高二数学第八章圆锥曲线方程知识复习

高二数学 第八章 圆锥曲线方程 知识复习
二次曲线系
（一）共焦点圆锥曲线系
1t y t
c x 2
22=++ 当t>0时，表示共焦点（±c,0）的椭圆系；
当-c 2<t<0时，表示共焦点（±c,0）的双曲线系；
当t<-c 2时无轨迹。

[例1]已知椭圆的焦点坐标是（0，3），（0，-3），且经过点（1，-2），求椭圆的标准方程。

解：3c ,3c 2=∴= 。

又焦点坐标为（0，3），（0，-3），曲线为椭圆，故设所求方程为)0t (1t
3y t x 2
2>=++ ∵椭圆过点（1，-2），∴()1t 32t 12
=+-+。

化简整理得 t 2-2t-3=0。

∴t=3或t =-1（舍去）
故所求椭圆方程为16
y 3x 2
2=+。

说明 运用共焦点曲线系建立方程时，一是要注意焦点所在的坐标轴，二是应注意参数t 的取值范围。

[例2] 求以椭圆13y 13x 22=+的焦点为焦点，以直线x 2
1y ±=为渐近线的双曲线方程 解 由椭圆方程13
y 13x 2
2=+知a 2=13，b 2=3，则c 2=10，焦点在x 轴上。

设共焦点的双曲线系方程为
),10t 0(1t
y t 10x 2
2<<=-- 其渐近线方程为,0t y
t 10x =±-
已知双曲线的渐近线方程为x 2
1y ±=，
4
1t 10t =-∴，解得t=2。

故所求双曲线方程为.12
y 8x 2
2=- 说明 这里由于出现参数t 的二次根式，所以设t>0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。

与椭圆1b
y a x 22
22=+共焦点的二次曲线系方程也可以设为 1k
b y k a x 22
22=-+-（0<b<a ，则a 2>k ≠b 2，k 为参数）。

（二）具有相同离心率的圆锥曲线系
[例3]已知椭圆的离心率是
21，焦点在x 轴上，且被直线2x 2
1y +=截得的弦长为53，求椭圆的标准方程。

解：4
3211e 1a b 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-= ，又其焦点在x 轴上， ∴ 设椭圆方程为().03
y 4x 2
2>=+λλ 即 .012y 4x 322=-+λ
将 2x 21y +=
代入，整理得 .034x 2x 2=-++λ
由韦达定理可知：x 1+x 2=-2,x 1x 2=4-3λ
由弦长公式，有
()212212212x x 4x x k 1x x k 153-+⋅+=-+=
=()()λ344221122---⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=()335-λ
解得4=λ。

故所求椭圆方程为43
y 4x 2
2=+，即.112y 16x 22=+ 说明 应用具有相同离心率的圆锥曲线系方程时，同样要注意其焦点所在的坐标轴及圆 锥曲线的类型。

（三）共渐近线的双曲线系
()0b y a x 2
2
22≠=-λλ 显然，它们的公共渐近线为.0b
y a x 22
22=- [例4]求与双曲线14
y 16x 2
2=-共渐近线且与直线x-y-1=0相切的双曲线方程。

解：设此双曲线方程为,16
4y 16x 22λ=- 由方程组⎩⎨⎧=--=-0
1y x y 4x 22λ
消去x 得3y 2-2y+（λ-1）=0。

由双曲线与直线相切知
.34,0)1(344==-⨯-=λλ∆得 将3
4=λ代入方程组得 所求的双曲线方程为3x 2-12y 2=4。

求轨迹的几种方法
求轨迹方程是解析几何中主要类型题之一，求轨迹的方法通常有：定义法、参数法、交轨法、转化法、待定系数法。

下面我们逐一介绍。

（一）定义法
利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接定出轨迹方程的方法叫做定义法。

[例1]过原点O 的一条直线交圆x 2+(y-1)2=1于点Q ，在直线OQ 上取一点P ，使点P 到直线y=2的距离等于|PQ |，当直线PQ 绕点O 旋转时，求动点P 的轨迹方程。

