大学物理实验课后习题答案-西安交大张永利主编

第一章误差估算与数据处理方法
课后习题答案
1．指出下列各量有效数字的位数。

(1)kV 有效位数：4 (2)mm 有效位数：3 (3)kg 有效位数：5 (4)自然数有效位数：无限位
2．判断下列写法是否正确，并加以改正。

(1)A mA
错，0.0350A 有效位数为3位，而35mA 有效位数为2位，二者物理意义不同，
不可等同，应改为A mA 。

(2)kg
错，测量结果(即最佳估计值)有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。

测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“”的形式。

故应将上式改成kg 。

(3)
km
错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。

因此，上式应改为。

(4)A 正确。

3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。

3.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.2638
3.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.26 4．按有效数字的确定规则，计算下列各式。

(1)
000.1=U 000123.0=L 010.10=m 40350.0=I 35=0350.0=I 1
1050.3⨯=()3.0270.53+=m 270.53=m ±()3.03.53±=m (
)2000
103.274
±⨯=h ()km
h 4
102.03.27⨯±=()004.0325.4±=x ?6386.08.7537.343=++
解：原式 (2)
解：原式 (3)
解：原式 (4)
解：原式
5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。

(1)(K 为常数)
解：
(a )绝对不确定度：
(b )相对不确定度：
其中，、分别表示A 、B 量的合成不确定度。

(2)
解：
(a )绝对不确定度：
(b )相对不确定度：
8.41981.41964.08.7537.343==++=?543.76180.845.88=--73.3727.3543.76180.845.88==--=?5.20725.0=⨯18.05.20725.0=⨯=()?001.247.0052.042.8=÷-+()00.4001.200.8001.247.0052.042.8=÷=÷-+=(
)
2
22
1B
A K Q +=
()(
)(
)()()
()()
2
22
22
2
22
2
22
2
222
1 21B
A
B
A
B
A B A C u B u A K
u B u A K
u
B B
A u
A B
A K u
B Q u A Q Q u +=+=
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂+∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂+∂=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=()()()
()
()()
2
22
2
2
2
2
22
2
1B
A u
B u A B
A K u
B u A K
Q
Q u E b
A
b
A
C ++=
++==
A u
B u ()F
D
C B A
N 2
112
--=
()()()()()2
222
222
2
2
22
2
2
22
222
2
2
2
2
21211 212111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
F D C B A F D C B A F D C B A C u u C B A D u D A u D A u A D
C B u u
D C B A u D A u D A u D C B A u F N u D N u C N u B N u A N N u
其中，、、
、、分别表示A 、B 、C 、D 、F 量的合成不确定度。

(3)
解：
(a )绝对不确定度：
(b )相对不确定度：
其中，、分别表示A 、B 量的合成不确定度。

(4)
解：
(a )绝对不确定度：
()
()()()F C B A u u C B A D u D A u D A u A D C B N
N u E F D C B A C 2
11
21211 22
222
222
2
--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
=
A u
B u
C u
D u F
u A
B A f 42
2
-=
()()[]()[]
()
()
2
2
222
22
22
22
22
2
22
2
22
2214
1 //41 4/4/4/4/ 44⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂-∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-∂=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-∂+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∂⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-∂=⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
B A B A B A B A B A
C u A B u A B u B A B A u A A B A u B A B A u A A B A u B
A B A u A A B
A u
B f u A f f u ()
()2
2
2
2
222
22
2
22
24214
1
B
A u
B u A B A A
B A u A B u A B f
f u E B A B A C -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=
-⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=
=
A u
B u 4
2
h d V π=
(b )相对不确定度：
其中，、
分别表示d 、h 量的合成不确定度。

6．用最小刻度为0.1cm 的米尺对物体进行长度测量，其数据为9.92，9.94，9.87，9.86，9.91，若置信概率为，则测量结果应该表示为?
解： (1)最佳值
(2)不确定度
A 类分量：
()()()()
2
22
222
224
424h
d
h d h d C u d u h d u d u d h u h V u d V V u +=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
πππ()
()()
2
22
2
2
24
24
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
+==
h u d u h d u d u h d V
V u E h d h
d
C ππd
u h
u ()=cm L %5.95L )
(900.95
50.495
91
.986.987.994.992.955
1
cm L
L i i
==
++++=
=
∑=d
u ()()
()
()()()()
()
cm
L L
S L u i i
L A 016.010
516.110
30.210
.20460
.201046 20
0.1160.9160.410
20
1
4342
10
20
01
.004.003.004.002.0 4
5900.991.9900.994.9900.992.9 1552
2
2
4
4
2
2222
4
2
2
2
2
2
2
225
1
2
=⨯=⨯=⨯=
⨯=
++++=++++=
++++=⨯-++-+-=
--=
=------=∑ 平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。

