《切线的性质和判定》PPT赏析(第2课时)

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( C )
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．两人都正确
D．两人都错误
知2－练
2 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一 圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相 切的是( C ) A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)
探究三、切线长定理的运用
命题角度： 1．利用切线长定理计算； 2．利用切线长定理证明．
例3．[2012•绵阳] 如图30－3，PA、PB分 别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交 于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
考点聚焦
归类探究
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，BD⊥AC.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
┃归类探究
解析
在△ABD 和△CBD 中，
∠ADB＝∠CDB， BD＝BD， ∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)．
∴AB＝CB.
∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B，
∴∠ABC＝90°，
知识点 1 切线的判定定理
知1－导
如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？
O
l A
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
知1－讲
例1 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上， BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC是⊙O的切线．
知1－讲
切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的 切线.
知1－练
1 如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA =OB， CA=CB. 直线AB与⊙O具有怎样的位置关系？请说 明理由.
解：AB与⊙O相切，理由如下： 连接OC，因为OA＝OB， CA＝CB，所以△AOB是等 腰三角形，且OC是△AOB 底边上的中线，所以OC⊥AB.又因为直线AB经过半 径OC的外端，所以AB与⊙O相切．
知1－练
2 下列四个命题： ①与圆有公共点的直线是圆的切线； ②垂直于圆的半径的直线是圆的切线； ③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线． 其中是真命题的是( C ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④
知1－练
3 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中， 能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是 ( A) A．∠EAB＝∠C B．∠EAB＝∠BAC C．EF⊥AC D．AC是⊙O的直径
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归类探究
┃归类探究
归类探究
探究一、圆的切线的性质
命题角度： 1．已知圆的切线得出结论； 2．利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．
例1．[2013•株洲] 如图30－1，已知AB是 ⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B， ∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的 延长线交BC于点C. (1)求∠BAC的度数； (2)求证：AD＝CD.
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三
角形_三___条__角___平__分__线____的交点，三角形的内心
到三边的_距___离____相等
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┃考点聚焦
⊙I 内切于△ABC，切点分别为 D、E、F，如图，
则(1)∠BIC＝90°＋12∠BAC； (2)△ABC 三边长分别为 a、b、 c，⊙I 的半径为 r，则有 S△ABC 规律清单 ＝12r(a＋b＋c)； (3)(选学)△ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，则内切圆半 径 r＝a＋b2－c
图30－1
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归类探究
┃归类探究
解 析 (1)由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB＝90°，又由 ∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得 △ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；
(2)由AB＝CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得AD＝ CD.
解析
(1)∵AB 是⊙O 的直径，
条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有 公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错 解为“连半径，证垂直”．
切线的性质和判定
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考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线_垂__直___于__过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过__切__点____； (2)经过切点且垂直于切线的直线必过__圆___心___
知2－练
3 如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作
∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作 圆，与射线BD交于点E，F.有下列结论：①△ABC是直 角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄 金分割点；④tan ∠CDF＝2.
其中正确的结论有( A )
A．4个
解 析 (1)连接 OB，∵弦 AB⊥OC， 劣弧 AB 的度数为 120°， ∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB， ∴△OBC 是正三角形，∴BC＝OC＝2. (2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°. ∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°， ∴OB⊥BP.∵点 B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．
∴∠BAC＝∠C＝45°.
(2)证明：∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD.
方法点析 “圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接
切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的
常用方法．
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探究二、圆的切线的判定方法
命题角度： 1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这 条直线是圆的切线； 2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径， 判定这条直线是圆的切线．
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例 2、[2013·湖州] 如图 30－2 所示，已知 P 是⊙O 外一点，PO 交
︵
⊙O 于点 C，OC＝CP＝2，弦 AB⊥OC，劣弧AB的度数为 120°，连接 PB.
