广东省汕头市金山中学2018届高三上学期开学摸底考试(8月)_数学(文)_Word版含答案

高三第一学期文科数学摸底考试
命题：袁明星
—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z=1-i,则对应的点所在的象限为
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象跟
D.第四象限
2. 若集合，
，则所
含的元素个数为
A. O
B. 1
C. 2
D. 3
3. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”
的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是
A. 1,2,3,4,5,6
B. 6，16，26，36，46，56
C. 1,2，4，8，16，32
D. 3,9,13 ,27,36,54
4 已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为
3x4y=0,则该双曲线的标准方程为A. B.
C.
D.
5.设l、m是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：
①l//m,m a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m
③a丄β，l a，则
l丄β④l丄a，m丄a,则l//m
其中正确的命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右
图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是
A．6 B．10
C．91 D．92
7. 已知等比数列{a n}，且a4+a8=-2,则
a6(a2+2a6+a10）的值
为
A. 4
B. 6
C. 8
D. -9
8. 设曲线上任一点
处切线斜率为
，则函数
的部分图象可以为
9.巳知点(x,y)在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,
)是使得z=ax-y取得最大值的最优解,则实数a 的取值范围为
A. B.
C.
D.
10. 已知函数，下面说法正确的是
A.函数的周期为
B.函数图象的一条对称轴方程为
C.函数在区间上为减函数
D函数是偶函数
11. 已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,
则此三棱锥的外接球的表面积为
A 4πB, 12π
C. D.
12.已知函数
，若存在实数使得不等式
成立，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a
13.已知向量，
,且∥
，则实数的值是____
14.若，则
=________
15. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P引圆
的切线，则此切线段的长度为_______
16.已知分别是椭圆
的左、右焦点,是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点
作的角平分线交轴于点
，若，
则该椭圆的离心率为
三、解答题: 本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. (本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求角C的大小；
（2）若bsin（π﹣A）= acosB，且，
求△ABC的面积．
18. (本小题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，
BC=CD=AD= 1，PA⊥平面ABCD，PA=2AD，E是线段PD上的点，设PE=λPD，F是BC上的点，且AF∥CD
（Ⅰ）若λ=，求证：PB∥平面AEF
（Ⅱ）三棱锥P﹣AEF的体积为时，求λ的值．
19. (本小题满分12分）
已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每
吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为
下一个销售季度筹备了吨该商品．现以
（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该
电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量
的平均数与中位数的
大小；
（结果精确到小数后1位）
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.
20. (本小題满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线交椭圆于A,B两点.
(I)若ΔABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；
(II)若椭圆的离心率满足
,为坐标原点，求证：
为钝角.
（可供参考：）
21 (本小题满分14分）
已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）
（1）求函数h（x）=f（x）g（x）的极值；
（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤ kx+m ≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．
请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极
点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为: (I)求曲线的直角坐标方程；
(II)若直线的参数方程为
（t为参数），直线
与曲线
相交于A、B两点，求|AB|的值。

23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).
(I)当a=1时，解不等式f(x )>3;
(II)不等式在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围。

高三第一学期文科数学摸底考试
（数学文科答案）
一、选择题
1-5 DCBCA 6-10 BADAB 11-12 DA
二、填空题
13．1
2 14．36
35
15.
6
2 16 .2
2
三、解答题
17.解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，
可得：2acsinB=2abcosC．
由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴2sinC=cosC，
即tanC=，
∵0＜C＜π，
∴C=．
（2）由bsin（π﹣A）=acosB，
∴sinBsinA=sinAcosB，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴sinB=cosB，
∴，
根据正弦定理，可得，
解得c=1
∴
18．解：（Ⅰ）证明：如图，
∵AD∥BC，AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，则CF=AD=1，∵BC=3，∴BF=2，
连接BD，交AF于G，则△AGD∽△FGB，
∴．
连接GE，∵PE=PD，∴，
∴，则EG∥PB．
∵EG⊂平面AEF，PB⊄平面AEF，
∴PB∥平面AEF；
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AF，
由（Ⅰ）知AF∥CD，又CD⊥AD，
∴AF⊥AD，而PA∩AD=A，
∴AF⊥平面PAD．
∵PA=2AD=2，∴，
=λ，
∵PE=λPD，∴S
△PAE
又AF=CD=2，
∴
，得．
19.解：（Ⅰ）估计一个销售季度内市场需求量的平均数为
（吨）
设所求中位数为k ，由直方图建立方程：
0.01100.0210(120)0.030.5k ⨯+⨯+-⨯=
解得 20
120126.73
k =+
≈ 即估计一个销售季度内市场需求量的中位数为126.7。