加、减法中间计算结果的末位与运算各数据中末位数数
量级最大的那一位
对齐(如9.92)，不必再多取一位。

乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字
加、减法中间计算结果的末位与运算各数据中末位数数量级最大的那一位
对齐(如16)，不必
中间过程的不确定度可多取一位有效数字(两位)，且遵
常数
可根据具体计
算需要多取几位有效数
3
米尺的仪器误差取其最小刻度的
一半，即0.05cm 。

B 类分量：
L 的合成不确定度：
由于置信概率为，则扩展不确定度
(3)测量结果表示
7．用量程为20mA ，准确度等级为0.5级的电流表测量某电流的指示值为15.00mA ，其测量结果的最大误差为？
解：
测量结果的最大误差即仪器误差。

仪器误差=量程准确度等级%，而与测量指示值15.00mA 无关。

该题测量结果的最大误差。

注意，仪器误差通常取一位有效数字。

8．用千分尺(仪器极限误差为mm )测量一钢球直径6次，测量数据为：14.256、14.278、14.262、14.263、14.258、14.272(mm )；用天平(仪器极限误差为g )测量它的质量1次，测量值为：g ，试求钢球密度的最佳值与不确定度。

解：密度为间接测量量，直径d 与质量m 为直接测量量，故应按间接测量数据处理方法来求测量结果。

1．直径d 的处理 (1)最佳值
(2)不确定度
A 类分量：
()cm
L u B 028.0732
.105.03
==
∆=
仪
()()cm
L u L u u B A C 04.01040.101084.756.210
8.26.12
3
2
22
2
2
=⨯=⨯+=⨯+=
+=
---%5.95%
80.0900
.908.008.004.022====⨯=⨯=L
U E cm
u U C ()()
%80.0%5.95 /08.090.93
==±=E P cm g ρ⨯)(1.0%5.020mA =⨯=004.0±06.0±84.11ρd mm
d
d i i
2648.146
272
.14278.14256.1466
1
=+++=
=
∑= 平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。

乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字
绝对不确定度保留一位有效数字，且遵循“只进不舍”的取舍原则。

B 类分量：
d 的合成不确定度：
2．质量m 的处理
由于质量m 为单次测量值，因此不存在标准不确定度的A 类分量
，并且B 类分量
，则质量m 的合成不确定。

3．密度ρ的处理 (1)最佳值
(2)合成不确定度
密度与质量和直径之间的函数为简单乘除关系，可先计算相对不确定度E 。

()()
()
()()()()
()mm
d
d
S d u i i
d A 0035.010
03.1210
00.3036100
.3010361 30
49490.40.9169
8110
30
7
723139
10
30
007
.0007.0002
.0003.0013.0009
.0 5
62648
.14272
.142648.14278
.142648
.14256
.14 1663
3
6
6
2
2
2
2
2
2
6
2
2
2
2
2
2
2
226
1
2
=⨯=⨯=
⨯=
+++++=
+++++=
+++++=
⨯-++-+-=
--=
=-----=∑ ()mm
d u B 0023.0732
.1004.03
==∆=
仪()()mm
d u d u u B A d 0042.010
5.1710
29.52.1210
3.25.33
3
3
222
2
=⨯=⨯+=⨯+=
+=
---()
m u A ()g
m u B 06.0=∆==仪仪σ()g
m u u B m 06.0==ρ()3
3
3
/790.79028
.21416.384.116 90279
.214159.384.1164265.114159.384.1166cm
g cm g d
m
=⨯⨯=⨯⨯=
⨯⨯=
=
πρ()
ρC u 应比运算各数中有效数
字位数最多的(如1.42648)
还多取一位。

