吉林省长春市市第一外国语中学高一数学理月考试卷含解析

吉林省长春市市第一外国语中学高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数则的值为（）
A．B．C．D．18
参考答案：
C
2. 在等差数列{a n}中，已知，则该数列前11项和＝（）
A．58 B．88 C．143 D．176
参考答案：
B
在等差数列中，因为，则，该数列的前项和为
，选B.
3. 下列各图中，不可能表示函数的图象的是
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
B 4. 设函数，若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
通过f（x）恰有2个不同的零点，转化判断①两个零点一个大于1一个小于1，②两个零点均大于1，结合图象，推出结果．
【详解】
，易知当时，函数无零点.
当时，分两种情况：
①两个零点一个大于1一个小于1，如图：
则，解得；
②两个零点均大于1，如图：
则，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故选C.
5. 不等式＜0的解集为（）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}
参考答案：
A
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x 的值即可得到解集．
【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0
即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；
或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，
所以不等式的解集为﹣2＜x＜3
故选A
6. 设a=50.8，b=0.67，c=log0.74，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
参考答案：
D
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】对于a和b，运用指数函数的性质与0，1比较，可知a＞1，0＜b＜1，利用对数函数的单调性得到c＜0，从而得到a，b，c的大小．
【解答】解：a=50.8＞50=1，0＜b=0.67＜0.60=1
c=log0.74＜log0.71=0，
所以，c＜b＜a．
故选D．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值和对数值的大小比较，考查了指数函数和对数函数的单调性，该类大小比较问题，有时利用0和1当媒介，往往能起到事半功倍的效果，此题是基础题
7. 函数对于任意实数满足条件，若则
A..
B..
C.
D..
参考答案：
C
8. 下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

A．（1）（2）（4）B．（4）（2）（3）
C．（4）（1）（2）D．（4）（1）（3）
参考答案：
C
略
9. 设,则等于 ( )
参考答案：
C
略
10. 已知函数（）
A. B. C.1 D.0
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知=，则 __________．
参考答案：
20
略
12. 已知幂函数f(x)=x a的图象过点（27，3），则这个函数解析式为.. 参考答案：
由题意可得：，解得：
∴这个函数解析式为13. （5分）设和是两个单位向量，其夹角是60°，则向量=2+与=2﹣3的夹角
是．
参考答案：
120°
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：
根据已知条件容易求出，，根据向量夹角的余弦公式即可求出cos＜
＞，从而求出向量的夹角．
解答：=；
=，=；
∴cos=；
∴夹角为120°．
故答案为：120°．
点评：考查向量数量积的运算，向量长度求法：，以及向量夹角的余弦公式．
14. 已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若AB=6，设PA+PB的最大值为，最小值为，则的值为．
参考答案：
15. 已知函数y=sin(ωx+1)的最小正周期是，则正数______.
