鲁教版数学九年级上册期末试题和答案

鲁教版数学九年级上册期末试题和答案
一、选择题
1．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．
2．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2
S 甲和2
S 乙的大小关系是（ ）
A ．2S 甲＞2
S 乙
B ．2S 甲＝2
S 乙
C ．2S 甲＜2
S 乙
D ．无法确定
3．若关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的一个根是1x =-，则2015a b -+的值是（ ） A ．2011
B ．2015
C ．2019
D ．2020
4．如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（
1
4
，1），（3，1），（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（ ）
A ．1
4
-
≤b ≤1 B ．5
4
-
≤b ≤1 C ．9
4-
≤b ≤12
D ．9
4
-
≤b ≤1 5．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1
B ．k≥－1
C ．k ＜－1
D ．k≤－1
6．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+2cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°
B ．75°
C ．105°
D ．120°
7．如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结,BD CE 相交于点F ，则BFC ∠的度
数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．90︒
8．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若
26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）
A ．30
B ．42︒
C ．46︒
D ．52︒
9．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ） A ．
14
B ．
34
C ．
15
D ．
35
10．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）
A ．3
B ．234
C 14
33
D 22
33
11．把函数2
12
y x =-
的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()2
1112
y x =-
-+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
12．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹
92
80
90
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A ．86
B ．87
C ．88
D ．89
13．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）
A ．7 : 12
B ．7 : 24
C ．13 : 36
D ．13 : 72
14．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结
论正确的有（ ）
①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④51
2
BC AC -=
．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 15．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法判断
二、填空题
16．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是_____cm 2．
17．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差2
0S ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为2
1S ，则2
0S ______2
1S （填“>”、“=”或“<”）.
18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
19．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为____．
20．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是
54
π
，则O 的半径是__________．
21．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________． 22．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，
∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．
23．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ． 24．如图，在ABC 中，62BC =，45C ∠=︒，2AB AC =，则AC 的长为
________．
25．如图，
O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则
tan ADC ∠=______．
26．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．
27．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．
28．如图，圆形纸片⊙O 半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．
29．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式
21220h t t =-++，则火箭升空的最大高度是___m
30．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。

三、解答题
31．某校九年级（2）班A 、B 、C 、D 四位同学参加了校篮球队选拔. （1）若从这四人中随杋选取一人，恰好选中B 参加校篮球队的概率是______； （2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B 、C 两位同学参加校篮球队的概率.
32．某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．
33．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
34．小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
35．解方程：（1）3x2－6x－2＝0；（2）(x－2)2＝(2x＋1)2．
四、压轴题
36．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38
83
a t ==
，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
37．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外的一点，且∠ADC ＝45°，线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，且∠ADC ＝45°． ①若AD ＝6，BD ＝8，求弦CD 的长为 ；
②若AD+BD ＝14，求2
AD BD CD 2⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
的最大值，并求出此时⊙O 的半径．
38．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.
（
1）求证：AEF BCE
∽；
（2）若23
AC=，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求出ABC的外接圆圆心与CEF
△的外接圆圆心之间的距离？
39．【
问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且
sinα=1
3，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥
AB于D．设∠BAC=α，则sinα=
1
3
BC
AB
=
，可设BC=x，则AB=3x，…．
【问题解决】
（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=3
5，求sin2β的值．
40．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．
（1）求m，n的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；
（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．将最大值为2n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】
解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=5
2
，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
2m=-（n-1）2+5，n=5
2
，
∴m=11 8
，
∵m ＜0，
∴此种情形不合题意， 所以m+n=﹣2+
52=12
． 2．A
解析：A 【解析】 【分析】
方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】
解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2
S 甲＞2
S 乙 故选：A 【点睛】
本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据方程解的定义，求出a-b ，利用作图代入的思想即可解决问题． 【详解】
∵关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的解是x=−1， ∴a−b+4=0， ∴a−b=-4，
∴2015−(a−b)=2215−（-4）=2019. 故选C. 【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．证明△PAB ∽△NCA ，得出
PB PA
NA NC
=，设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ，代入整理得到y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣
32
）
2+9
4
，根据二次函数的性质以及
1
4
≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出
b的取值范
围．
【详解】
解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．
在△PAB与△NCA中，
90
90
APB CNA
PAB NCA CAN
∠∠︒
⎧
⎨
∠∠︒-∠
⎩
＝＝
＝＝
，
∴△PAB∽△NCA，
∴
PB PA
NA NC
=，
设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，
∴
31
y x
x
=
-
，
∴y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣
3
2
）2+
9
4
，
∵﹣1＜0，
1
4
≤x≤3，
∴x＝
3
2
时，y有最大值
9
4
，此时b＝1﹣
9
4
＝﹣
5
4
，
x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，
∴b的取值范围是﹣
5
4
≤b≤1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.
