1.Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较_林秋红

第30卷 第3期 湖北广播电视大学学报 V ol.30, No.3 2010年3月 Journal of HuBei TV University March. 2010, 159～160
Riemann 积分和Lebesgue 积分性质的比较
林秋红
（肇庆科技职业技术学院，广东 肇庆 526100）
[内容提要] 本文主要对Riemann 积分和Lebesgue 积分进行归纳总结，并着重比较了这两种积分性质上的异同，以及它们在极限、微分等方面的应用。

[关键词] Riemann 积分；Lebesgue 积分；可积函数
[中图分类号] O15 [文献标识码] A [文章编号] 1008-7427（2010）03-0159-02
Riemann 积分是通过特殊和式（即Riemann 和）取极限来实现，但是，由于Riemann 积分存在着很大的局限性，引进了Lebesgue 积分，
Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。

本文归纳总结了这两种积分，并着重比较了这两种积分在性质上的异同，以及它们在极限、微分等方面的应用。

1．预备知识
定义1.1：（Riemann 积分概念）请读者参考文献[1]P202。

定义1.2：（Lebesgue 积分概念）请读者参考文献[2]P108。

定义1.4[2][4]：设f (x )的定义域n R E ⊂可分为有限个互不相交的可测集12,,,,s E E E 1
s
i
i E E
==∪
，使在每个E i 上都等于某一常数C i ,则称f (x )为E 上的简单函数.特别地，当每个E i 是长方体时，称f (x )为E 上的阶梯函数。

定义1.5[2]：（下方图形）设f (x )是n R E ⊂上的非负函数，则R n +1
中的点集{(,)|,0()},x z x E z f x ∈≤<
称f (x )为在E 上的下方图形，记为G (E ,f )。

定义1.6[5]：（1）设X 为一非空集，F 为X 上的σ代数.称二元组合（X ,F ）为可测空间。

（2）设μ为可测空间（X ,F ）上的测度。

称三元组合（,,X F μ）为测度空间
为了研究Riemann 积分的一些性质，我们给出了n 维Euclid 空间n R 中常义Riemann 积分的一种等价定义，它通过阶梯函数积分取极限来实现.具体说来，定义如下：
定义1.7[7]
：设P
n
R ⊂是任一闭长方体，,:p f p R ≠∅→是任
一函数,如果∀ε>0,ϕ∃、()K P ψ∈（()K P 表示P 上阶梯函数全体
的集合）,使得
∫<−∈∀≤≤P
dx x x P x x x f x εϕψψϕ))()((,),()()(
则称f 在P 上Riemann 可积. 2．两种积分的性质比较
Riemann 积分和Lebesgue 积分这两种积分除了线性关系、不等式性质外还有其他一些重要性质，下面由本人归纳并总结这两种积分在性质上的异同。

2.1 绝对可积性
性质2.1.1[1]：设f (x )在[a ,b ]上R 可积，则|f (x )|在[a ,b ]上也R 可积，且
()()()b b a
a
f x d x f x d x ≤
∫
∫
注意：这个性质的逆命题一般不成立。

例2.1.1： 1,()1x f x ⎧=⎨
−⎩是有理数，x是无理数
显然，f (x )在[0，1]上不是R 可积（类似于狄利克雷函数）；但()1f x ≡，
()f x 在[0，1]上R 可积。

