凸向原点。

考虑无差异
曲线上两个不同点x0(x01; x02)与x1(x11 ; x12 )，显然两点效用相等，即u(x0) =u(x1) = u0，严格拟凹性保证：：u[入x01 +(1-入)x11，入x02 +(1-入)x12] > u0，对所有¸入属于(0; 1)成立，因此连接无差异曲线上两点的线段上的所有内点处在更高的无差异曲线上，也即凸向原点。

1.3.2 预算集
我们假定单个消费者行为对市场没有明显的影响，也就是，我们假定市场价格向量p 》0是固定的。

消费者在一定的货币收入y >=0下，以价格pi购买xi单位的商品i，因此，其所有购买支出不超过收入p ·x<= y，其中p和x为向量，而y为实数。

这进一步构成了可行集B，现在称之为预算集（budget set）：
B ={x 属于Rn+; p ·x<= y}
1.3.3 消费者选择：问题
现在消费者问题就可以从前面的偏好基础上的选择问题转变为在预算约束下最大化效用函数的问题（UMP，the Utility Maximization Prob-lem）：
Maxx属于Rn+ u(x); 受约束于p ·x<= y
1.3.4 消费者选择：解的性质
在已有的假设条件下，对于上面消费者效用最大化问题：
1)效用函数u(x)是实值连续函数；
2）预算集是一个非空（包含0属于Rn+）、闭的、有界的（所有价格严格为正），即它是Rn的紧子集；
3）根据威尔斯拉斯（Weierstrass）定理，在B上存在u(x)的一个极大值；
4）由于B是凸的，目标函数是严格拟凹的，u(x)在B上的极大值是唯一的；
5）由于偏好严格单调，解值x*将满足等式约束条件，即在预算集边界上。

1.3.5 需求函数
显然最优解x*依存于消费者问题的参数，并且我们看到，对于既定的p与y值，有唯一的解与之对应。

因此，可以将最优化问题的解看作是一个由价格与收入集到数量集X = Rn+ 的一个函数。

所以，可以将x*写为：
X*i = xi(p; y)i = 1; ……; n; 其向量形式为：x* = x(p; y)
当最优解被视为p与y的函数时，效用最大化问题的解就是所谓的普通需求函数（ordinary demand functions），也称为马歇尔需求函数（Mashallian demand functions）。

当收入及所有其他商品的价格保持不变，对该商品的消费量xi与其自身价格pi之间的关系就是标准的商品i的需求曲线（如图1.10所示）。

1.4 间接效用函数
1.4.1 间接效用函数定义
普通效用函数u(x)定义在消费集X上，并直接代表消费者偏好，也被称为直接效用函数（direct utility function）。

给定价格p与收入y，消费者选择一个效用最大化的消费束x(p; y)。

当x(p; y)被选择时，所获得的效用水平是消费者在价格p与收入y的预算约束所允许的最高效用水平。

因此，不同的价格或收入，给出了不同的预算约束，进而对消费者选择产生影响。

这样，价格、收入与效用最大值之间的关系可表述为一个实值函数v : Rn
+ 乘以R+趋向于R,定义为：
v(p; y) = maxx属于RN+u(x); 受约束于p·x<= y
函数v(p; y)称为间接效用函数（indirect utility function），是同消费者效用最大化问题相对应的最大值函数。

对于连续的效用函数u(x)，最大化问题的解存在，这时对于p》0和y>=0，间接效用函数v(p; y)也能被很好定义。

特别当效用函数u(x)是严格拟凹的，存在唯一解x(p; y)，即表示为消费者需求函数，而进一步在x(p; y)被选择时所达到的效用水平为：v(p; y) = u(x(p; y))，则构成间接效用函数。

其图形表示为v(p; y)是给定价格p与收入y时，消费者所能取得的最高无差异曲线所表示的效用水平。

可以看到：把u(x)称为直接效用函数，是把效用作为消费束x的函数，而消费束是在某个给定价格（p）与收入水平（y）下最优选择的结果，当价格与收入发生变化时，最优选择的消费束x*也发生改变，并进一步对效用产生影响。

因此，最大化的效用max u(x)与(p; y)间存在着函数关系，并称之为间接效用函数。

这正是因为这时的效用不是直接表示为消费束x 的函数，而是价格（p）与收入（y）的函数。

也就是知道了消费者有多少收入，同时知道外在的相对价格关系，就可以通过消费者的自己选择获得最优消费组合，正是在这个意义上，消费者的最大效用由价格（p）与收入（y）间接地表达出来。

研究间接效用函数的意义在于通过控制价格与收入，也就是一定的价格政策和收入政策来调节消费者行为。

1.4.2 间接效用函数的性质
如下定理给出了间接效用函数的性质：
定理：间接效用函数的性质
如果u(x)在Rn+ 上是连续且严格递增的，那么如上定义的间接效用函数v(p; y)将是：
1）关于(p; y)是零次齐次的；
2）关于y是递增的；
3）关于p是递减的；
4）关于(p; y)是拟凸的；
5）罗伊等式（Roy's identity）
1.5 支出函数
1.5.1 支出函数的定义
消费者选择的最初问题一般假定在预算约束下最大化效用（UMP）。

