2025届福建省莆田一中高考仿真卷数学试卷含解析

2025届福建省莆田一中高考仿真卷数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．
7
3
斤 B ．
72
斤 C ．
52
斤 D ．3斤
2．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经
过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
3．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A ．11//FM AC ，
B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11C
C
D D C ．BM ⊥平面1CC F
D ．三棱锥B CEF -的体积为定值
5．已知函数()2
3sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
1
，纵坐标保持不变；
再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．
54
π
B ．
34
π C ．
2
π D ．
3
π 6．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
D ．函数()f x 的对称轴是()5212
k x k Z ππ=
-∈ 7．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
8．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2
214
x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )
A ．2
214
y x -=
B ．22
1520y x -=
C ．22
1205x y -=
D ．2
2
14
x y -=
9．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）
A ．122
π-
B ．21π-
C ．22π-
D ．24π-
10．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）
A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1
B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AE
C ．四面体EMAC 的体积为定值
D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 11．设函数()()
2
1
ln 11f x x x
=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-
D ．()
()1,00,1-
12．已知1F ，2F 是双曲线222:1x
C y a
-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，
若2AB =
△2ABF 的内切圆的半径为（ ）
A ．
23 B ．
33
C 22
D 23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，直线l 是曲线()y f x =在3x =处的切线，则(3)f '=________.
14．已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22
:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.
15．在四棱锥P ABCD -中，PAB 是边长为23的正三角形，ABCD 为矩形，2AD =，22PC PD ==.若四棱
锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____．
16．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥；
②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是21,42⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦； ③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22；
④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率3
2
e =
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由. 18．（12分）设函数
.
(I )求的最小正周期；
(II )若
且
，求
的值.
19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，上顶点为(0,1)B ，2
，直线:2l y kx =-交y 轴于C 点，
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求证：BOM BCN S S ⋅△△为定值．
20．（12分）已知点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，||3AB =，2BM MA =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
且斜率存在的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，(0,1)E ，求22
||||EP EQ +的取值范围．
21．（12分）设函数()121f x x x a =++-+． （1）当1a =时，解不等式()6f x ≤； （2）设1
2
a <-
，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围． 22．（10分）已知函数f(x ）=xlnx ，g(x)=
23
2
x ax -+-, （1）求f(x)的最小值；
（2）对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥都有恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>
-成立． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差51241
51512
a a d --=
==---，217
2
a a d ∴=+=.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2、C 【解析】
由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2
b a
c a
=+，再结合,,a b c 关系求解即可
【详解】
因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以
2b a c a =+，即22
c a a c a
-=+，则c a a -=，故2c e a ==.
故选：C 【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 3、B 【解析】
先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】
解不等式327x <可得3x <，
解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，
据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 4、B 【解析】
根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D. 【详解】
在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；
在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误； 在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；
在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题. 5、C 【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为
()2sin 416g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【详解】
函数()2
22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛
⎫
=-+=-=-
⎪⎝
⎭
， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
12倍，得2sin 46y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛
⎫
==-
+ ⎪⎝
⎭
的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-. 若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()426
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，
12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242
T ππ
=
=．故选C ．
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6、B 【解析】
根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【详解】
由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=
⎪⎝⎭
，所以22T π
ω==. 将点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=
，所以()52cos 26f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. 令()52226
k x k k Z ππππ≤+
≤+∈，得()51212k x k k ππ
π-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在17
11,12
12ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确；
令()52226k x k k Z ππππ-≤+
≤∈，得()1151212
k x k k Z ππ
ππ-≤≤-∈， 故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
-∈⎢⎥⎣
⎦
上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=
-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+
=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212
k x ππ
=-()k Z ∈，故D 正确.
【点睛】
本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7、B 【解析】
先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】
因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125
ai i a a i
ai z i i i ++-+++=
==--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠. 8、B 【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】
∵双曲线C 与2
214
x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，
∴可设双曲线C 的方程为22
14y x k k
-=，一个焦点为0,5，
∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为22
1520
y x -=.
