九年级数学上册期末试卷综合测试卷(word含答案)

九年级数学上册期末试卷综合测试卷（word 含答案）
一、选择题
1．如图，矩形ABCD 中，3AB =，8BC =，点P 为矩形内一动点，且满足
PBC PCD ∠=∠，则线段PD 的最小值为（ ）
A ．5
B ．1
C ．2
D ．3 2．如图，CD 为
O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径
为（ ）
A ．5
B ．8
C ．3
D ．10
3．如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8，则EF ＝（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4 4．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）
B ．（－2，－1）
C ．（2，1）
D ．（2，－1） 5．抛物线y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( ) A ．(0，﹣1)
B ．(﹣2，﹣1)
C ．(2，﹣1)
D ．(0，1) 6．如图，已知正五边形ABCD
E 内接于O ，连结,BD CE 相交于点
F ，则BFC ∠的度
数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．90︒ 7．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤ 8．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如
下表： x
2- 1- 0 1 2 y
5 0 3- 4- 3-
以下结论： ①二次函数2
y ax bx c =++有最小值为4-；
②当1x <时，y 随x 的增大而增大；
③二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点； ④当13x
时，0y <. 其中正确的结论有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9．方程x 2=4的解是（ ）
A ．x=2
B ．x=﹣2
C ．x 1=1，x 2=4
D ．x 1=2，x 2=﹣2
10．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +a ﹣1＝0没有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．a ＜﹣2 D ．a ＞﹣2
11．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似
中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A ．12a -
B ．1(1)2a -+
C ．1(1)2a --
D ．1(3)2
a -+ 12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣
b 2＜0；②4a+
c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
14．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.
15．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.
16．数据2，3，5，5，4的众数是____．
17．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．
18．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A 、B 、C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝3，且12
m n =，则m ＋n 的最大值为___________．
19．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣3m
+2010的值为_____． 20．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ．
21．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__．
22．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．
23．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34
，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．
24．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。

三、解答题
25．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G .
（1）求CD 的长.
（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF DF
的值. （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得
60CPG ∠=︒?
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数13y x =-的图像与x 轴交于点A .二次函数22y x bx c =-++的图像经过点A ，与y 轴交于点C ，与一次函数13y x =-的图像交于另一点()2,B m -.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当12y y >时，直接写出x 的取值范围；
（3）平移AOC ∆，使点A 的对应点D 落在二次函数第四象限的图像上，点C 的对应点E 落在直线AB 上，求此时点D 的坐标.
27．华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x 元(x 为正整数)，每天的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
28．已知，如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
29．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元时，日盈利为w元.据此规律，解决下列问题：
（1）降价后每件商品盈利元，超市日销售量增加件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？
30．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
31．如图，BD、CE是ABC的高．
∽；
（1）求证：ACE ABD
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
32．（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝
时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P点应该在以BC为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决.
【详解】
如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，∠BCD=90°,
∴∠PCD+∠PCB=90°,
∵PBC PCD
∠=∠,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
∴∠BPC=90°,
∴点P在以BC为直径的圆⊙O上，
在Rt△OCD中，OC=11
84
22
BC,CD=3，
由勾股定理得，OD=5，
∵PD≥OD OP ,
∴当P,D,O三点共线时，PD最小，∴PD的最小值为OD-OP=5-4=1.
故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P 点的运动轨迹是解答此题的关键.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
作辅助线，连接OA ，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r ，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图，连接OA ，
设圆的半径为r ，则OE=r-2，
∵弦AB CD ⊥,
∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：()2
2242r r =+-，
解得：r=5，
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答. 3．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．
【详解】
解：∵a ∥b ∥c ，
∴AB DE BC EF
=, ∵AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8,
∴1.5 1.8
2EF
= , ∴EF=2.4
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．
【详解】
解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.
【详解】
解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，
∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD和∠BOE的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC和∠BCF的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】
解：连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则∠COD=∠AOB=∠AOE=360
72
5
︒
=︒，
∴∠BOE=144°，
∴1362DBC COD ∠=∠=︒，1722
BCE BOE ∠=∠=︒， ∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.
【详解】
将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+=
∴4164t x ±-= ∵15x <<
∴54t -<≤
故答案为D .
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据表中数据，可获取相关信息：抛物线的顶点坐标为（1，－4），开口向上，与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），据此即可得到答案.
