高中数学三角函数1.3三角函数的诱导公式教学案新人教版

1.3 三角函数的诱导公式
第1课时诱导公式二、三、四
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P23～P26的内容，回答下列问题．
(1)给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π＋α的终边与α的终边关于原点对称，sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．
(2)给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．
(3)给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：－α的终边与角α的终边关于x轴对称，sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．
2．归纳总结，核心必记
(1)特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
(2)诱导公式
(3)公式一～四的应用
记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值．
[问题思考]
(1)诱导公式一、二、三、四中的角α有什么限制条件？
提示：sin(α＋2k π)，sin(π±α)，sin(－α)，cos(α＋2k π)，cos(π±α)，cos(－α)公式中的α∈R ；而tan(α＋2k π)，tan(π±α)，tan(－α)中的α≠π
2
＋k π，k ∈Z ．
(2)在△ABC 中，你认为sin A 与sin(B ＋C ) ，cos A 与cos(B ＋C )之间有什么关系？ 提示：∵A ＋B ＋C ＝π，即B ＋C ＝π－A ， 故sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， cos A ＝cos[π－(B ＋C )]＝－cos(B ＋C )．
[课前反思]
(1)π＋α，－α，π－α的终边与α终边的关系： ；
(2)诱导公式一、二、三、四的内容： ；
(3)公式一～四的应用： ．
讲一讲
1．求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°； (3)cos 119π
6
.
[尝试解答] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin (3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－
32
. (2)tan 945°＝tan (2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝cos π6＝32.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
1．求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值． 解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°
＝sin(360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°) ＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°
＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45° ＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45° ＝
22×32－32×12－1＝6－3－4
4
.
讲一讲
2．(1)化简：cos （－α）tan （7π＋α）
sin （π－α）＝________；
(2)化简sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）
cos （－180°－α）·sin （－α－180°）＝________．
[尝试解答]
(1)
cos （－α）tan （7π＋α）sin （π－α）＝cos αtan （π＋α）
sin α
＝
cos α·tan αsin α＝sin α
sin α
＝1.
(2)原式＝sin （4×360°＋α）·cos （3×360°－α）cos （180°＋α）·[－sin （180°＋α）]
＝
sin α·cos （－α）（－cos α）·sin α＝cos α
－cos α
＝－1.
答案：(1)1 (2)－1
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． 练一练
2．化简：sin[（k ＋1）π＋θ]·cos[（k ＋1）π－θ]sin （k π－θ）·cos （k π＋θ）(k ∈Z )．
解：当k 为奇数时，不妨设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，
则原式＝sin[（2n ＋2）π＋θ]·cos[（2n ＋2）π－θ]
sin （2n π＋π－θ）·cos （2n π＋π＋θ）
＝sin θ·cos θ
sin （π－θ）·cos （π＋θ）
＝
sin θ·cos θ
sin θ·（－cos θ）
＝－1；
当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，
则原式＝sin[（2n ＋1）π＋θ]·cos[（2n ＋1）π－θ]
sin （2n π－θ）·cos （2n π＋θ）
＝sin （π＋θ）·cos （π－θ）
sin （－θ）·cos θ
＝
－sin θ·（－cos θ）
－sin θ·cos θ
＝－1.
综上，sin[（k ＋1）π＋θ]·cos[（k ＋1）π－θ]sin （k π－θ）·cos （k π＋θ）
＝－1.
讲一讲
3．(1)已知sin β＝1
3，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A ．1
B ．－1 C.13 D ．－1
3
(2)已知cos(α－55°)＝－1
3，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________．
[尝试解答] (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－1
3.
(2)∵cos(α－55°)＝－1
3＜0，且α是第四象限角．
∴α－55°是第三象限角．
∴sin(α－55°)＝－1－cos 2
（α－55°）＝－223.
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] ＝－sin(α－55°)＝22
3.
答案：(1)D (2)22
3
解决此类问题的方法是先根据所给等式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选择恰当的三角公式化简求值．
练一练
3．(1)若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(π－α)等于( )
A ．－12
B ．－32
C ．－ 3 D.3
3
(2)已知α为第二象限角，且sin α＝3
5，则tan(π＋α)的值是( )
A.43
B.34 C ．－43 D ．－34
解：(1)因为sin(π＋α)＝－sin α， 根据条件得sin α＝－12
，
又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos α＝ 1－sin 2
α＝32.
所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－3
3.
所以tan(π－α)＝－tan α＝
3
3
. (2)因为sin α＝3
5且α为第二象限角，
所以cos α＝－1－sin 2
α＝－45，
所以tan α＝sin αcos α＝－3
4
.