由题意得，解得
故选C. 考点：一元二次方程的根的判别式 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程
，当时，方程有两个不相等实数根；当
时，方程的两个相
等的实数根；当时，方程没有实数根． 6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得，sinA-12=0，22
-cosB=0， 即sinA=12，22
=cosB ， 解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C ．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.
【详解】
解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =
360725︒=︒， ∴∠BOE =144°，
∴1362DBC COD ∠=∠=︒，1722
BCE BOE ∠=∠=︒， ∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解.
【详解】
连接CO ，
∵26ADC ∠=︒
∴∠AOC=252ADC ∠=︒
∵//OA BC
∴∠OCB=∠AOC=52︒
∵OC=BO ， ∴B =∠OCB=52︒
故选D.
【点睛】
此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为
35
. 【详解】
摸到红球的概率=
33235
=+， 故选：D.
【点睛】 此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题．
【详解】
解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，
∴易证AE ⊥BC ，
∵A 、C 关于BD 对称，
∴PA ＝PC ，
∴PC +PE ＝PA +PE ，
∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．
观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，
∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，
∴在Rt △AEB 中，BE ＝
∴PC +PE 的最小值为
∴点H 的纵坐标a ＝
∵BC ∥AD ， ∴AD PD BE PB
= ＝2，
∵BD ＝
∴PD ＝23⨯=
∴点H 的横坐标b ，
∴a +b ＝=； 故选C ．
【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112
y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-
的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112
y x =-
-+的图象． 故选：C ．
【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.
【详解】
根据题意得：
92580390288532
⨯+⨯+⨯=++（分）， ∴小莹的个人总分为88分；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.
13．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，
∵DF=CF ，BE=CE ， ∴
12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13
DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，
∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，
∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，
∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，
∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴
12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD S
S =四边形, ∴1176824AGH EFC
ABCD
S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
14．C
解析：C
【解析】
【分析】
①③，根据已知把∠ABD ，∠CBD ，∠A 角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC ∽△BCD ,从而确定②是否正确,根据AD =BD =BC ,即
BC AC BC AC BC -=解得AC ，故④正确. 【详解】
①BC 是⊙A 的内接正十边形的一边,
因为AB =AC ,∠A =36°,
所以∠ABC =∠C =72°, 又因为BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,
∴∠ABD =∠CBD =12
∠ABC =36°=∠A ,
∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,
∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;
又∵△ABD中，AD+BD＞AB
∴2AD＞AB,故③错误.
②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,∴BC CD
AB BC
=,又AB=AC,
故②正确,
根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC
-
=,
解得AC,故④正确,
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 15．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
二、填空题
16．35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr即可求解．
【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
解析：35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=
12lr 即可求解． 【详解】
底面周长是：10π， 则侧面展开图的面积是：
12
×10π×7＝35πcm 2． 故答案是：35π．
【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．=
【解析】
【分析】
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.
【详解】
解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数
解析：=
【解析】
【分析】
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.
【详解】
解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，它的平均数都加上或减去这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴2201S S
故答案为：=.
【点睛】
本题考查的知识点是数据的平均数与方差，需要记忆的是如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的方差不变，但平均数要变，且平均数增加这个常数．
18．－1＜x ＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，
故答案为：－1＜x ＜3.
【点睛
解析：－1＜x ＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，
故答案为：－1＜x ＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
19．【解析】
【分析】
根据点A 的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x 轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.
【详解】
解：由二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1可得：
解析：123;1x x ==-
【解析】
【分析】
根据点A 的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x 轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.
【详解】
解：由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1可得： 抛物线与x 轴交于（3，0）和（-1，0）
即当y=0时，x=3或-1
∴ax 2＋bx ＋c ＝0的根为123;1x x ==-
故答案为：123;1x x ==-
【点睛】
本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与x 轴的交点坐标是本题的解题关键.
20．【解析】
【分析】
连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】 解：连接OB 、OC ，如图，
∵，
∴∠BOC=90°，
∵的长是，
∴，
解得：
解析：52
【解析】
【分析】
连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∵45BAC ∠=︒，
∴∠BOC =90°，
∵BC 的长是
54π， ∴9051804
OB ππ⋅=， 解得：52OB =
. 故答案为：52
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键. 21．50（1﹣x ）2=32．
【解析】
由题意可得，
50(1−x)²=32，
故答案为50(1−x)²=32.
解析：50（1﹣x ）2=32．
【解析】
由题意可得，
50(1−x)²=32，
故答案为50(1−x)²=32.
22．40°
【解析】
：在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠
解析：40°
【解析】
：在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°
23．60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】
解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴，
由题意知AB
解析：60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．
【详解】
解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴AB DC BE CE =， 由题意知AB=50,CD=15,CE=18,
即，
501518
x =， 解得x ＝60， 经检验，x=60是原方程的解，
即高为50m 的旗杆的影长为60m ．
故答案为：60．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例.
24．【解析】
【分析】
过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长.
【详解】
过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．
【点睛】
本题考查勾股定
解析：2
【解析】
【分析】
过A 点作BC 的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求AC 的长.