性质2.1.2[3]
：设f (x )在可测集E 上可测，则f (x )在E 上L 可积()f x ⇔在E 上L 可积，且有
()()E
E
f x d x f x d x
≤
∫
∫
.
证明：()f x ∵在可测集E 上可测，则()f x 在E 上也可测, 又f (x )在E 上L 可积()E
f x dx +⇔
<+∞∫
且()E
f x dx −<+∞∫
()()E E
f x dx f x dx +−⇔+<+∞
∫∫
(()())()E
E
f x f x dx f x dx +−⇔−=<+∞∫∫
()f x ∴在E 上也L 可积. 此外,()()()()f x f x f x x E −≤≤∈,
dx x f dx x f dx x f dx x f E E E E ∫∫
∫∫≤≤−=−∴)()())(()( 上式即为dx x f dx x f E E ∫
∫≤)()( 2.2
区间可加性 2.2.1 区间的有限可加性
性质2.2.1.1[1]：设f (x )在[a ,b ]上R 可积,则对[,]c a b ∀∈，f (x )在[a ,c ]
与[c ,b ]上都R 可积，且 ()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+∫
∫∫
性质2.2.1.2[2]：设f (x )在可测集E 上L 可积，则f (x )在E 上任一可测子集A 上也L 可积，如E A B =∪,A 与B 皆可测，且A B =∅∩，
则
()()()E
A
B
f x dx f x dx f x dx =+∫
∫∫.
注意：在性质2.2.1.1和性质2.2.1.2中只假定等式右边两个积分存在，就可以推出左边积分也存在。

2.2.2 区间的可列可加性
由性质2.2.1.1可知R 积分对区间有有限可加性,但不一定有可列可加性,即如果
1122[,],[,],,[,],n n a b a b a b ,是一列除端点外两两不相交的区间,且
1
[,][,]n
n
n a b a b ∞
==∪,由f (x )在1
1
[,],,[,],n
n
a b a b 上R 可积,不
一定推出f (x )在[a ,b ]上R 可积。

例2.2.2.1： 设2
1
,0()0,0
x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 显然f (x )在区间
111121123111[,],[,],[,],[,],,[,],[,],422384342212
n n n n n n ++++ 上皆R 可积，另外把点0和1看成特殊区间，f (x )在R 上亦可积，上述区间是一
列除端点外两两不相交的区间，且它们所成之并集为[0，
1]，但f (x )在[0，1]上显然不R 可积。

而在勒贝格意义下，有以下定理： 定理2.2.2.1[2]：（积分区间的可列可加性）设f (x )在可测集E 上L 可
积，且
1
i
i E E ∞
==∪，其中各E i 为互不相交的可测集，则1
()()i
E
E i f x dx f x dx
∞
==∑∫
∫。

反过来，如果f (x )在每个可测集E i 上L 可积，
1
,
i i E E ∞
==∪那么是否可以得出f (x )在E 上L 可积。

我们说上述结论是成立的。

定理2.2.2.2[9]：若f (x )在每个可测集E i 上L 可积，1
i
i E E ∞==∪，则f (x )
在E 上也是L 可积。

证明：设⎩⎨
⎧==其它
,0),()(21n n E E E x x f x f ∪ ∪∪
()f x ∵在每个可测集E i 上L 可积。

()n f x E L ∴在上可积，又()()n f x f x →∵),(E x n ∈∞→
()f x E L ∴在上也可积。

定理证毕。

[收稿日期]2009-12-20
2.3 逼近性质
在Riemann 积分中，有以下定理：
定理2.3.1[7]：f ：[a ,b ]→P 是任一Riemann 可积函数，则对于任意
0ε>，存在连续函数g ：[a ,b ]→R,使得
()()b
a
f x
g x dx ε−<∫
证明：]),([)(b a R x f ∈（]),([b a R 表示[a ,b ]上的R 可积函数），则根据定义 1.7，对0,,([,])K a b εϕψ∀>∃∈，([,])K a b 是表示[a ,b ]上阶梯函数的全体）。