故选：B 【点睛】
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 9、C 【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】
几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为2的等腰直角三角形、高为2的棱柱，
故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积， 即21V 12222222
ππ=••-•••=-，
故选C. 【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积. 10、C 【解析】
采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误
由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，
故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF //BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥
由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=
又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥
AC OE O =，,AC OE ⊂平面AEC
所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确
四面体EMAC 的体积为1
3
M AEC AEC V S h -∆=
⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，
由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，
则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值
D 错误
由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，
则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值
所以四面体FA 1C 1B 的体积111111
3
F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】
本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题. 11、B 【解析】
由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】
由题意知：()f x 定义域为R ，
()()()
()()2
2
11
ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--
=+-
=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()2
1
ln 11f x x x
=+-
+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，2
1
1y x =
+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，
由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，
x 的取值范围为()
(),11,-∞-+∞.
故选：B . 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 12、B 【解析】
设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】
由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得2
2b AB a
==
由1b =，可得a =
所以双曲线的方程为: 2
212
x y -=
所以12(F F ，
所以2
1211
22
ABF S
AB F F =⋅⋅==
三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==
设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11
22
S C r r =⋅⋅=⋅=，
所以=
，
解得r = 故选：B 【点睛】
本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
12
. 【解析】
求出切线l 的斜率，即可求出结论. 【详解】
由图可知直线l 过点3(3,3),0,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，
可求出直线l 的斜率3
312302
-
=
=-k ， 由导数的几何意义可知，1
(3)2
f '=.
故答案为:1
2
.
【点睛】
本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题. 14
、)
4⎡⎣ 【解析】
连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，可得四边形PAMB 的面积为1
2
PM AB PA MA ⋅=⋅，
从而可得2PA MA AB PM
⋅==PM 的取值范围，可求得AB 的范围.
【详解】
如图，连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，所以四边形PAMB 的面积为1
2
PM AB ⋅，且四边形PAMB 的面积为三角形PAM 面积的两倍，所以
1
2
PM AB PA MA ⋅=⋅，所以
2
2
44
2441PM PA MA AB PM
PM
PM
-⋅=
=
=-
，
当PM 最小时，AB 最小，设点(,)P x y ，则2222(3)69429PM x y x x x x x =-+=-++=-+，
所以当1x =时，min
22PM
=，则min 4
41228
AB =-
=， 当点(,)P x y 的横坐标x →+∞时，PM →+∞，此时4AB →， 因为AB 随着PM 的增大而增大，所以AB 的取值范围为)
22,4⎡⎣. 故答案为：)
22,4⎡⎣.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 15、28π 【解析】
做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出3,19PF PG ==120PFG ∠=，从而在平面PFG 中建立坐标系，则,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接
圆圆心为2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积. 【详解】
解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知
,PF AD PG BC ⊥⊥，则23sin 603,22319PF PG ===-=
设PAD ∆的外接圆圆心为1O ，则1O 在直线PF 上且12
3
PO PF =
设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O
在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191
cos 2322
PFG +-∠==-⨯⨯，120PFG ∴∠=.
在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于x 轴的直 线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥
设()1,O y ，则113333,,,2222O P ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1OO PF ⊥，所以
333
2213122
y -=+ 解得23y =.则2
2
33328123222PO ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭ 所以球的表面积为2
284282ππ⎛⎫
⨯= ⎪⎝⎭
.
故答案为: 28π.
【点睛】
本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解. 16、①②③④ 【解析】
取CD 中点G ,11C D 中点M ,1CC 中点N ,先利用中位线的性质判断点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面
α,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11
B C 所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；
③由//MN EG ,取F 为MN 中点,则11,MN C F MN B F ⊥⊥,则11B FC ∠即为α
与平面11CDD C 所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可. 【详解】
取CD 中点G ,连接EG ,则1//EG CD ,所以1//EG A B ,所以平面1A BE 即为平面1A BGE , 取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,则易证得111//,//B M BG B N A E , 所以平面1//B MN 平面1A BGE ,所以点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α.
