高考数学(理)专题辅导：3 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” Word版含解析

课时分层训练(三) 全称量词与存在量词、
逻辑联结词“且”“或”“非”
A 组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图
像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )
【导学号：5796】
A ．p 为真
B ．﹁p 为假
C ．p 且q 为假
D ．p 且q 为真
C [p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．]
2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A ．p 或q
B ．p 或(﹁q )
C ．(﹁p )且(﹁q )
D ．(﹁p )或(﹁q )
D [“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p 且q ，而p 且q 的否定是(﹁p )或(﹁q )．]
3．(·南昌二模)命题“对任意x ∈(1，＋∞)，都有x 3＞x 13
”的否定是( )
【导学号：5796】
A ．存在x ∈(－∞，1]，使x 3＜x 13
B ．存在x ∈(1，＋∞)，使x 3＜x 13
C ．存在x ∈(－∞，1]，使x 3≤x 13
D ．存在x ∈(1，＋∞)，使x 3≤x 13
D [根据全称命题的否定为特称命题，得命题的否定为“存在x ∈(1，＋∞)，使x 3≤x 13”，故选D.]
4．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；
q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A ．p 且q
B ．(﹁p )且(﹁q )
C ．(﹁p )且q
D ．p 且(﹁q )
D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p 且q ，﹁p 为假命题，﹁q 为真命题，(﹁p )且(﹁q )，(﹁p )且q 为假命题，p 且(﹁q )为真命题，故选D. ]
5．下列命题中为假命题的是( )
A ．任意x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，x ＞sin x B ．存在x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2
C ．任意x ∈R,3x ＞0
D ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0
B [对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．]
6．(·广州调研)命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若﹁p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,4]
B ．[0,4]
C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，
所以命题﹁p ：存在x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，
则a ＜0或⎩⎨⎧
a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，
解得a ＜0或a ＞4.] 7．(·邯郸市质检)已知命题p ：存在x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：任意x ∈R ，x 2＞0，则( )
A ．命题p 或q 是假命题
B ．命题p 且q 是真命题
C ．命题p 或(﹁q )是假命题
D ．命题p 且(﹁q )是真命题
D [当x ＝3时，x －2＝1＞lg 3＝lg x ，所以命题p 为真命题，当x ＝0时，x 2＝0，所以命题q 是假命题，所以﹁q 为真命题，即命题p 且(﹁q )是真命题，其余3个命题为假命题．]
二、填空题
8．命题“存在x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，tan x ＞sin x ”的否定是________． 任意x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 9．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：
①命题“p 且q ”是真命题；
②命题“p 且(﹁q )”是假命题；
③命题“(﹁p )或q ”是真命题；
④命题“(﹁p )或(﹁q )”是假命题．
其中正确的是________(填序号)
①②③④ [命题p ，q 均为真命题，则﹁p ，﹁q 为假命题．从而结论①②③④均正确．]
10．已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________.
【导学号：57962019】
[e,4] [由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知
x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4，综上知e≤a≤4.]
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：任意x∈R,2x＜3x；命题q：存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()
A．p且q B．﹁p且q
C．p且﹁q D．﹁p且﹁q
B[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：任意x∈R,2x
＜3x是假命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，
∴q：存在x∈R，x3＝1－x2是真命题．
∴p且q为假命题，排除A.
∴﹁p为真命题，∴(﹁p)且q是真命题，选B.]
2．(·浙江高考)命题“任意x∈R，存在n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()
A．任意x∈R，存在n∈N*，使得n<x2
B．任意x∈R，任意n∈N*，使得n<x2
C．存在x∈R，存在n∈N*，使得n<x2
D．存在x∈R，任意n∈N*，使得n<x2
D[由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“任意x∈R，存在n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“存在x∈R，任意n∈N*，使得n<x2”．]
3．(·长沙质检)已知下面四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；
②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；
③命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则﹁p：任意x∈R，都有x2＋x ＋1≥0；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
①②③ [①正确．
②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，
所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确． 由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．
若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]
4．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上递减，q ：设函数y ＝⎩⎨⎧ 2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，
函数y ＞1恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，则a 的取值范围是________．
【导学号：57962020】
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1 [若p 是真命题，则0＜a ＜1，
若q 是真命题，则y min ＞1，又y min ＝2a ，∴2a ＞1，
∴q 为真命题时，a ＞12.
又∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．
若p 真q 假，则0＜a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.
故a
的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1.]。