向量测试题

向量测试题
1. 向量加法问题：
- 给定两个向量 \( \vec{a} = (3, 4) \) 和 \( \vec{b} = (1, 2) \)，求它们的和 \( \vec{a} + \vec{b} \)。

2. 向量减法问题：
- 如果 \( \vec{a} = (2, 5) \) 和 \( \vec{b} = (-1, 3) \)，
求 \( \vec{a} - \vec{b} \)。

3. 向量数乘问题：
- 计算 \( 2 \vec{a} \)，其中 \( \vec{a} = (-1, 3) \)。

4. 向量点乘问题：
- 给定 \( \vec{a} = (x, y) \) 和 \( \vec{b} = (z, w) \)，
写出它们点乘的公式，并计算 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 当
\( \vec{a} = (1, 2) \) 和 \( \vec{b} = (3, 4) \)。

5. 向量叉乘问题：
- 假设 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 是三维空间中的向量，
求 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的叉乘 \( \vec{a} \times
\vec{b} \)，其中 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \) 和 \( \vec{b} = (4, 5, 6) \)。

6. 向量模长问题：
- 求向量 \( \vec{a} = (3, 4, 5) \) 的模长。

7. 向量方向问题：
- 给定向量 \( \vec{a} = (2, -3) \)，求它的单位向量。

8. 向量投影问题：
- 在向量 \( \vec{b} = (4, 5) \) 上，求向量 \( \vec{a} = (3, 4) \) 的投影。

9. 向量角度问题：
- 如果 \( \vec{a} = (1, 0) \) 和 \( \vec{b} = (0, 1) \)，
求它们之间的夹角。

10. 向量线性组合问题：
- 给定两个向量 \( \vec{a} = (2, 3) \) 和 \( \vec{b} = (-1, 1) \)，求 \( \lambda \vec{a} + \mu \vec{b} \) 的表达式，并找
出 \( \lambda \) 和 \( \mu \) 的值，使得结果向量为零向量。

11. 向量空间问题：
- 确定向量 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (4, 5, 6) \) 和 \( \vec{c} = (7, 8, 9) \) 是否构成一个基。

12. 向量分量问题：
- 给定向量 \( \vec{a} = (5, 12) \)，求它在 \( x \) 轴和
\( y \) 轴上的分量。

13. 向量旋转问题：
- 将向量 \( \vec{a} = (3, 4) \) 绕原点逆时针旋转
\( 90^\circ \)，求旋转后的向量。

14. 向量方程问题：
- 给定一个向量方程 \( \vec{r}(t) = (2t, 3t^2) \)，求 \( t = 1 \) 时的位置向量。

15. 向量平面问题：
- 给定两个不共线的向量 \( \vec{a} = (1, 2) \) 和
\( \vec{b} = (3, 4) \)，求它们所确定的平面上的点 \( \vec{p} \)，使得 \( \vec{p} \) 到 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的距离相等。