【数学】黑龙江省鹤岗市绥滨一中2018届高三(上)第一次月考试卷(理)(解析版)

黑龙江省鹤岗市绥滨一中2018届高三（上）
第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题：（每题5分，共60分．）
1．（5分）若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）=0}，那么（）
A．0∈A B．1∉A C．﹣1∈A D．0∉A
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（）
A．21 B．34 C．55 D．89
4．（5分）已知角α终边上一点P（﹣2，3），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣
5．（5分）不等式3≤|5﹣2x|＜9的解集为（）
A．[﹣2，1）∪[4，7）B．（﹣2，1]∪（4，7]
C．（﹣2，﹣1]∪[4，7）D．（﹣2，1]∪[4，7）
6．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=n2+3n﹣90，则的值为（）
A．18 B．﹣2 C．2 D．﹣
7．（5分）在△ABC中，a cos A=b cos B，则△ABC的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
8．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）
A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得
B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得
C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得
D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得
9．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）
A．1 B．C．D．
10．（5分）（a+x）（1﹣x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
11．（5分）我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有（）
A．28个B．21个C．35个D．56个
12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）
A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1
C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2
二、填空题（每题5分，共20分．）
13．（5分）已知，，若向量与共线，则=．14．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2，在x=1处有极值，则+的最小值等于．
15．（5分）若a n=2n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为．
16．（5分）抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是．
三、解答题：（共70分，要有必要的文字说明和步骤．）
17．（10分）已知sinα=，α∈（，π）
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
18．（12分）三角形的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2+c2﹣b2=ac. （1）求角B的大小；
（2）若2b cos A=（c cos A+a cos C），BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
19．（12分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）++≥1．
20．（12分）已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），该函数图象过点
C（，0），与点C相邻函数图象上的一个最高点为D（，2）．
（1）求该函数的解析式f（x）；
（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最值及其对应的自变量x的值．
21．（12分）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；
（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．
22．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣x2+x
（1）设G（x）=f（x）+ln x，求G（x）的单调递增区间；
（2）证明：k＜1时，存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）﹣＞k（x﹣1）．
【参考答案】
一、选择题
1．A
【解析】复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，
可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），
在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．
故选：A．
2．A
【解析】由x（x﹣1）=0得x=0或x=1，
∴A={0，1}，
∴0∈A，
故选A．
3．C
【解析】模拟程序的运行，可得a=1，b=1，
执行循环体，a=2，b=3，
不满足条件b＞50，执行循环体，a=5，b=8
不满足条件b＞50，执行循环体，a=13，b=21，
不满足条件b＞50，执行循环体，a=34，b=55，
满足条件b＞50，退出循环，输出的值为55．
故选：C．
4．A
【解析】由==﹣tanα∵角α终边上一点P（﹣2，3），即x=﹣2，y=3．
∴tanα=．
则：﹣tanα=
故选：A．
5．D
【解析】∵3≤|5﹣2x|＜9，∴3≤2x﹣5＜9 ①，或﹣9＜2x﹣5≤﹣3 ②．
解①得4≤x＜7，解②得﹣2＜x≤1．
故不等式的解集为（﹣2，1]∪[4，7），
故选D．
6．D
【解析】∵数列{a n}的前n项和S n=n2+3n﹣90，
∴a1+a2+a3=S3=32+3×3﹣90=﹣72，
a4+a5+a6=S6﹣S3=36，
则=，
故选：D．
7．C
【解析】在△ABC中，∵a cos A=b cos B，
∴由正弦定理==2R得：a=2R sin A，b=2R sin B，
∴sin A cos A=sin B cos B，
∴sin2A=sin2B，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π﹣2B，
∴A=B或A+B=，
∴△ABC为等腰或直角三角形，
故选C．
8．D
【解析】函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，