使得
()()(),[,]x f x x x a b ϕψ≤≤∀∈，且(()())2
b a
x x dx εψϕ−<∫
对于阶梯函数()x ϕ，根据定义1.4，我们可以得出
1(),(,),0,1,,1i i i x c x a a i n ϕ+=∈=− ，
令110102
min (),max i i i i i n i n a a M c c δ++≤≤−≤≤−′=−=−，min ,24M δεδ′⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
111
1;(,],0,1,,2()();(,],1,2,,1;(,]
i i i i i i i i i n n n c x a a i n n c c g x c x a x a a i n n n c x a a δδδ+−−−⎧
∈−=−⎪⎪
−⎪
=+−∈−=−⎨⎪
⎪
⎪∈⎩ 则函数:[,]g a b R →是连续的，且
dx
n
a x c c dx
c a x n
c c c dx x x g dx x x f dx x g x f i
n i a n
a i i n i a n
a i i i i i
b a
b
a
b
a
i
i i
i δ
ε
δ
ε
ϕϕδδ−+
⋅−+=
−−−+
+<
−+−≤−∑∫
∑∫
∫∫∫
−=−
−−=−
−−12
)(2
)()()()()()(1
1
11
1
11
ε
εεδεδεδεδδ
=⋅⋅
+≤
+<
−⋅
+=
⋅
+⋅⋅−+≤M M
M n n M n
M n n
422
22
1
22
)1()1(2
定理证毕。

由定理2.3.1，可得出下列结论：
推论2.3.1[7]：若([,]),f R a b ∈则存在连续函数列{()},n
g x n N ∈，
使得
()lim ()b
b
n a
a
n f x dx g x dx →∞=∫
∫
推论2.3.2[7]
：若([,]),[,](,),f R a b a b αβ∈⊂则
0lim ()()0h f x h f x β
α
→+−=∫
证明：由([,])f R a b ∈,及定理2.3.1可知,0ε∀>,存在连续函数
:[,]g a b R →使得
()()3
b
a
f x
g x ε−<
∫
0,0,()(),[,],[,]
3()
g h g x h g x x x h a b εδδε
αββα∀>∃><+−<
∀∈+∈−由的连续性可知，对当时，有且 00m in{,,},h a b h h αβδ=−−<取则当时，有
()()()()()()()()f x h f x dx f x h g x h dx g x h g x dx g x f x dx
β
βββ
α
α
αα
+−≤+−+++−+−∫∫∫∫
.()33()3
εεε
βαε
βα<
+
−+=−
在Lebesgue 积分中，我们有以下定理：
定理2.3.2[5]：设（X ,F ,μ）是一个测度空间，f ∈L (μ)，（L(μ)表示测
度空间（X ,F ,μ）上的L 可积函数的全体）
，则对于任意的ε＞0，存在L(μ)中的简单函数g ，使得f g d με−<∫
定理2.3.3[5]：设E 是R n 上的一个Lebesgue 可测集，f ∈L (E )，（L (E )
表示E 上的L 可积函数的全体），则对于任意的ε＞0，存在R n
上具有紧支集的连续函数g ，使得E
f g dx ε−<∫
（注：称定义在R n 上的实值函数f 是具有紧支集的，若存在一个有
界集n R D
⊂，使得当,0)(,=∈x f D x C 其中D R D n C \=）
推论2.3.3[5]：若)(E L f ∈，则∫
=−+→E
t dx x f t x f 0)()(lim
2.4 中值定理
在Riemann 积分中，有以下中值定理： 定理2.4.1[1]：（第一中值定理） 若f 在[a ,b ]上连续，则至少存在
[,],()()()b
a
a b f x dx f b a ξξ∈=−∫
使得.
定理2.4.1[1]
：（第二中值定理） 设
f
在[a ,b ]上可积
（i ）若函数g 在[a ,b ]上递减，且()0,g x ≥则存在[,],a b ξ∈使得
()()()()b
a
a
f x
g x dx g x f x dx ξ
=∫
∫
（ii ）若函数g 在[a ,b ]上递增，且()0g x ≥，则存在[,]a b η∈，使得
()()()()b
b
a
f x
g x dx g b f x dx η
=∫
∫
推论2.4.2[1]：设函数f 在[a ,b ]上可积，若g 为单调函数，则存在
],[b a ∈ξ，使得∫
∫
∫+=b a
a
b dx x f b g dx x f a g dx x g x f ξξ
)()()()()()(
在Lebesgue 积分中,我们由非负可测函数积分的几何意义得到了一般可测函数积分的几何意义。