所以 tan(π＋α)＝tan α＝－3
4.故选D.
答案：(1)D (2)D
——————————————[课堂归纳·感悟提
升]———————————————
1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)解决给角求值问题，见讲1； (2)解决化简求值问题，见讲2； (3)解决给值(式)求值问题，见讲3. 3．本节课要牢记诱导公式的内容
(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f (π＋α)＝±f (α)，f (－α)＝±f (α)，f (π－α)＝±f (α)，其中等号右边的“±”号只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如sin(π＋α)＝－sin α，就是正弦函数名不改变，而α是锐角，则π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“－”．
(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角α的，如果α为其他范围的角也都成立，这就是说，使用这些诱导公式，不必限定α为锐角，但是用口诀“函数名不变，符号看象限”时，都把α看作锐角记忆，即便α不是锐角，上述公式也全部成立．
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题 1．cos 300°等于( ) A ．－
32 B ．－12 C.12 D.32
解析：选C cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝12.
2.cos （－585°）
sin 495°＋sin （－570°）的值等于________．
解
析
：
原
式
＝
cos （360°＋225°）
sin （360°＋135°）－sin （360°＋210°）
＝
cos （180°＋45°）
sin （180°－45°）－sin （180°＋30°）＝－22
22＋1
2
＝2－2.
答案：2－2 题组2 化简求值问题
3．sin 2
(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2
α C ．0 D ．2
解析：选D 原式＝(－sin α)2
－(－cos α)cos α＋1＝sin 2
α＋cos 2
α＋1＝2. 4.2＋2sin （2π－θ）－cos 2（π＋θ）可化简为________． 解析：2＋2sin （2π－θ）－cos 2
（π＋θ） ＝2＋2sin （－θ）－cos 2
θ
＝1－2sin θ＋sin 2
θ＝|1－sin θ|＝1－sin θ. 答案：1－sin θ
5．化简：tan （2π－θ）sin （2π－θ）cos （6π－θ）
（－cos θ）sin （5π＋θ）
.
解：原式＝tan （－θ）sin （－θ）cos （－θ）（－cos θ）sin （π＋θ）＝tan θsin θcos θ
cos θsin θ＝tan θ.
题组3 给值(式)求值问题
6．已知sin(π＋α)＝4
5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A ．－35 B.35 C ．±35 D.45
解析：选B 由sin(π＋α)＝45，得sin α＝－4
5，而cos(α－2π)＝cos α，且α
是第四象限角，
∴cos α＝1－sin 2
α＝35
.
7．已知cos(508°－α)＝12
13，则cos(212°＋α)＝________．
解析：由于cos ()508°－α
＝cos(360°＋148°－α
)＝cos(148°－α)＝12
13
，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213
. 答案：1213
8．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，求cos （－α－π）·sin （2π＋α）
cos （－α）·cos （π＋α）的值．
解：∵－π
2＜α＜0，
∴sin α＝－1－cos 2
α＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝－223. 原式＝－cos α·sin αcos α·（－cos α）＝sin αcos α＝－22
3
×3＝－2 2.
[能力提升综合练]
1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－
55，255，
则cos(π－θ)的值为( )
A ．－255
B ．－5
5
C.
55 D.255
解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－5
5
， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝
55
. 2．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.
1－k
2
k
B ．－
1－k
2
k
C.
k
1－k2
D.
k
1－k2
解析：选B ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝1－k2，∴tan 80°
＝1－k2
k
，∴tan 100°＝－tan 80°＝－
1－k2
k
.
3．已知tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
3
－α＝
1
3
，则tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
2π
3
＋α＝( )
A.
1
3
B．－
1
3
C.
23
3
D．－
23
3
解析：选B ∵tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
2π
3
＋α＝tan
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
π－⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
3
－α
＝－tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
3
－α，
∴tan
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
2π
3
＋α＝－
1
3
.
4．若α∈
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
2
，
3π
2
，tan(α－7π)＝－
3
4
，则sin α＋cos α的值为( )
A．±
1
5
B．－
1
5
C.
1
5
D．－
7
5
解析：选B ∵tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α，
∴tan α＝－
3
4
，∴
sin α
cos α
＝－
3
4
，
∵cos2α＋sin2α＝1，α∈⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
2
，
3π
2
，
∴cos α＝－
4
5
，sin α＝
3
5
，∴sin α＋cos α＝－
1
5
.
5．设函数f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，
且满足f(2 016)＝－1，则f(2 017)的值为________．
解析：∵f(2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝－1，∴f(2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)
＝a sin[π＋(2 016π＋α)]＋b cos[π＋(2 016π＋β)]
＝－[a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)]＝1.