①取F 为MN 中点,因为1B MN △是等腰三角形,所以1B F MN ⊥,又因为1//MN CD ,所以11B F CD ⊥,故①正确； ②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11B C 所成角,设正方体的棱长为2,当点F 为MN 中点时,直线1B F 与直线11B C 所成角最小,此时12
2
C F =
,111112tan 4C F C B F B C ∠==；
当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线11B C 所成角最大,此时111
tan 2
C B F ∠=
, 所以直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是21,42⎤
⎥⎣⎦
,②正确； ③α与平面11CDD C 的交线为EG ,且//MN EG ,取F 为MN 中点,则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,11
111tan 22B C B FC C F
∠=
=,所以③正确； ④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中,平面ABCD ,平面1111D C B A ,平面11BCC B ,平面11ADD A 与平面α所成的角相等,所以④正确． 故答案为:①②③④ 【点睛】
本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
214
y x +=（2）是定值，详见解析
【解析】
（1）根据长轴长为4
，离心率e =
22
22a c a a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
求解.
（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则22
0044x y +=，直线()00:11y PA y x x =
--，令0x =得，001
M y
y x -=-，则2=-M
BM y ，直线022:2y PB y x x -=
+，令0y =，得0
022
N x x y -=-，则1=-N AN x ，再根据()()∆∆∆∆∆∆∆∆-=---=-PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S 求解.
【详解】
（1
）依题意得22
22
2a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪-=⎪⎩
，
解得2
1
a b =⎧⎨
=⎩，
则椭圆C 的方程2
214
y x +=.
（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则22
0044x y +=，
直线()0
0:11
y PA y x x =
--， 令0x =得，0
01
M y y x -=
-， 则0
0221
M y BM y x =-=+
-， 直线02
2
:2y PB y x x -=
+， 令0y =，得0
022
N x x y -=
-，
则0
02112
=-=+
-N x AN x y ， ()()PMN PAB MAN PAN BAN PAN MAN BAN S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴-=---=- 0000211
2122212
=
⋅=++=--y x AN BM x y . 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题. 18、 (I )；(II )
【解析】 (I )化简得到，得到周期. (II ) ，故
，根据范围判断
，代入计算得到答案.
【详解】 (I )
，故
. (II )
，故，
，
，故
，
，
故
，故
， .
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19、（Ⅰ）2212
x y +=；（Ⅱ）12BOM BCN S S ∆∆=，证明见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆G 的方程； （Ⅱ）设点1(P x ，1)y ，点2(Q x ，2)y ，易求直线BP 的方程为：11
11y y x x --=，令0y =得，111M x
x y =-，同理可得
2
2
1N x x y =
-，所以
122
1212
113
1||3||||22493()BOM BCN M N x x S S x x
k x x k x x ∆∆=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-++，联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，化简即可得到1
2
BOM BCN
S S ∆∆=． 【详解】
（Ⅰ）解：由题意可知：222
1
2b c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆G 的方程为：2
212
x y +=；
（Ⅱ）证：设点1(P x ，1)y ，点2(Q x ，2)y ，
联立方程22
212
y kx x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(12)860k x kx +-+=， ∴122812k
x x k +=
+，122
612x x k
=+①， 点1(P x ，1)y ，(0,1)B ，
∴直线BP 的方程为：11
11y y x x --=
，令0y =得，111x x y =-，11(1x
M y ∴-，0)，
同理可得2
2
(1x N y -，0)，
111||3||22BOM BCN M N S S x x ∆∆∴=⨯⨯⨯⨯⨯3
||4M N x x =⨯1
212
3||411x x y y =⨯-- 12123||4(3)(3)x x kx kx =⨯--1221212
3
||493()x x k x x k x x =⨯-++， 把①式代入上式得：22222
6
312246491212BOM BCN
k S S k k k k
∆∆+=⨯-+++22
3612141292k k +=⨯=+， BOM BCN S S ∆∆∴为定值
1
2
． 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解；关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理化简三角形面积得到定值；考查计算能力与推理能力，属于中档题．