(1)求 BC 的长； (2)求证：PB 是⊙O 的切线．
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图 30－2
归类探究
┃归类探究
(1)PA＝PB；
(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝ ∠CAP＝∠CBP
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归类探究
┃考点聚焦 考点3 三角形的内切圆
三角形的 内切圆
三角形 的内心
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这
个三角形叫圆的外切三角形 PPT模板：素材： PPT背景：图表： PPT下载：教程： 资料下载：范文下载： 试卷下载：教案下载： PPT论坛：课件： 语文课件：数学课件： 英语课件：美术课件： 科学课件：物理课件： 化学课件：生物课件： 地理课件：历史课件：
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长
切线长 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长__相__等____，圆心
定理
和这一点的连线__平___分___两条切线的夹角
如图所示，点P是⊙O外一点， PA、PB切⊙O于点A、B，AB 交PO于点C，则有如下结论： 基本图形
第二十九章 直线与圆的位置关系
切线的性质和判定
第2课时
1 课堂讲解 切线的判定定理
切线的性质和判定的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知
1.直线和圆有哪些位置关系？ 相交、相切、相离
2.切线的性质是什么？ 性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：如图所示， ∵直线l切☉O于T，∴OT⊥l.
知2－练
1 如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两
人想作一条过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下：
甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，
交⊙O于B点，则直线BP即为所求．
乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为
圆心，OP为半径画弧，交射线AM于
点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．
知1－练
6 如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是 BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结 论中正确的个数是( D )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ 1 AC；④DE是⊙O的切线．
2
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 2 切线的性质和判定的应用
知2－导
例2 [中考·湖州]如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于 点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE. (1)若AD＝DB，OC＝5， 求切线AC的长； (2)求证：DE是⊙O的切线．
知1－练
4 如图所示，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C， 点B是优弧CA上一点，若∠P＝26°，则∠ABC的 度数为( C ) A．26° B．64° C．32° D．90°
知1－练
5 如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相 切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知 PC＝PD＝BC.下列结论： ①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形； ③PO＝AB；④∠PDB＝120°. 其中，正确的有( A ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B．3个
C．2个
D．1个
1 知识小结
切
线
↗的
判
圆
定
的
切
线
↘切 线 的
性
质
↗ → ↘ ↗ → ↘
定义法 数量法d=r 判定定理
切线和圆只有一个公共点 圆心到切线的距离等于半径 圆的切线垂直于过切点的半径
2 易错小结
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心 的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
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归类探究
┃归类探究
方法点析 在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要 想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知 直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直 于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直 线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
考点聚焦
归类探究
┃归类探究
易错点：判定直线与圆相切时理由不充分.
证明：如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B. ∵PN与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PN. ∵点O在∠MPN的平分线上， OB⊥PM， ∴OB＝OA. ∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径． ∴PM为⊙O的切线．
易错总结： 利用切线的判定定理需满足两个条件： (1)经过半径外端， (2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一
知2－讲
导引：(1)已知BC是⊙O的直径，可连接CD，构造直径 所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；
(2)要证DE是⊙O的切线，而点D在圆上，可联想 到连接OD，设法证DE⊥OD即可．
解：(1) 连接CD，如图. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∵AD＝DB， ∴AC＝BC＝2OC＝10.
图30－3
┃归类探究
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由 圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
切线的判定
(1)和圆有__惟___一___公共点的直线是圆的切线； (2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的__半___径___，那么
这条直线是圆的切线；
(3)经过半径的外端并且_垂__直___于__这条半径的直线是圆的
切线
常添辅助线
连接圆心和切点
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归类探究
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考点2 切线长及切线长定理
知2－讲
知2－讲
证明：(2) 连接OD，如图.
∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DE＝EC＝
1 2
AC，∴∠1＝∠2，
∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，
∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
总结
知2－讲
看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径 就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定， 就想到： ①有切点，连半径，证垂直； ②无切点，作垂线，证相等．
导引：因为点C在圆上，所以连接OC， 证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD， 只需证△OCD为直角三角形．
知1－讲
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴BC＝ 1 AB＝OB.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝
1
OD，
2
∴∠OCD＝90°.
∴DC是⊙O的切线．