答案：1
6．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧sin πx （x ＜0），f （x －1）－1（x ＞0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．
解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56－1＝
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6
－2＝－1
2－2＝－52
.
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫116＝－2. 答案：－2 7．化简：1＋2sin 280°·cos 440°
sin 260°＋cos 800°
.
解：原式＝
1＋2sin （360°－80°）·cos （360°＋80°）
sin （180°＋80°）＋cos （720°＋80°）
＝
1－2sin 80°·cos 80°
－sin 80°＋cos 80°
＝sin 2
80°＋cos 2
80°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°
＝（sin 80°－cos 80°）2
－sin 80°＋cos 80°
＝|cos 80°－sin 80°|
cos 80°－sin 80°
＝
sin 80°－cos 80°
cos 80°－sin 80°
＝－1.
8．已知1＋tan （θ＋720°）1－tan （θ－360°）＝3＋22，求：[cos 2
(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π
－θ)＋2sin 2
(θ－π)]·1cos 2（－θ－2π）
的值．
解：由1＋tan （θ＋720°）1－tan （θ－360°）＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝
2＋224＋22
＝22
， 故[cos 2
(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2
(θ－π)]·1
cos 2
（－θ－2π）
＝(cos 2
θ＋
sin θcos θ＋2sin 2
θ)·1cos 2
θ＝1＋tan θ＋2tan 2
θ＝1＋22＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝2＋22. 第2课时 诱导公式五、六
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题．
如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线
y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.
(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．
(2)π
2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关
系？
提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝sin_α． 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六
(2)诱导公式的记忆
诱导公式一～六可归纳为k ·π
2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π
2
±α中的整数k 来讲的．
③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π
2±α所在的象限，根据“一全正，
二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
[问题思考]
(1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．
(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C
2的三角函数值满足哪些等量关系？
提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C
2，
∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－
B ＋
C 2＝cos B ＋C 2，
cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
－B ＋C 2＝sin B ＋C 2．
[课前反思]
(1)诱导公式五： ； (2)诱导公式六： ．
讲一讲
1．已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.
(1)化简f (α)；
(2)若α为第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；
(3)若α＝－31π
3
，求f (α)的值．
[尝试解答] (1)f (α)＝
sin αcos α()
－sin α
sin αsin α＝－cos α.
(2)∵cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，
∴sin α＝－1
5，
又∵α为第三象限角，
∴cos α＝－1－sin 2
α＝－265，
∴f (α)＝26
5
.
(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.
三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练
1．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－α·tan 2
（2π－α）
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos 2
()π－α.
解：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan 2
（2π－α）
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos 2
（π－α）
＝cos α·（－cos α）·tan 2
αsin α·（－sin α）·cos 2α＝tan 2
αsin 2α＝1
cos 2
α
.
讲一讲
2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m
2
m
B.1－m 2
C ．－1－m 2
m
D ．－1－m 2
(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α的值为________．
[尝试解答] (1)sin 239°tan 149° ＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°) ＝sin 31°＝1－cos 2
31°＝1－m 2
. (2)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
－α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－α＝12.
答案：(1)B (2)1
2
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 练一练
2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2＋α
的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－1
2，
∴cos α＝1
2
，
∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α
＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝－32；
②若α为第四象限角， 则cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α
＝1－cos 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝32.
讲一讲
3．求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋α＝－tan α.
[尝试解答] 左边＝tan （－α）sin （－α） cos （－α）
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝
（－tan α）（－sin α）cos α
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝
sin 2
α
－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α
＝sin 2
α－cos αsin α＝－sin α
cos α＝－tan α＝右边． 即原等式成立．
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
练一练
3．求证：
sin （2π－θ）cos （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫11π2－θcos （π－θ）sin （3π－θ）sin （－π－θ）sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫9π2＋θ
＝－tan θ.
证明：
sin （2π－θ）cos （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π2－θcos （π－θ）sin （3π－θ）sin （－π－θ）sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫9π
2
＋θ
＝
－sin θ·（－cos θ）·（－sin θ）·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ
＝
sin θ·cos θ·sin θ·sin θ
－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ
＝－tan θ.
——————————————[课堂归纳·感悟提
升]———————————————
1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用
(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3.
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧
π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝
π
2
，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6＋α－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3＋α＝
π
2等
．
课下能力提升(七) [学业水平达标练]
题组1 化简求值
1．下列与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2的值相等的式子为( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ B ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ C ．cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2－θ D ．sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2＋θ
解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ＝－cos θ， 对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ；
对于B ，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ＝－sin θ； 对于C ，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ＝－sin θ； 对于D ，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ
＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ＝－cos θ. 2．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝________．
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝
sin α·(－sin α)＝－sin 2
α.