解：如图所示，设动点P 的坐标为(x,y)，作PD 垂直于直线y=2，垂足为D 。

（1）当点P 不在y 轴上时，
PQ PD =
P D A Rt ∆∴≌PQA Rt ∆
从而∠1=∠2。

又PD ∥OA ，∴∠1=∠3。

从而∠2=∠3。

∴|OP |=|OA |=2。

这时，点P 的轨迹方程为
x 2+y 2=4(x ≠0)。

（2）当点P 在y 轴上时，
∵点Q 与D 重合于点A ，∴y 轴上任一点P 都满足|PD |=|PQ |。

这时，点P 的轨迹方程为x=0。

于是由（1），（2）可知，动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4(x ≠0)或x=0。

（二）参数法
[例2] 已知∠MON =120°，长为32的线段AB 的两段A ，B 分别在OM ，ON 上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程。

分析 中点P 依赖于A ，B 两点，设A ，B 的横坐标为参数，利用|AB |=32消去参数，便可得到P 的轨迹方程。

解：如图所示，以O 为原点，∠MON 的平分线为x 轴的正方向，则射线ON ，OM 的方程分别为)0x (x 3y )0x (x 3y ≥-=≥=和。

设()()
()0x ,0x x 3,x A ),x 3,x (B ,y ,x P 212211>>-，则 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2121x x 23y 2x x x
,32AB = ()(),32x x 3x x 22121=++-∴
即(x 1-x 2)2+3(x 1+x 2)2=12
把式①②代入式③中，得 (),12x 23y 3222
=⋅+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 即 .19y x 2
2=+ 解方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=19y x x 3y 2
2 故动点P 的轨迹方程为 )23x (19y x 22
>=+。

（三）交轨法
当动点P 是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点P 的轨迹方程，可选择适当的参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程，从而解方程组消去参数，便得动点P 的轨①
②
2
3x
0x =>得注意
迹方程。

[例3]如图8—24所示，在直角坐标系xOy 中，已知矩形OABC 的边长|OA |=a ,|OC |=b ，点D 在AO 的延长线上，且|DO |=a ，设M ，N 分别是OC ，BC 边上的动点，且
0NC
BN MC OM ≠=，求直线DM 与AN 的交点P 的轨迹方程。

解 如图所示，点A ，D 的坐标分别为(a,0),(-a,0)。

设)a t 0(t BN <<=，则点N 的坐标为(a-t,b)。

NC
BN MC OM =
， .BC
BN OC OM =∴ 从而 .a bt OC BC BN OM =⋅= ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∴a bt ,0M 的坐标为点。

直线DM 的方程为1bt
ay a x =+- 直线AN 的方程为t a x b y --= 设动点P 的坐标为(x,y)，则从式①②中消去参数t ，得P 的轨迹方程为).0y ,0x (1b y a x 2
2
22>≥=+ （四）代入法
对于已知曲线C:F(x,y)=0上的各点M ，按照某种法则，同一平面上的点P 与它对应，当点M 在曲线C 上移动时，点P 的轨迹是曲线*C ，则称*
C 为C 的伴随曲线。

求伴随曲线*C 的方程一般用代入法。

其步骤如下：设点P ，M 的坐标分别为(x,y),(x 1,y 1)，则F(x 1,y 1)=0。

由点M 与点P 的关系，求得x 1=f(x,y),y 1=g(x,y),然后用代入法，即可得到点P 的轨迹方程为F(f(x,y,),g(x,y))=0。

[例4] 从原点O 作圆(x-2)2+y 2=4的动弦OP ，把OP 延长到M ，使PM 2
1OP =
，求动点M 的轨迹方程。

解 如图所示，设点M ，P 的坐标分别为(x,y),(x 1,y 1)，则 ()4y 2x 2121=+-
.21PM OP ,PM 21OP =∴=
① ②
从而.2
11y
21y ,211x 21x 11+=+= 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==3y y 3x x 11 把式②③代入式①中，得
,43y 23x 2
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 于是，动点M 的轨迹方程为 ().36y 6x 22=+-
（五）待定系数法
当曲线的议程的类型已知时，求这曲线方程的具体表达式，可用待定系数法。

