2016届高考数学文科一轮复习课件2-6对数与对数函数

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考点探究
解析：(1)据已知得 x＋1＞0，解得 x＞－1，即函数的定
义域为(－1，＋∞)，故选 C.
(2)若要函数的值域为 R，则其真数 f(x)＝x2＋3kx＋k2＋5 必
栏 目
须取到所有正实数，故该二次三项式的判别式Δ＝9k2－4(k2
链 接
＋5)≥0，即 k2≥4，解得 k≤－2 或 k≥2.
形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运
算法则和换底公式、对数恒等式进行运算．
栏
(2)ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问
目 链
题的有效方法，在运算中要注意互化．
接
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考点探究
解析：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2
目
考点探究
链 接
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考点探究
考点1 对数的化简与求值
【例1】 求解下列各题：
(1)计算：(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25；
栏
(2)计算：(log2125＋log425＋log85)×(log52＋log254＋log1258)；
目
链
(3)计算：
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课前自修
基础自测
1．log29×log34＝( D )
1
1
A.4
B.2
栏
C．2
D．4
目 链
解析：方法一 由换底公式，得
接
log29×log34＝llgg 92×llgg 43＝2llgg23×2llgg32＝4. 方法二 log29×log34＝log232×log322＝2log23×2log32＝4.
∴所以原函数的定义域为：(1，2)∪(2，＋∞)．故选 B.
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课前自修
3．(2014·天津卷)设 a＝log2π，b＝log1π，c＝π－2，则( C )
2
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
栏
目
链
解析：b＝log1π＜0，0＜c＝π－2＜1，a＝log2π＞1，故 a＞c
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课前自修
2．函数 y＝ x＋lg（x1－1）的定义域为( B )
A．(1，＋∞)
B．(1，2)∪(2，＋∞)
C．[0，1)
栏 目
D．(0，＋∞)
链
解析：由题意知xx≥ －01， ＞0，
即xx≥ ＞01， ，∴1＜x＜2 或 x＞2， 接
lg（x－1）≠0， x≠2.
，然后在每一类中比较大小．
接
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考点探究
解析：∵0<a<b<1，
由对数函数的性质可知 0<logab<1，logba>logbb＝1.
∵logb1a＝log1a1b＝－log1ab， ∴log1a<0，且|log1a|>1.
栏 目
b
b
链
又 log1ab＝llooggaa1ba＝－logab，
接
2
＞b，故选 C.
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课前自修
4．(2014·陕西卷)已知 4a＝2，lg x＝a，则 x＝____________．
栏
解析：由于
4a＝22a＝2，解得
a＝12，故
lg
x＝12，解得
1 x＝102＝
10.
目 链
接
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栏
链 接
(3)原式＝
（lg 3）2－2lg 3＋1×23lg 3＋3lg 2－32 （lg 3－1）× （lg 3＋2lg 2－1）
＝（（1－lgl3g－3 1））××23（（lglg3＋3＋2l2glg2－2－1）1）＝－32.
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考点探究
(4)由题意可知 3b＝7，∴log37＝b.
接
（lg 3）2－lg 9＋1× （lg 27＋lg 8－lg lg 0.3×lg 1.2
1 000）；
(4)已知log23＝a，3b＝7.求log3 72 21的值． 自主解答：
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考点探究
点评：在对数运算中，要注意以下几个问题：
(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变
栏
C．c＝ad D．d＝a＋c
目
(2)(2014·福建卷)若函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象如下图所
链 接
示，则下列函数图象正确的是( B )
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考点探究
解析：(1)依题意得 5a＝b，10c＝b，则 5a＝10c＝(5d)c＝5cd，
得 a＝cd，故选 B.
考点探究
变式探究
3．(1)函数 f(x)＝ln(1＋x)定义域为( C )
A．(－∞，－1) B．(－∞，1)
栏
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
目
(2)函数 y＝lg(x2＋3kx＋k2＋5)的值域为 R，则 k 的取
链 接
值范围是_(_－__∞_，__－__2_]_∪__[2_，__＋__∞_)_____．
对 数 ， log10x 记 作 lgx ； 以 无 理 数 e 为 底 的 对 数 叫 做 自 然 对 数 ， logex记作ln x，其中e＝2.718….
栏 目 链 接
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课前自修
二、对数函数的定义、图象与性质
1．定义：形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数．
(2)由 y＝logax 的图象可知 a＞1，因为 loga3＝1，故 a＝3，y
栏
＝3－x 是单调递减的函数，故 A 错误；y＝(－x)3 为减函数，故
目
C 错误；y＝log3(－x)的图象不过点(－3，－1)，故 D 错误，
链 接
故选 B.
点评：函数的图象问题可以从特殊点、单调性、奇偶性、
最值、极值状态等条件入手判断．
课前自修
基础回顾
一、对数
1．对数的定义：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么幂指数b叫做以a为底N
的对数，记作logaN＝b.其中a叫做底数，N 叫做真数．
栏
2．指数式与对数式的互化：ab＝N logaN＝b.