【详解】
①由表格给出的数据可知（0，-3）和（2，-3）是一对对称点，所以抛物线的对称轴为202
+=1，即顶点的横坐标为x=1，所以当x=1时，函数取得最小值－4，故此选项正确； ②由表格和①可知当x ＜1时，函数y 随x 的增大而减少；故此选项错误；
③由表格和①可知顶点坐标为（1，－4），开口向上，∴二次函数2y ax bx c =++的图象
与x 轴有两个交点，一个是（－1，0），另一个是（3，0）；故此选项错误；
④函数图象在x 轴下方y<0，由表格和③可知，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），∴当13x
时，y<0；故此选项正确；
综上：①④两项正确，
故选：B ．
【点睛】
本题综合性的考查了二次函数的性质，解题的关键是能根据二次函数的对称性判断：纵坐标相同两个点的是一对对称点． 9．D
解析：D
【解析】
x 2=4，
x =±2.
故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意得根的判别式0<，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】
∵1a =，2b =-，1c a =-，
由题意可知：
()()2
2424110b ac a =-=--⨯⨯-<⊿，
∴a ＞2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式24b ac =-⊿：当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根． 11．D
解析：D
【解析】
【分析】
设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣1
2
（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
二、填空题
13．【解析】
试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4
解析：【解析】
试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．
考点：方差．
14．y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移
解析：y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
15．【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.
【详解】
解：∵AC、BD相交所成的锐角为
∴根据四边形的面积公式得出，
设AC=x ，则BD=8-
解析：【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒，再根据sin 60︒=
()1 S 82x x =-. 【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出，1S sin 602AC BD =
⨯⨯︒ 设AC=x ，则BD=8-x
所以，())21S 842x x x =-=-+
∴当x=4时，四边形ABCD 的面积取最大值
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.
16．5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案
解析：5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
17．720（1+x ）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019 解析：720（1+x ）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x ，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．
【详解】
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x ，
则2018的全年收入为：720×（1+x ）
2019的全年收入为：720×（1+x ）2．
那么可得方程：720（1+x ）2=845．
故答案为：720（1+x ）2=845．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
18．【解析】
【分析】
过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过作于，延长交于，过作于，过 解析：274
【解析】
【分析】
过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE BN x ==，CF BM y ==，得到3DM y =-，4DN x =-，根据相似三角形的性质得到xy mn =，29y x =-+，由12
m n =，得到2n m =，于是得到
()3m n m +=最大，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，
设AE BN x ==，CF BM y ==，
3BD =，
3DM y ∴=-，3DN x =-， 90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
EAB CBF ∴∠=∠，
ABE BFC ∴∆∆∽，
∴AE BE BF CF
=，即x m n y =， xy mn ∴=， ADN CDM ∠=∠，
CMD AND ∴∆∆∽，
∴AN DN CM DM
=，即3132m x n y -==-， 29y x ∴=-+，
1
2
m n =， 2n m ∴=，
()3m n m ∴+=最大，
∴当m 最大时，()3m n m +=最大，
22(29)292mn xy x x x x m ==-+=-+=，
∴当92(29)4x =-
=⨯-时，28128mn m ==最大， 94
m ∴=最大， m n ∴+的最大值为927344
⨯=． 故答案为：274
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m的函数解析式是解题的关键．19．2019
【解析】
【分析】
根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】
解
解析：2019
【解析】
【分析】
根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝
3m，两边同时除以m得：5m﹣1
m
＝3，然后整体代入即可求得答案．
【详解】
解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴5m2﹣3m﹣1＝0，
∴5m2﹣1＝3m，
两边同时除以m得：5m﹣1
m
＝3，
∴15m﹣3
m
+2010＝3（5m﹣
1
m
）+2010＝9+2010＝2019，
故答案为：2019．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键. 20．2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为1203
180
π⨯
=2π，
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．21．74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=，
故答案为：74.
【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 解析：74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=705602903
74
523
，
故答案为：74.