定理 2.4.3[2]：（非负可测函数积分的几何意义）设)(x f 为可测集
n R E ⊂上的非负函数,则当)(x f 在E 上可测时，
∫=E
f E mG dx x f ),()(.
推论2.3.3[2]：设)(x f 为n R E
⊂上的可积函数,则
∫
−+−=E
f E mG f E mG dx x f ),(),()(.
2.5 可积范围
我们已经知道函数Riemann 可积的充要条件是函数的不连续点的全体成一零测集，函数的连续点的全体所构成的集合必须是稠密集，粗略地说，黎曼积分理论是针对连续函数或“基本上”连续的函数而建立的。

而勒贝格积分理论较之黎曼积分理论有着明显的优点，它将可积函数类拓广为有界可测函数，即在勒贝格意义下，有
定理2.5.1[2]：设)(x f 是可测集)(∞<⊂mE R E q 上的有界函数，则)(x f 在E 上L 可积的充要条件是)(x f 在E 上可测。

下面的定理则反映了这两种积分之间的一种必然联系：
定理2.5.2[2]：若)(x f 在],[b a 上R 可积，则它必同时L 可积，且有相同的积分值∫
∫
=b
a
b a dx x f L dx x f R ]
,[)()()()
(
但是定理2.5.2的逆是不成立的，例如在[0，1]上的狄利克雷函数，它在黎曼意义下是不可积的，因为它一个连续点也没有，但它在[0，1]上是简单函数，因此在勒贝格意义下是可积的。

2.6 收敛条件
在黎曼积分意义下，函数列满足一致收敛的条件，才能保证极限与积分交换次序，但是这一条件确实是过分强了。

例如),110()(≤≤=n n
x x f n=1,2,….当)(x f n n
时，∞→收敛但非一致收敛于
⎩⎨
⎧=<≤=1
,110,0)(x x x f ，
但此时仍有1
1
0lim()
()0()lim ()n n n n R f x dx R f x dx →∞
→∞
==∫
∫
这就告诉我们，黎曼积分收敛定理中的一致收敛只是极限运算与积分运算互换的充分条件，而非必要条件。

在勒贝格意义下，不必是一致收敛也能保证极限运算与积分互换。

定理2.6.1[2]
：（勒贝格控制收敛定理）设 （1）{()}n
f x 是可测集E 上的可测函数列；
（2）()()n
f x F x a e E ≤⋅ 于，n=1,2,,且()F x 在E 上L 可积； （3）()()n f x f x ⇒（依测度收敛）
则()F x 在E 上L 可积，且lim
()()n E
E
n f x dx f x dx →∞=∫
∫.
利用定理2.5.1，2.5.2，2.6.1能对黎曼积分收敛定理作一些适当的改进，改进后的定理是：
定理2.6.2[6]：设)(),2,1)((x f n x f n
、 =及()F x 在],[b a 上R 可积且
（1）()();n f x f x 处处收敛于
（2）()()n
f x F x ≤
（下接92页）
了坚实的基础的话，那么缺乏专家参与显然是目前国内《白
鲸》研究面临的一个重要问题。

事实上，我国并不缺少麦学专家和青年才俊。

比如南京大学的杨金才教授便是对麦尔维尔研究成果突出的专家。

杨金才教授不仅对麦尔维尔的小说作出了多方位多角度的精辟诠释，而且他的《麦尔维尔与帝国主义》更是我国第一部研究麦氏作品的专著，这部专著从文化和宏观政治学的角度对麦尔维尔的波利尼西亚三部曲《泰比》、《奥穆》和《玛迪》进行了细致的研究。