答案：－sin 2
α
3．化简：1tan 2（－α）＋1
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2·tan （π＋α）
.
解：∵tan(－α)＝－tan α，sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2
－α
＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α， tan(π＋α)＝tan α，
∴原式＝1tan 2α＋1cos α·（－sin α）·tan α＝1sin 2αcos 2α＋1－sin 2α＝cos 2
α－1
sin 2
α
＝－sin 2
α
sin 2
α
＝－1. 题组2 条件求值问题
4．已知tan θ＝2，则
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
－θ－sin （π－θ）等于( )
A ．2
B ．－2
C ．0 D.2
3
解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝2
1－tan θ＝－2.
5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－23m B.23m
C ．－32m D.32
m
解析：选C ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.
∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3×m 2＝－32m .
6．已知cos(60°＋α)＝1
3，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为( )
A ．－223 B.223
C ．－
23 D.23
解析：选A 由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°，又cos(60°＋α)＝1
3＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°
－α＜180°，cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2
（60°＋α）＝ －
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝－223. 7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝4
5，则sin(α－95°)＝________．
解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝4
5＞0，
知85°＋α是第四象限角， ∴sin(85°＋α)＝－3
5
，
sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝3
5
.
答案：35
8．已知sin α是方程3x 2
－10x －8＝0的根，且α
为第三象限角，求
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－α·tan 2
（2π－α）·tan （π－α）
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α的值．
解：∵方程3x 2
－10x －8＝0的两根为x 1＝4或x 2＝－23，
又∵－1≤sin α≤1，∴sin α＝－2
3.
又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2
α＝－
53，tan α＝255
. ∴原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2
α·（－tan α）
sin α·（－sin α）
＝tan α＝25
5
.
题组3 三角恒等式的证明
9．求证：tan （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2－αcos （6π－α）
tan （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝1.
证明：左边＝tan （－α）⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （－α）
（－tan α）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α
＝
（－tan α）（－sin α）cos α
（－tan α）（－cos α）sin α
＝1＝右边．∴原式成立．
10．求证：cos （π－θ）
cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋
cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π
2＋θ
＝
2
sin 2
θ
. 证明：左边＝
－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝1
1＋cos θ
＋
11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ（1＋cos θ）（1－cos θ）＝21－cos 2θ＝2
sin 2
θ
＝右边．∴原式成立． [能力提升综合练]
1．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A 等于( ) A ．－12 B.1
2
C ．－
32 D.32
解析：选B cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，
∴cos A ＝1
2
，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α的值为( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－
24 D.2
4
解析：选A 由已知得，cos α＝13
，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0， 所以sin α＝－1－cos 2
α＝－1－19＝－223
. 因此，tan α＝sin α
cos α
＝－2 2.
3．已知sin(75°＋α)＝1
3，则cos(15°－α)的值为( )
A ．－13 B.13
C ．－223 D.223
解析：选B ∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°， ∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)] ＝sin(75°＋α)＝1
3
.
4．在△ABC 中，下列各表达式为常数的是( ) A ．sin(A ＋B )＋sin C B ．cos(B ＋C )－cos A C ．sin
2
A ＋B
2＋sin 2C 2 D ．sin A ＋B 2sin C 2
解析：选C sin
2
A ＋B
2＋sin 2
C
2
＝sin
2
π－C 2＋sin 2C 2＝cos 2C 2＋sin 2C 2
＝1.
5．sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
3°＋…＋sin 2
89°＝________．
解析：将sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
3°＋…＋sin 2
89°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin 2
45°＝12
，
则sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 2
89°＝892.
答案：892
6．已知tan ()3π＋α
＝2，
则
sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
＋α
－sin （－α）＋cos （π＋α）
＝________．
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin （α－π）－cos α＋cos α＋2sin α
sin α－cos α
＝
－sin α＋2sin αsin α－cos α ＝
sin αsin α－cos α ＝tan αtan α－1＝22－1
＝2. 答案：2
7．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α
是第三象限角，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2
(π－α)的值． 解：原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2
α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α
cos α·tan 2α ＝－cos αsin αsin αcos α
·tan 2α＝－tan 2α. 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35
，x 2＝2， 又α是第三象限角，
∴sin α＝－35，cos α＝－45
， ∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916
. 8．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②
由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2
α＝2.
∴sin 2α＝12，
∴sin α＝±22
. ∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，cos β＝32
， ∵0＜β＜π，
∴β＝π6
； 当α＝－π4时，cos β＝32
， ∵0＜β＜π，
∴β＝π6
，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6
满足条件．。