（Ⅱ）当时，；
当时，
， 所以，
根据频率分布直方图及（Ⅰ）知， 当时，由，得
，
当
时，由
，
所以，利润不少于
万元当且仅当
， 于是由频率分布直方图可知市场需求量
的频率为
所以下一个销售季度内的利润不少于57万元的概率的估计值为
20. 解：（Ⅰ）因为2ABF ∆为正三角形，所以22AF BF =
∴AB x ⊥轴
2122,2b AB F F a =
=Q 且有123
2AB F F =，所以 2
32b = 化为 2
3230a a --= 解得 3a =
2b ∴=
故椭圆的标准方程为 22
132
x y += ………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为510e -<<
，1c =，所以15
a +>…………6分 ①当直线AB 与x 轴垂直时， 由（Ⅰ）此时椭圆离心率351
e -=
<
且有(1,
),(1,)33
A B --- ，所以1
03
OA OB ⋅=-<u u u r u u u r
AOB ∴∠为钝角.………………………8分
②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22
221x y a b
+=，
整理得：
2222222222
()20b a k x k a x a k a b +++-=，
2212222
2a k x x b a k -+=+，2222
122
22a k a b x x b a k -=+
1212
OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r
212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++
22222242222222()(1)2()a k a b k a k k b a k b a k -+-++=
+ 2222222
222()k a b a b a b b a k +--=
+
24222
222(31)k a a a b b a k -+--=
+………………10分
令42
()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <，
AOB ∴∠恒为钝角.………………12分
21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2alnx ，x ＞0
所以 h ′（x ）=
当a ≤0，h ′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值， 当a ＞0时，由h ′（x ）＞0，即x 2
﹣a ＞0，解得：a ＞
或x ＜﹣
，（舍去）
由h ′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x ＜
，
∴h （x ）在（0，
）单调递减，在（
，+∞）单调递增， ∴h （x ）的极小值为h （）=a ﹣2aln
=a ﹣alna ，无极大值；
（2）当a=e 时，由（1）知
min ()h x = h （
）=h （）=e ﹣elne=0
∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x=时，取等号；
以（(,1)e e +为公共切点，
Q f ′（
）=g ′（
）2e =
所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程y=2
x+1﹣e ，
构造函数 2()()(21)()h x f x ex e x e =--+=，显然()0h x ≥
21()ex e f x ∴+-≤
构造函数 ()(21)()22ln k x ex e g x ex e x e =+--=-- (0)x >
()x e
k x e x
-'=Q 由()0k x '> 解得 x e >
()0k x '< 解得 0x e <<
所以()k x 在e 上递减，在,)e +∞上递增
min ()()0k x k e ∴==，即有(21)()ex e g x +-≥
从而 ()1()g x ex e f x ≤+-≤，此时,1k e m e ==-
22.解：(Ⅰ)依题意
22sin cos ρθρθ=………………3分 cos ,sin x y ρθρθ==Q -----------4分
得直角坐标系下曲线C 的方程：2
y x = …………………5分
(Ⅱ)把22222
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入2
y x =整理得：
0422=-+t t ………………7分
0>∆总成立，
221-=+t t ，421-=t t
2
3)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分
另解：
(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入
x y =2
得： 0452=+-x x ………………7分
0>∆总成立，521=+x x ，421=x x
23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分
23. 解：(Ⅰ)⎩
⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37
>x
⎩
⎨
⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x
⎩
⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17
(,)(,)
33-∞+∞U ………………5分
(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪
⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a
x a x a
x a x x a x x f ,2232,222,223)(；
时，2=a 36,2
()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨
->⎩；
时，2<a ⎪⎩⎪
⎨⎧≥--<<+-≤++-=2
,2232
,22,223)(x a x x a a x a
x a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分
则⎩
⎨
⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。