20、（1）22
14
x y +=（2）2564,25⎛⎤ ⎥
⎝⎦
【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出,EP EQ ，得到EP EQ ⊥，所以222
||||||EP EQ PQ +=，代入韦达定理即可求解. 【详解】
（1）设()0,0A x ，()00,B y ，则22
009x y +=，
设(,)M x y ，由2BM MA =得()00
003222(0)3x x x x x y y y y y ⎧⎧
==-⎪⎪⇒⎨⎨
-=-⎪⎪=⎩⎩
． 又由于2
23(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 化简得M 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=．
（2）设直线PQ 的方程为35
y kx =-， 与C 的方程联立，消去y 得()2
2
2464140525
k
x
kx +-
-=， >0∆，设()11,P x y ，()22,Q x y ，
则12224520k x x k +=
+，122
64
25100x x k
-⋅=+， 由已知()11,1EP x y =-，()22,1EQ x y =-，则
()()12121212881155EP EQ x x y y x x kx kx ⎛
⎫⎛⎫⋅=+--=+-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
()()21212864
1525k x x k x x =+-++
()2226482464
125100552025
k k k k k -=+⨯-⨯+++
222
2
64641926425625100k k k k ---++=
+ 0=，
故直线EP EQ ⊥．
()()2
22221212||||||14EP EQ PQ k x x x x ⎡⎤+==++-⎣⎦
()()()()22222222641254246414520251002514k k k k k k k ++⎡⎤-⎛⎫=+-⨯=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦
()
()242264429252514k k k ++=+，
令214k t +=，则
22222
116442925444276625||2525t t t t PQ t t ⎡⎤--⎛⎫+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎡⎤-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦== 24133176427252727t ⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 由于2141t k =+≥，101t
<≤， 22564||25
PQ ≤<． 所以，22||||EP EQ +的取值范围为2564,
25⎛⎤ ⎥⎝⎦
． 【点睛】 此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.
21、（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
. 【解析】
（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果.
【详解】
（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤， 21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩
∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩
，解得21x -≤<-． 综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．
（2）21a x ≤<-，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，
()26f x x ≤+有解，31a ∴--<-，即2a >-，
又21a <-，12
a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭． 【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.
22、 (1)1e -
(2)（,4]-∞ (3)见证明 【解析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】
（1）1()=ln 10f x x x e
+=∴=' 当1
(0,)x e
∈时，()0,()f x f x '<单调递减，当1
(,)x e ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，所以函数f(x ）的最小值为f(1e ）=1e
-； （2）因为0x >，所以问题等价于22ln 332ln x x x a x x x x
++≤=++在()0,x ∈+∞上恒成立， 记()32ln ,t x x x x =++
则()min a t x ⎡⎤≤⎣⎦， 因为()()()2231231x x t x x x x
+='-=+-， 令()013t x x x =='=-得或舍，
()()0,10,x t x ∈'<时函数f(x ）在（0,1）上单调递减;
()()1,0,x t x ∈+∞'>时函数f(x ）在（1，+∞）上单调递增；
()()min 1 4.t x t ⎡⎤∴==⎣⎦即4a ≤，
即实数a 的取值范围为（,4]-∞.
（3）问题等价于证明()2ln ,0,.x x x x x e e
>-∈+∞ 由（1）知道()11ln ,f x x x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
的最小值 ()()()21,0,x x x x x x x e e e
设则φφ-=-∈+='∞，令()01x x 得，φ'== ()()0,10,x x φ∈'>时函数()x φ在（0,1）上单调递增；
()()1,0,x x φ+∞'∈<时函数()x φ在（1，+∞）上单调递减；
所以{()()max 1]1x e φφ==-
， 因此12ln x x x x e e e ≥-≥-，因为两个等号不能同时取得，所以2ln ,x x x x e e
>- 即对一切()0,x ∈+∞，都有12ln x x e ex
>-成立. 【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。