目 链
3．对数的运算法则．
接
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，有
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
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考点探究
考点4 利用对数函数的单调性解决对数方程、不 等式问题
【例4】 解答下列问题：
(1)设函数f(x)＝
栏 目
链
(3)由换底公式可推出如下结论：
接
①logab＝log1ba；②logaM＝loganMn；
③logab·logba＝1；④logab·logbc·logca＝1；
⑤logambn＝mn logab.
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课前自修 5．常用对数与自然对数：以10为底的对数，叫做常用
接
∴log1b<0，且|log1b|<1.
a
a
∴logba>logab>log1b>log1a. ab
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考点探究
变式探究
2．(1)(2014·四川卷)已知 b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则
下列等式一定成立的是( B )
A．d＝ac
B．a＝cd
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考点探究
考点2 对数函数的图象特征、单调性的运用
【例 2】 (1)若 0<a<b<1，试确定 logab，logba，log1a，log1b 的大
b
a
小关系．
栏
目
(2)(2014·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝ 链
logax 的图象可能是( )
4
327＋lg
25＋2lg
2＋eln
15 2＝____4____．
栏
(2)若 2a＝5b＝10，则1a＋b1＝____1____．
目 链
4 解析：(1)log3 327＋lg 25＋2lg 2＋eln 2＝log33－41＋2(lg 5＋lg 2)
接
＋2＝－14＋2＋2＝145.
(2)由已知 a＝log210，b＝log510，则a1＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
其中x是自变量，其定义域是(0，＋∞)，值域是(－∞，＋∞)．
栏 目
2．对数函数的图象和性质，可以归纳于下表：
链
接
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课前自修
三、四种命Байду номын сангаас的关系
名称
对数函数
函数式
y＝logax (a>0 且 a≠1)
底数 a 的取值分 类
a>1
0<a<1
栏
定义域 值域
(0，＋∞) (－∞，＋∞)
∴原式＝log 63 84＝lloogg228643＝lolgo2g（2（223×2×3×7）7） ＝
2＋2lolgo2g32＋3＋lolgo2g32×3×lolgo3g737＝2＋2aa＋＋aabb.
栏 目 链
接
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考点探究
变式探究
1．(1)化简：
log3
高考总复习数学（文科）
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第二章 函数、导数及其应用
第六节 对数与对数函数
第二页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
栏
目
考纲要求
链 接
第三页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
考纲要求
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对 数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
利用换元法．
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考点探究
解析：由(1－x)(x＋3)>0 得(x－1)(x＋3)<0，
即－3<x<1，
所以 y＝log1(1－x)(x＋3)的定义域是{x|－3<x<1}．
2
栏
目
设 t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
链
由－3<x<1，得 0<t≤4.
第二十五页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
考点探究
考点3 求与对数函数有关的函数的定义域、
值域
【例 3】 求函数 y＝log1[（1－x）（x＋3）]的定义域与值域．
2
栏
思路点拨：这是与对数函数有关的复合函数，可以利用对数函 目
数的概念和性质来求函数的定义域、值域，由对数函数的定义域可
链 接
得关于 x 的不等式，对于求形式较为复杂的函数的值域则可以考虑
2．理解对数函数的概念，并理解对数函数的单调性与函数图象通
过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图像．
栏
目
3．体会对数函数是重要的函数模型．
链
接 4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0
且a≠1)．
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栏
目
课前自修
链 接
第五页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
接
所以 y＝log1t≥log14＝－2，即函数 y 的值域为[－2，＋∞)．
2
2
第二十七页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
考点探究
点评：与对数函数有关的函数一般是复合函数或是几
个简单对数函数的代数和构成的函数，求这些函数的定义
域和值域，要充分利用对数函数的图象和性质寻找解题方 栏
目
法．
链
接
第二十八页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝lglg1225＋llgg245＋llgg 85×llgg 25＋llgg245＋lglg1825
＝3llgg25＋22llgg
25＋3llgg52×llgg
52＋22llgg
25＋33llgg
2 5
栏 目
＝133llgg25×3llgg52＝13.
目
链
图象
接
单调性 函数值的分布
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
图象过点(1，0)及(a，1)， 图象过点(1，0)及(a，1)，
1a，－1； 若 x>1，则 y>0；
1a，－1； 若 x>1，则 y<0；
若 x＝1，则 y＝0； 若 x＝1，则 y＝0；
若 0<x<1，则 y<0
若 0<x<1，则 y>0
(2)logaMN ＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM.
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课前自修
4．对数换底公式及对数恒等式．
(以下各式中a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，M>0，N>0)
(1)对数恒等式：①alogaN＝N；②logaan＝n.
(2)换底公式：logaN＝llooggbbNa .
接
自主解答：
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考点探究
点评：(1)比较两个指数幂或对数值大小的方法：
①分清是底数相同还是指数(真数)相同；
②利用指数、对数函数的单调性或图象比较大小；
③当底数、指数(真数)均不相同时，可通过中间量过渡处理．
栏 目
(2)多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行0，1分类 链