参考答案：
4
16. （5分）已知函数f（x）=，其中表示不超过x的最大整数（如=﹣2，
=3，…）．则函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点个数是
．
参考答案：
4
考点：对数函数的图像与性质；分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意作出函数f（x）和y=log3|x|的图象，数形结合可得．
解答：由题意作出函数f（x）和y=log3|x|的图象，
数形结合可得图象的交点个数为4个，
故答案为：4
点评：本题考查函数图象的交点，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
17. 已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ．参考答案：
【考点】指数型复合函数的性质及应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，
所以，
解得b=﹣1， =0不符合题意舍去；
当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，
所以，
解得b=﹣2，a=，
综上a+b=，
故答案为：
【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点．
（1）|OA|?|OB|最小时，求直线l的方程；
（2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】法一：（1）先求出+=1，根据基本不等式的性质得到ab的最小值，从而求出直线方程；（2）根据基本不等式的性质得到关于a，b的方程组，解出a，b，求出方程即可；法二：（1）设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），（k＜0），求出其与坐标轴的交点坐标，表示出|OA|?|OB|，根据基本不等式的性质求出k的值，从而求出直线方程；
（2）表示出2|OA|+|OB|，根据基本不等式的性质求出k的值，求出直线方程即可．
【解答】解：方法一：设|OA|=a，|OB|=b，则直线l的方程为：
+=1，（a＞2，b＞1），由已知可得： +=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（1）∵2≤+=1，∴ab≥8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当==，即a=4，b=2时，ab取最小值4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时直线l的方程为+=1，即为x+2y﹣4=0．
故|OA|?|OB|最小时，所求直线l的方程为：x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由+=1得：2a+b=（2a+b）?（+）=5++≥5+2=9﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当，即a=3，b=3时，2a+b取最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时直线l的方程为+=1，即x+y﹣3=0．
故@|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
方法二：设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），（k＜0），
则l与x轴、y轴正半轴分别交于A（2﹣，0）、B（0，1﹣2k）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）|OA|?|OB|=（2﹣）?（1﹣2k）=4+（﹣4k）+（﹣）≥4+2=8，
故|OA|?|OB|最小时，所求直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣
（2）2|OA|+|OB|=2（2﹣）+（1﹣2k）=5+（﹣）+（﹣2k）≥5+2=9，
当且仅当﹣=﹣2k，即k=﹣1时取得最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故2|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19. 已知函数f（x）=+x，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用单调性定义证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）根据函数单调性定义证明f（x）的单调性；
（2）根据函数的增减性来求特定区间上的最值问题；【解答】解：（1）证明：设任意变量x1，x2且3＜x1＜x2＜5
f（x1）﹣f（x2）=
=
=；
∵3＜x1＜x2＜5
∴x1x2＞0，x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＜0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）为x∈[3，5]增函数．
（2）由（1）知函数f（x）为x∈[3，5]增函数；
∴
20. 已知向量满足，.
（1）若的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角.
参考答案：
（1）（2）.
【分析】
（1）将平方后利用数量积的定义可求其值，从而得到. （2）利用得到，再利用夹角公式可求的大小.
【详解】（1）由已知，得，
所以，所以.
（2）因为，所以.所以，即，
所以.
又，所以，即与的夹角为.
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.
21. 已知f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，且，满足对任意，都有
.
（Ⅰ）求f(0)的值；
（Ⅱ）判断f(x)的奇偶性并证明；
（Ⅲ）解不等式.
参考答案：
（Ⅰ）令，得，
所以. ……………………………………………………………………2分
（Ⅱ）在上是奇函数…………………………………………………3分
定义域为，关于原点对称.
令，得，……………………………………5分
即，
所以在上是奇函数. ……………………………………………………6分（Ⅲ）令，得
所以，………………………………………………………………7分
由（Ⅱ）知为奇函数，所以，…………………………8分
所以不等式等价于，………………………9分
又因为在上是单调递减函数，
所以，
解得.………………………………………………………………………11分
所以原不等式的解集为. …………………………………………12分
22. 已知函数，函数
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
参考答案：
解：（1）∵，
∴，
令u=mx2+2x+m，则，
当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若的定义域为R，
则，
解得m＞1，
综上所述，m＞1 …
（2）=，x∈[﹣1，1]，
令，则，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当时，时，；
当时，t=a时，；
当a＞2时，t=2时，h（a）=y min=7﹣4a．
综上所述，…
（3），
假设存在，由题意，知
解得，
∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…
考点：对数函数的图像与性质．
专题：分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．分析：（1）若的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；
（2）令，则函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化为：y=t2﹣2at+3，，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；
（3）假设存在，由题意，知解得答案．
解答：解：（1）∵，
∴，
令u=mx2+2x+m，则，
当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若的定义域为R，
则，
解得m＞1，
综上所述，m＞1 …
（2）=，
x∈[﹣1，1]，
令，则，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当时，时，；
当时，t=a时，；
当a＞2时，t=2时，h（a）=y min=7﹣4a．
综上所述，…
（3），
假设存在，由题意，知
解得，
∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键。