【详解】
过A 作AD BC ⊥于D 点，设2AC x =，则2AB x =，因为45C ∠=︒，所以
AD CD x ==，则由勾股定理得223BD AB AD x =-=，因为62BC =+，所以362BC x x =+=+，则2x =．则2AC =．
【点睛】
本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
25．【解析】
分析：
由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠A DC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=求得所求的值了.
详解：
∵AB 是 解析：34
【解析】
分析：
由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合
∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=
AC BC 求得所求的值了. 详解：
∵AB 是O 的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AC=3，AB=5，
∴
4=，
∴tan ∠ABC=
34
AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=34
. 故答案为：34
. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.
26．24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm ，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
解析：24π
【解析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm ，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=12
×8π×6=24π（cm 2）． 故答案为：24π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12
•l •R ，（l 为弧长）． 27．10
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则OA
解析：
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】 解：∵sin 45sin AB AO ABO
=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O 到顶点A 的距离的最大的条件是解
28．16
【解析】
【分析】
根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】
解：如
解析：16
【解析】
【分析】
根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB ，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】
解：如图，点A 为上面小正方形边的中点，点B 为小正方形与圆的交点，D 为小正方形和大正方形重合边的中点，
由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD 为等腰直角三角形，
∵⊙O 半径为，根据垂径定理得：
∴
=5， 设小正方形的边长为x ，则AB=
12x ， 则在直角△OAB 中，
OA 2+AB 2=OB 2，
即()(22215=2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 解得x=2，
∴四个小正方形的面积和=242=16⨯.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
29．56
【解析】
【分析】
将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：∵
=
=，
∵，
∴抛物线开口向下，
当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．
故
解析：56
【解析】
【分析】
将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：∵21220h t t =-++
=2(23636)120t t -+-+-
=2(6)56t --+，
∵10a =-<，
∴抛物线开口向下，
当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．
故答案为：56．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC 的中点H ，连接AH ．
∵AB=AC，BH=CH ，
∴AH⊥BC，设BC=AH=2a ，则BH=CH=a ，
∴t
解析：2或
153
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC 的中点H ，连接AH ．
∵AB=AC ，BH=CH ，
∴AH ⊥BC ，设BC=AH=2a ，则BH=CH=a ，
∴tanB=2AH a BH a
==2． ②取AB 的中点M ，连接CM ，作CN ⊥AM 于N ，如图2．
设CM=AB=AC=4a ，则BM=AM=2a ，
∵CN ⊥AM ，CM=CA ，
∴AN=NM=a ，
在Rt △CNM 中，()22=154a a a -， ∴tanB=151533
a a =， 故答案为215．
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、“好玩三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题 31．（1）
14；（2）P （BC 两位同学参加篮球队）16= 【解析】
【分析】
(1)根据概率公式P m n
=(n 次试验中，事件A 出现m 次)计算即可 (2)用列表法求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.
【详解】
解：(1)()1P B 4
= 恰好选中B 参加校篮球队的概率是
14. (2)列表格如下：
∴P （BC 两位同学参加篮球队）21126
=
= 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率问题，通过题目找出全部情况的总数与符合条件的情况数目与熟记概率公式是解题的关键.
32．（1）10700y x =-+；（2）销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元；（3）44≤x ≤56
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；
（3）利用w=3640，进而解方程，再利用二次函数增减性得出答案．
解：（1）y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+
把（35，350），（55，150）代入得：
由题意得：3503515055k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得：10700k b =-⎧⎨=⎩
∴y 与x 之间的函数关系式为：10700y x =-+．
（2）设销售利润为W 元
则W=（x ﹣30）•y =（x ﹣30）（﹣10x +700），
W =﹣10x 2+1000x ﹣21000
W =﹣10（x ﹣50）2+4000
∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．
（3）令W =3640
∴﹣10（x ﹣50）2+4000=3640
∴x 1=44，x 2=56
如图所示，由图象得：
当44≤x ≤56时，每天利润不低于3640元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
33．（1）y ＝x 2+x ﹣2；（2）S ＝﹣m 2﹣2m （﹣2＜m ＜0），S 的最大值为1；（3）点Q 坐标为：(﹣2，2)或(﹣515或(﹣155)或(2，﹣2)．
【解析】
【分析】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，将A ，B ，C 三点代入y ＝ax 2+bx+c ，列方程组求出a 、b 、c 的值即可得答案；
（2）如图1，过点M 作y 轴的平行线交AB 于点D ，M 点的横坐标为m ，且点M 在第三象限的抛物线上，设M 点的坐标为（m ，m 2+m ﹣2），﹣2＜m ＜0，由A 、B 坐标可求出直线AB 的解析式为y ＝﹣x ﹣2，则点D 的坐标为（m ，﹣m ﹣2），即可求出MD 的长度，进一步求出△MAB 的面积S 关于m 的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值； （3）设P （x ，x 2+x ﹣2），分情况讨论，①当OB 为边时，根据平行四边形的性质知。