[例5] 求以直线0y 5x 4=+和040y 5x 4=--为渐近线，焦点在直线04y =+上且焦距是414的双曲线方程。

解 如图所示，解方程组
⎩⎨⎧=--=+0
40y 5x 40y 5x 4 得 ⎩
⎨⎧-==4y 5x 即两直线的交点坐标为（5，-4）。

又双曲线的中心为O ’（5，-4）。

由已知条件可设这双曲线的方程为
()())0b ,b a (1b 4y a 5x 2222>>=+-- 为0b
4y a 5x =+±- 即：0)4y (a )5x (b =-±-
结合已知渐近线方程5
4a b = 从而可设).0k (k 4b ,k 5a >==
412c ,414c 2=∴= 。

.2k ,414k 41b a c 2222=∴⨯==+=
于是a =10，b =8。

故所求的双曲线方程为
()().1644y 1005x 2
2
=+--
求最值方法总结
解析几何中的最值涉及代数、三角、几何诸方面的知识，问题复杂，解法灵活。

现把这类问题的解法总结如下：
（一）利用综合几何法求最值
利用平面几何中的极值定理求解最值问题的方法叫做综合几何法。

这种解法如果运用得当，往往显得非常简捷、明快。

[例1]如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是y 轴正方向上给定的两点，试在x 轴正方向上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。

解：如图所示，过A ，B 两点作圆与x 轴正方向相切于点C 。

设C ’是x 轴正方向上异于点C 的任一点，连结BC ，AC ，BC ’，AC ’，则由平面几何知识，易得∠ACB ＞∠AC ’B ，从而点C 即为所求。

设a OA ,b OB ==，则由切割线定理，得
ab OA OB OC 2=⋅=，
ab OC =∴。

即所求的点C 的坐标为()
0,ab 。

（二）利用二次函数的性质求最值
[例2]过点B （0，-b ）作椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+的弦，求这些弦长的最大值。

解：如图所示，设点M(x,y)是椭圆上任一点，则1b
y a x 22
22=+，
即
).b y 1(a x 22
2
2-= 从而
()2
2b y x BM ++=
).b y b (c a c b y b c b by 2y b y a a 22223222222
22
≤≤-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=
于是，（1）若2323c b y ,b 2a ,b c b =≥≤则当即时，|BM |取得最大值c a 2；（2）若b c
b 23
>，即b 2a <，则当y=b 时，|BM |取得最大值
b 2
c a c b b b c 2
222322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--。

（三）利用判别式法求最值
[例3] 过点A （1，4）作一直线在两坐标轴上的截距都为正，且其和为最小，求这直线的方程。

解 设所求的直线为)0b ,0a (1b y a x >>=+，则1b 4a 1=+，从而4b ,4
b b a >-=。

(),
b 3b s 4b ,4b b 3b b 4b b b a s 22-=-∴--=+-=+=
即0s 4b )s 3(b 2
=++-。

∵b 是实数，∴(),0s 16s 32≥-+=∆ 即 ()()01s 9s ≥--。

∵由b ＞4，可知s ＞1,∴s ≥9。

当s=9时，易得b=6,a=3。

即当a=3,b=6时，s 有最小值9。

故所求的直线方程为16
y 3x =+，即 2x+y-6=0。

（四）利用不等式法求最值
例3中，5)4b (4
b 4b 4b b b a s +-+-=+-=+= 04b ,4b >-∴> ().44b 4b 42)4b (4b 4=-⋅-≥-+-∴
s .954s =+≥∴取最小时，
4b 4
b 4-=-，解得6b =。