即T=，
∴ω=2，
则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得．故选：D．
9．D
【解析】在△ABD中，BD==1
又BC=3
所以BD=
∴
∵O为AD的中点
∴
∵
∴
∴
故选D
10．A
【解析】设f（x）=（a+x）（1﹣x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=0，①
令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=16（a﹣1）；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5）=﹣16（a﹣1），
所以2×32=﹣16（a﹣1），
所以a=﹣3．
故选：A．
11．B
【解析】因为1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6，所以可以分为7类，
当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，
当三个位数字为1，2，3时，三位数有A33=6个，
当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个，
当三个位数字为0，1，5时，三位数有A21A22=4个，
当三个位数字为0，2，4时，三位数有A21A22=4个，
当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个，
当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，
根据分类计数原理得三位数共有3+6+1+4+4+2+1=21．
故选B．
12．A
【解析】∵，∴f′（x）＜，
令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，
∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．
故选：A．
二、填空题
13．
【解析】=（4，2λ+1），
∵与共线，∴8（2λ+1）﹣24=0，解得λ=1．
∴=（1，1）．∴=．故答案为：．
14．
【解析】∵函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，
则f′（1）=12﹣2a﹣2b=0，即a+b=6．
+=（+）（a+b）=+（+）≥+×=，（当且仅当2a=b=4时，等号成立．），
∴+的最小值等于．
故答案为：．
15．（﹣6，+∞）
【解析】若数列{a n}为单调递增数列，则a n+1＞a n，
即2（n+1）2+λ（n+1）+3＞2n2+λn+3，整理得λ＞﹣（4n+2），
∵n≥1，∴﹣（4n+2）≤﹣6，即λ＞﹣6，故答案为：（﹣6，+∞）
解法二：﹣＜⇒λ＞﹣6
16．
【解析】抛掷两枚骰子，基本事件总数n=6×6=36，
至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，
试验成功包含的基本事件有：
（1，4），（4，1），（4，2），（2，4），（4，3），（3，4），（4，4），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，1），（1，5），（5，2），（2，5），（5，3），（3，5），（5，5），（5，6），（6，5），共20个，∴每次试验成功的概率p=，
∴在10次试验中，成功次数X～B（10，），
∴在10次试验中，成功次数X的期望E（X）==．
故答案为：．
三、解答题
17．解：（1）∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，
∴sin（+α）=cosα+sinα=×（﹣）+×=，
（2）由（1）可得：cos2α=2cos2α﹣1=，sin2α=2sinαcosα=﹣，
cos（﹣2α）=（cos2α+sin2α）=×（﹣）=﹣．
18．解：（1）由余弦定理得cos B===．
因为B是三角形的内角，所以B=．
（2）由正弦定理得==，代入2b cos A=（c cos A+a cos C），
∴2sin B cos A=sin（A+C）．∴cos A=，A∈（0，π），A=，
设CM=m，则AC=2m．在△ACM中，7=4m2+m2+2m2，
∴m2=1，m=1，m=﹣1（舍去），∴AC=BC=2
∴S△ABC=CA•CB•sinπ=×2×2×=．
19．证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，当且仅当a=b=c=取等号，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
又∵（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1，
∴3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤；
（Ⅱ）∵+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，当且仅当a=b=c=取等号，
∴+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c=1．
20．解：因为函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），该函数图象过点C（，0），函数图象上与点C相邻的一个最高点为D（，2），
所以A=2，且=﹣=，T=π，
所以ω===2，且sin（2×+φ）=1，所以φ=；
所以f（x）=2sin（2x+）；
（2）由（1）得到2x+∈[﹣，]，
所以当2x+=﹣，即x=﹣时，f（x）的最小值为2×（﹣）=﹣；
当2x+=，即x=时，f（x）最大值为2．
21．解：（Ⅰ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，
在这8个试题中甲能答对6个，
∴甲通过自主招生初试的概率．
（Ⅱ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，
∴乙通过自主招生初试的概率；
∵，∴甲通过自主招生初试的可能性更大．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，
，，，
∴X的概率分布列为：
∴．
22．解：（1）由题意知，G（x）=f（x）+ln x=2ln x﹣x2+x（x＞0），
从而G′（x）=﹣x+1=﹣，
令G′（x）＞0，得0＜x＜2，所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）．
（2）证明：当k＜1时，
令F（x）=f（x）﹣﹣k（x﹣1）=ln x﹣x2+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞0），
则有F′（x）=，
由F′（x）=0，得﹣x2+（1﹣k）x+1=0，
解得x1=＜0，x2=＞1，
从而存在x0=x2＞1，当x∈（1，x0）时，F′（x）＞0，故F（x）在[1，x0）上单调递增，从而当x∈（1，x0）时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣＞k（x﹣1）．。