π乘除法运算以各运算数据中有效数字位数最少的为准(11.84有效数字位数为4)，其余数据在中间计算过程中可多取一位有效数字(即5位)。

密度7.790是最后计算结果，其有效数字的位数与11.84(有效数字位数最少)一致，不要再多取一位有效数字。

乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字位数多取一位，以免取舍造成的误差过大。

密度
的合成不确定度：
(3)最终结果为
9．示波管磁偏转实验中，偏转距离与电流之间关系数据如下表所示。

出之间的关系式； (2)用逐差法求出之间的关系式。

解：
(1)由图可看出，之间成一次函数关系，因此可设的关系式为。

在图中任取两点
和，可得斜率
将第三点
以及斜率k 代入设定的关系式中，可得截距
因此I 与L 的关系式为
(2)逐差法
由于有8组数据，所以数据处理应采取隔4项()逐差的方法，则L 每次改变时，电流改变值的算术平均值为
()
()()
%
51.010
8.25100.2578.010
0.257761.0 10
0.5881.0100.510881.0 1206.03.140042.0384.1106.02648.140042.03 3ln ln 3
33
3
2
2
2
32
32
2
2
2
2
22
2=⨯=⨯+=⨯+=⨯+=
⨯+⨯=
⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=
=
------m u d u u m u d u E m d m d C ρρρ
ρρ
()3
/04.0%51.0790.7cm
g E u C =⨯=⋅=ρρ()()
%
51.0%3.68 /04.079.73
==±=E P cm g ρL
I -L I -L I -L I -b kL I +=()
1.9 0.81，P ()0.04 0.382，P 03
.10
.309.300
.80.381.90.40==--=
k ()
2.52 0.213，P 9.087.06
3.215.220.2103.15.22==-=⨯-=b 9
.003.1+=L I 2/80.20=∆L 5
1015
20
25
30
35
40
45
510152025303540
m m
L /45
关系式的斜率为
任取一组数据(如(30.0，31.6))代入关系式中，可得截距
因此I 与L 的关系式为：
10．已知某两个量与之间具有关系，测量数据如下表所示。

用最小二乘法写出与的关系式。

解：
k 、b 的最佳值、为
()()()()
9
.204
7.834
4837
26154==
-+-+-+-=
∆I I I I I I I I I L
I -04
.10
.209.204==∆∆=
L
I k L I -4.020.316.310.3004.16.31=-=⨯-=b 4
.004.1+=L I u L b ku L +=u L 3
6
133
10
1833.3610671.216106
44
.6343.1975.86
1
⨯=⨯=
⨯+++==
∑=i i u u 2
6
1
2
2
10
243.1310
6
46.7910
6
83
.2570.572.06
1
-=--⨯=⨯=
⨯+++=
=
∑i i L L 6
66
2
2
2
2
2
2
6
1
2
2
10
77.16561066.9940 10
6
44
.6371.5286.4152.3043.1975.86
1
⨯=⨯=⨯+++++=
=
∑=i i
u u 3
11
1
6
1
10
39000.6106
0.3834 10
6
6.16386.109178.65692.3298.11030.6 10
683
.2544.6370.543.1972.075.86
1
⨯=⨯=
⨯+++++=⨯⨯++⨯+⨯=
=
∑= i i
i
L u uL k ˆ
b ˆ
(
)(
)
()
6
3
3
3
2
2
6233
2
3
2210
5988.4 10
54
.34759825.110
77
.1656231.130939000.64.79175 10
77.16561833
.3639000
.610
243.131833.36 10
77.1656101833.361039000.610243.13101833.36ˆ------⨯=⨯=
⨯--=
⨯--⨯⨯=⨯-⨯⨯-⨯⋅⨯=--⋅=u u uL L u k
因此，待求关系式为
()()()()()033967
.054
.347805.11 77
.1656231.1309406.2192113.23177
.16561833
.365677
.16243.1339000.61833.36 10
77.165610
1833
.361077.165610243.131039000.610
1833
.36ˆ2
6
2
36
2
3
3
2
2
2
-=-=--=
-⨯-⨯=
⨯-⨯⨯⋅⨯-⨯⋅⨯=
-⋅-⋅=-u
u u L uL u b
033967.010
5988.46
-⨯=-u L。