（以下略） （五）利用三角求最值 例2中，设椭圆上任一点()a ,a sin b ,a cos a M 为参数。

则|BM |()()22b a sin b 0a cos a -+-=
()()2242222
22222222b a a a b b a s i n a b b a a s i n b 2a s i n a b -+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=++--=
0a b ,0b a 22<-∴>>
当0a b b 12
22
<-≤-即b 2a ≥时 取222
a
b b a sin -= 得
c a b
a a BM 2224=-=最大 当1a
b b 222-<-即b 2a b <<时 取1a sin -=得b 2BM =最大
例3中，设直线倾斜角的补角为θ（如图），横纵截距分别为a 、b 由锐角三角函数，则
9tan cot 425=⋅+≥θθ
2tan ,4tan 2-==∴θθ（正值已舍去）
故所求直线方程为：)1x (24y --=-
θθθ
θtan cot 45b a tan 14b cot 41a ++=+⇒⎩
⎨⎧⋅+=+=
解题方法总结：
（1）恰当选择坐标系，以简化计算。

（2）重视圆锥曲线的定义，曲线的几何性质在解题中的作用。

定义是运用数形结合思想方法解题的重要依据，定义解题可简化运算，提高速度。

（3）三种圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线都是“一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比为一个常数”的动点轨迹这一本质属性，因此，在三种圆锥曲线的计算和证明中，当题中涉及到离心率、定点、定直线时，要不失时机地运用统一定义解题。

（4）要判断动点的轨迹，往往需要先求出它的轨迹方程，然后根据方程的结构特点，再确定是何种曲线。

求轨迹方程的主要方法见前一章总结。

在求轨迹方程时要注意根据数形结合，检验轨迹的完备性和纯粹性。

（5）涉及到直线与圆锥曲线的问题，要注意方程思想和转化思想的应用。

（6）求圆锥曲线中的最值问题，一方面注意定义和有关性质的运用，另一方面可考虑转化为一定的函数关系。

然后运用函数求最值的各种方法求解，这里在特别注意代数、三角、平面几何知识的综合灵活应用。

（7）求解有些圆锥曲线综合问题，常常要引入适当的辅助参数。

因此，适当地选择参数，设而不求，可化难为易，减小计算量。

试题选析
如图，已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当4
332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

解法1 如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴。

因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性性C 、D 关于y 轴对称。

依题意，记(),y ,x E ,h ,2c C ),0,c (A 00⎪⎭
⎫
⎝⎛-其中AB 21c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。

由定比分点坐标公式得 ()()λ
λλλλλ+=+-=++-=1h y ,12c 212c c x 00。

设双曲线的方程为1b y a x 2222=-，则离心率a
c e =。

由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a c e =代入双曲线方程得
1b h 4e 2
2
2=-， ① .1b h 1124e 222
22
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλ ② 由①式得14e b
h 2
22-= ③ 将③式代入②式，整理得λλ21)44(4
e 2
+=-， 故2
e 312+-=λ。

由题设4332≤≤λ得， 4
32e 31322≤+-≤。

解得10e 7≤≤。

所以双曲线的离心率的取值范围为]10,7[。

解法2：如图，过C 、E 分别作AB 的垂线，垂足为F 和G ，设CD=c ，则AB =2c ，.2
c 3AF ,2c FB == ∵点C 在双曲线上，∴CA-CB=2a ， 即
.a 2CF c
41CF c 492222=+-+ 解得 22a 4c a
2b CF -=。

其中，a,b 为双曲线的实、虚半轴的长。

在Rt △AFC 中，由勾股定理，得
A G E .a ce 2
1AC ∆ +=
∽AFC ∆ λλ+===∴1AF AG CF EG AC AE ， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=∴a ce 211AE λλ， c 231AG ,a 4c a 2b 1EG 22⋅+=-⋅
+=λλλλ。

在Rt △EGB 中，由勾股定理，得 ()2
22222c 231c 2a 4c a 4b 1EB ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλλλ 又a 2EA EB =- ，
()2
22222c 231c 2a 4c a 4b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴λλλλ .a 2a ce 211=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-λλ 两边同除以a ，并注意到b 2=c 2-a 2， 解得λ
λ-+=121e 2。

以下同解法1。

说明 本题主要考查圆锥曲线的几何性质。

解法2抓住了问题的特征，没有建立坐标系，而应用了双曲线的几何意义。