该学术成果不仅深化了我国对麦尔维尔作品的研究，而且丰富了国际麦氏研究成果，是我国对麦氏研究作出的重要贡献。

此外还有韩敏中和林元富等一批学者也为麦尔维尔的研究贡献了高质量的论文。

仅靠上述专家学者对麦尔维尔作品的关注显然是不够的，我国的麦氏研究期待更多专家学者的参与。

纵观国内近三十年的麦尔维尔研究成果，我们欣喜地看到国内学者做了许多非常有意义的工作。

我国的《白鲸》研究在数量上呈现良好的递增态势说明越来越多的学者和研究人员开始将关注的目光投射这一美国甚至世界文学史上的奇葩。

伴随着数量的增加，研究深度和广度也有了相应的大幅度的提高。

当然这并非说明我国对麦氏的研究已经达到一个相当高的水平，事实上，我国的麦氏研究尤其是其经典巨著《白鲸》的研究依然任重道远。

研究过程中的重复、研究向纵深方向推进、研究中将中国背景和中国关怀作为阅读出发点和指归及专家的积极参与和指引都是我国麦氏研究面临的问题。

而这些问题的解决都将会对我国与国际麦尔维尔研究的对话与合作起到积极的推动作用，同时对于我国的美国文艺复兴时期的文学研究都有积极的作用。

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Herman Melville’s Moby-Dick in Chinese Context
Guo Hai-ping
[Abstract] The Chinese studies on Herman Melville Moby-Dick has undergone three decades, the 80s and 90s of last century and the first ten years of this century. The combing and analyzing of the current researches will be instructive to the further study of Herman Melville, especially, further study on the profundity of Melville’s works.
[Key words] Herman Melville ；Moby-Dick ；Chinese Context
（上接160页） 则lim()
()()()b
b n a
a
n R f x dx R f x dx →∞
=∫
∫
下面我们重新考察前面提到的函数列()(01),1,2,,n n f x x x n =≤≤="以及极限函数()f x =⎩⎨
⎧=<≤1
,110,0x x ，
显然{()}()n
f x f x 与满足定理2.6.2的条件，因此，虽然{()}n
f x 不一致收
敛于()f x ，但由定理2.6.2可知必有
1110
00
lim()()()lim ()()()n n n n R f x dx R f x dx R f x dx →∞
→∞
==∫∫∫
由此可见，定理2.6.2确实比原来的黎曼积分收敛定理好，不过还
应注意，定理2.6.2要求()n
f x 在],[b a 上必须是一致有界的
（因()F x 可积必有界），这显然使积分号下取极限这一重要运算手段仍受到了较大的限制，不仅如此，定理2.6.2中关于极限函数()F x 可积性的假设是不能丢掉的。

例2.6.2：将[0，1]中全体有理数列出：r 1,r 2…作函数列
21,,,(1,2,)()n n x r r r n f x ==⎧=⎨
⎩"",
显然对每个自然数,()n n f x 为[0，1]上黎曼可积的函数，且积分值为零，所以
1,lim ()()0,0n n x f x f x x →∞
⎧==⎨⎩为[0，1]中的有理数为[，1]中的无理数
，
显然极限函数()F x 是狄利克雷函数，它不是黎曼可积的，那就谈
不上积分号下取极限的问题。

另一方面，由定理2.6.1看出，在勒贝格积分理论中，不必要求函数列一致有界，只要有一个控制函数就可以了；不必要求()n
f x 处处收
敛于()F x ，只要()n f x 能依测度收敛()F x ，退一步讲，只要()n f x 能
几乎处处收敛于()F x 便可以，不必假设极限函数的可积性，因为定理2.6.1本身可以保证极限函数一定可积。

例如，对例 2.6.2中的
{()}()n
f x f x 及，必有[0,1]
[0,1]
lim()()()()n
n L f x dx L f x dx →∞
=∫
∫
从以上几点可以看出，Riemann 积分相对于Lebesgue 积分有着明显
的局限性。

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