如果把这一问题称为原消费者最优选择问题，间接效用函数表示了效用最大值与其对应的某个给定的价格与收入间的最大值函数关系。

实际上在另一个角度上，原问题还可转换为在给定价格和效用下支出最小化（EMP，the Expenditure Minimization Problem），从而将支出函数（expenditure function）定义为一个最小值函数，即：
e(p; u) = minx属于Rn+p·x; 受约束于u(x) >=u
1.5.2 补偿需求函数或希克斯需求函数
马歇尔需求函数，也就是普通需求函数是指给定价格与收入，消费者为使效用最大化而选择对x的需求量。

现在的问题是，当价格给定，为满足一定的效用水平，使消费者支出最少而如何选择消费量x。

实际上它假定了这样的情形：当某种商品价格下降（上升）时，消费者得到效用的增加（减少），但我们假定把消费者收入减少（增加）一个相应的份额，使其效用水平仍保留与价格下降前相同的效用水平，这样来研究消费者选择可能发生的变化。

这就是上式中的函数xh(p; u)。

显然，这是一种不可观测的假定情形的需求函数，称为补偿需求函数（compensated demand functions），也因为最早由希克斯所提出，也称为希克斯需求函数（Hicksian demand functions）。

1.5.3 支出函数的性质
定理：支出函数的性质
如果u(·)是连续且严格递增的，那么，由3.10定义的e(p; u)则是：
1）关于p是一次齐次的；
2）关于效用u是严格递增的，
3）关于价格p是非递减的；
4）关于p是凹的；此外如果u(·)是严格拟凹的，我们有：
5）Shephard引理（Shephard's lemma）
1.7 消费者需求的性质
这里，我们将对消费者行为进行比较静态分析，研究当价格与收入变化时，消费者需求如何变化。

1.7.1 相对价格与实际收入
在经济分析中用实物量而非货币量来度量一些重要的变量是十分重要的。

如果我们认为消费者不存在\货币幻觉"，那么只有相对价格（relativeprices）与实际收入（real income）会影响价格。

相对价格表明的是，人们为获得一单位相关物品而必须放弃的另一些其他物品的单位数量。

如果pi是物品i的货币价格，那么它可以用每单位物品i的货币量来度量。

同样物品j的货币价格pj是用每单位物品j的货币量来度量。

因此，用物品j表示的物品i的相对价格pi=pj度量了获得一单位物品i所应放弃的物品j的单位量。

实际收入是消费者花费其全部货币收入所能够获得的一些商品的最大单位数量。

如果y是消费者的货币收入，那么y=pi是他的用物品j表示的实际收入，并由数单位物品j来度量。

当我们认为消费者行为表现为不存在\货币幻觉"，在数学上就是：消费者的需求函数关于价格与收入是零次齐次的。

同时，我们认为消费者的支出将耗尽其全部收入，这被称为\预算平衡性"。

定理：齐次性（homogeneity）与预算平衡性（budget balancedness）
在消费者效用函数为连续的、严格递增的且严格拟凹的假定下，消费者需求函数xi(p; y)，i = 1; ……; n，关于所有价格与收入是零次齐次的，并且对于所有的(p; y)，它满足预算平衡
性p ·x = y。

在此我们对这一定理给出简单说明：由于用一个正的常数乘以所有物品的价格和收入，不会改变消费者预算集，因此也不会改变选择集。

从这一点出发可以对需求函数关于所有价格与收入是零次齐次的，即xi(tp; ty) = xi(p; y)做出说明。

预算平衡性则显然来自于效用函数严格递增的假定，否则多出的收入将增加对物品的消费，从而必然带来效用的增加。

1.7.2 收入效应与替代效应
1）需求对价格变化的反应
在一般情况下，价格下降消费量会随之上升，但情况并非总是如此。

产生这一现象的原因在于价格变化会对需求产生两种效应：替代效应（substitution e®ect,SE）和收入效应（income e®ect,IE），而且某些物品的收入效应与价格呈同向变动。

所谓替代效应是指随价格变化，增加对廉价物品的消费以替代相对昂贵的物品；收入效应是指购买力增加对商品需求的影响。

2）价格变动效应的希克斯分解
价格变化总效应的希克斯分解，是假定相对价格变化到新的水平，而消费者最大化效用仍保持在价格变化前的水平，那么这种假说性的消费变化就是替代效应，收入效应则被定义为总效应中去掉替代效应的剩余效应。

希克斯分解是一种非常简洁方法，而下面所要讨论的斯卢茨基方程则更为正式地对总效应、替代效应与收入效应间的关系进行了分析。

3）斯卢茨基方程
1.7.3 需求弹性与收入份额
为进一步分析预算平衡性下消费者对价格与收入变化的反应，可以计算
各种需求弹性，并进行加总。

1）需求弹性与收入份额
定义：需求弹性与收入份额
2）消费者需求的加总
（1）恩格尔加总（Engel aggregation）恩格尔加总表明需求收入弹性按收入份额加权求和必定等于1。

（2）古诺加总（Cournot aggregation）古诺加总表明pj变动所带来的需求价格弹性按收入份额加权求和正好是消费品j支出份额的负数。

也就是说要考察商品j价格调整的影响，将取决于被调价物在人们生活开支中的地位，如果占有的份额越大，价格变动的影响就越大。

1.9 反需求函数
需求函数表示为需求量是价格的函数，然而在一些情况下，把价格看作是需求量的函数，这便是反需求函数（inverse demand function）。