中考数学《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专项练习题(附答案)

中考数学《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专项练习题(附答案)
一、单选题
1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b2−4ac＞0；
③4a+b=0；④不等式ax2+（b−1）x+c＜0的解集为1≤ x＜3，正确的结论个数是
（）
A．1B．2C．3D．4
2．若抛物线y=x2−2x+m2−1的顶点在x轴上，则m的值是（）
A．1B．√2C．−√2D．±√2
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5 个结论：①4a+2b+c＞0；②abc＜0；
③b＜a+c；④3b＞2c；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1 的实数）；其中正确结论的个数为（）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
4．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法中，错误的是（）
A．对称轴是直线x=1
2B．当−1<x<2时
C．a+c=b D．a+b>−c
5．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O′，点A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为（）
A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+ 12D．y＝x+2
6．如图，二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A和点B，顶点为C，则sin△ABC=（）
A．2√5
5B．√5
5
C．2D．12
7．二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是（）
A．2和-3B．-2和3C．2和3D．-2和-3 8．二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的两个交点坐标是（）
A．1和2 B．﹣1和﹣2
C．（﹣1，0）和（﹣2，0）D．（1，0）和（2，0）
9．对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（）
A．图象开口向下B．图象和y轴交点的纵坐标为﹣3 C．x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣1 10．下列说法正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对应边成比例的四边形是相似四边形
C．二次函数y=x2+bx−1（b为常数）的图象与x轴有两个交点
D．若代数式
√x+1
在实数范围内有意义，则x≥−1
11．已知二次函数y＝kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．x＞−5
4B．x≥−5
4且
k≠0
C．x≥−5
4D．x＞−5
4且
k≠0
12．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，其对称轴是x=−1,且过点
(−3,0),则下列选项中错误的是（）
A．2a−b=0B．a+b+c=0C．abc>0D．b2≥4ac
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．
14．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为．
15．如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴有两个交点，与y轴的交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位长度后，得到新的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，以下四个结论：
①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c=1，④a﹣b+c＞0中，其中正确的是（填序号）．
16．某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）且它的形状与y＝﹣x2形状相同．则这个二
次函数的解析式为．
17．抛物线y=(k−1)x2−4x−4和x轴有公共点，则k的取值范围是．18．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、综合题
19．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，且点P在x轴上方．若S△PAB=8，请求出此时P点的坐标．
20．抛物线y=−x2−2x+3与x轴交与点A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，且点D 为抛物线的顶点，连接BD，CD
（1）求四边形BOCD的面积.
（2）求△BCD的面积.
21．二次函数的图象与x轴一交点为（﹣1，0），顶点（1，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）所求二次函数图象可以由什么抛物线经过怎样的平移得到？
22．如图，二次函数y=﹣2（x﹣2）2+2的图象．
（1）由图象直接写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；直接写出抛物线与x轴的交点坐标．
（2）将该图象绕顶点旋转180度后，再沿着x轴向左平移3个单位，沿着y轴向下平移3个单位，画出运动后的图象，并写出最后的解析式．
23．如图，已知抛物线y=−x2+2x+m，抛物线过点A(3，0)，与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）在第一象限内的该抛物线有一点D(x，y)，且S△ABD=14S△ABC，求点D的坐标．24．如图，已知抛物线y=x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．
（1）求A、B的坐标；
（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】B
12．【答案】D
13．【答案】-2
14．【答案】﹣4或0
15．【答案】②③④
16．【答案】y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4
17．【答案】k≥0且k≠1
18．【答案】①②④
19．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3
∴﹣1+3=﹣b
﹣1×3=c
∴b=﹣2，c=﹣3
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3
（2）解：∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
∴抛物线的对称轴直线x=1，顶点坐标（1，﹣4）（3）解：设P的纵坐标为|y P|
∵S△PAB=8
∴1
2AB•|y P|=8
∵AB=3+1=4
∴|y P|=4
∴y P=±4
∵点P在x轴上方，∴y P=4
把y P=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3
解得，x=1±2 √2
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2 √2，4）或（1﹣2 √2，4）20．【答案】（1）解：令y=-x2-2x+3中的x=0，得y=3
∴C（0，3）
∴OC=3.
令y=-x2-2x+3中的y=0，得x1=-3，x2=1
∴B（-3，0）
∴OB=3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4
∴D（-1，4）.
过点D作DE△AB于点E，则DE=4，BE=2，OE=1
∴S四边形BOCD=S△BED+S梯形EOCD=12×2×4+12×(3+4)×1=4+3.5=7.5.
（2）解：∵S△BCD=S四边形BOCD-S△BOC
∴S△BCD=7.5-12×3×3=3.
21．【答案】（1）解：设y=a（x﹣1）2﹣4，把点（﹣1，0）代入得：a=1∴函数解析式y=（x﹣1）2﹣4
（2）解：∵抛物线对称轴为x=1
∴当x＞1时，y随x的增大而增大
（3）解：函数y=（x﹣1）2﹣4图象可以由y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到22．【答案】（1）解：由图可知，x＞2时，y随x的增大而减小
抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）
（2）解：运动后图象如图所示
二次函数y=﹣2（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2）
∵绕顶点旋转180度后，再沿着x轴向左平移3个单位，沿着y轴向下平移3个单位
2﹣3=﹣1
2﹣3=﹣1
∴平移后的函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣1）
∴函数解析式为y=2（x+1）2+1．
23．【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+2x+m过点A(3，0)
∴−9+6+m=0，解得m=3
∴抛物线为y=−x2+2x+3
令x=0，则y=3
∴B(0，3)
∵对称轴为直线x=−
2
2×(−1)=1
∴点A(3，0)关于对称轴的对称点为(−1，0)∴C(−1，0)；
（2）解：∵抛物线有一点D(x．y)
∴D(x，−x2+2x+3)
过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E
∴E(x，−x+3)
∵A(3，0)，B(0，3)
∴SΔABC=12×(3+1)×3=6
∴SΔABD=14SΔABC=32
∵SΔABD=SΔADE+SΔBDE
∴12(−x2+2x+3+x−3)×3=32
解得x=3±√5
2
∴y=−x2+2x+3=5±√5
2
∴D(3−√5
2，5+√5
2)
，(3+√5
2
，5−√5
2)
．
24．【答案】（1）解：令y=0，即x2+x﹣6=0
解得x=﹣3或x=2
∵点A在点B的左侧
∴点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）
（2）解：∵当y＜0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜2。