【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 22．4
【解析】
【分析】
先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】
解：两位数一共有99-10+1=90个，
上升数为：
共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
概率为36÷90=
解析：4
【解析】
【分析】
先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：两位数一共有99-10+1=90个，
共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
概率为36÷90=0.4．
故答案为：0.4．
23．或
【解析】
【分析】
如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE ＝AB＝5
解析：20
9
或
14
5
【解析】
【分析】
如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，
根据相似三角形的性质得到DF＝20
9
；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE
交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】
如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，
连接FH，则HF⊥AC，
∴DF＝HF，
∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝
BC AC ＝34
， ∴AC ＝4，AB ＝5， 将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ， ∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4， ∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，
∴FH ∥CD ，
∴△EFH ∽△EDC ，
∴FH CD ＝EF DE ， ∴4DF ＝55
DF ， 解得：DF ＝
209； 如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，
∵∠A ＝∠D ，∠AEH ＝∠DEC
∴∠AHE ＝90°，
∴点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，
∴△DEC ∽△DBH ，
∴
DE BD ＝CD DH ， ∴57＝4DH
， ∴DH ＝
285， ∴DF ＝145
， 综上所述，当FD ＝
209或145时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切， 故答案为：
209或145
． 【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．2或
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC 的中点H ，连接AH ．
∵AB=AC，BH=CH ，
∴AH⊥BC，设BC=AH=2a ，则BH=CH=a ，
∴t
解析：2或
153
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC 的中点H ，连接AH ．
∵AB=AC ，BH=CH ，
∴AH ⊥BC ，设BC=AH=2a ，则BH=CH=a ，
∴tanB=2AH a BH a
==2． ②取AB 的中点M ，连接CM ，作CN ⊥AM 于N ，如图2．
设CM=AB=AC=4a ，则BM=AM=2a ，
∵CN ⊥AM ，CM=CA ，
∴AN=NM=a ，
在Rt △CNM 中，()22=154a a a -， ∴tanB=151533
a a =，
故答案为2． 【点睛】 本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、“好玩三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
25．（1）DC =；（2）
23EF DF =；（3）当DM =DM <<时，满足条件的点P 只有一个.
【解析】
【分析】
（1）由角平分线定义得30DAC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.
（2）由题意易求得BC =BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆，根据全等三角形性质得DF AG =，根据相似三角形判定得
~BFE BGA ∆∆，由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC
==，将DF AG =代入即可求得答案.
（3）由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：
①当Q 与DE 相切时，结合题意画出图形，过点Q 作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG ，设Q 半径为r ，由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；
②当Q 经过点E 时，结合题意画出图形，过点C 作CK AB ⊥，设Q 半径为r ，在Rt EQK ∆中，根据勾股定理求得r ，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；③当Q 经过点D 时，结合题意画出图形，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，由此可得DM 长.
【详解】
（1）解：∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， ∴1302
DAC BAC ∠=∠=︒．
在Rt ADC ∆中，tan 30DC AC =⋅︒=
（2）解：易得，BC =，BD =
由DE AC ，得EDA DAC ∠=∠，DFM AGM ∠=∠．
∵AM DM =，
∴DFM AGM ∆≅∆，
∴AG DF =．
由DE AC ，得~BFE BGA ∆∆， ∴EF BE BD AG AB BC
== ∴4323
63EF EF BD DF AG BC ==== （3）解：∵60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，
∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.
①当Q 与DE 相切时，如图1，
过Q 点作QH AC ⊥，
并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG
设Q 的半径QP r =则12QH r =，1232
r r +=， 解得433r =
． ∴43343
CG =⨯=，2AG =． 易知DFM
AGM ∆∆，可得43DM DF AM AG ==，则47DM AD = ∴1637DM =
． ②当Q 经过点E 时，如图2，
过C 点作CK AB ⊥，垂足为K ．
设Q 的半径QC QE r ==，则33-QK r =．
在Rt EQK ∆中，()221332r r +-=，解得1439r =
， ∴14143393
CG =⨯= 易知DFM
AGM ∆∆，可得1435DM = ③当Q 经过点D 时，如图3，
此时点M 与点G 重合，
且恰好在点A 处，可得43DM =
综上所述，当1637DM =
143435DM <P 只有一个. 【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
26．（1）2y x 2x 3=-++；（2）2x <-或3x >；（3）()4,5D -.
【解析】
【分析】
（1）先求出A,B 的坐标，再代入二次函数即可求解；
（2）根据函数图像即可求解；
（3）先求出C 点坐标，再根据平移的性质得到3EF FD ==，设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，把D 点代入二次函数即可求解.
【详解】
解：（1）令0y =，得3x =，∴()3,0A .把()2,B m -代入3y x =-，解得()2,5B --. 把()3,0A ，()2,5B --代入2
y x bx c =-++，
得093542b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩，∴23b c =⎧⎨=⎩
， ∴二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++.
（2）由图像可知，当12y y >时，2x <-或3x >.
（3）令0x =，则3y =，∴()0,3C .
∵平移，∴AOC DFE ∆≅∆，∴3EF FD ==.
设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，
∴()()2
63233a a a -=-++++，∴11a =，26a =-（舍去）. ∴()4,5D -.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.
27．（1）y=﹣5x 2+110x +1200；(2) 售价定为189元，利润最大1805元
【解析】
【分析】
利润等于（售价﹣成本）×销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；
【详解】
（1）y ＝（200﹣x ﹣170）（40+5x ）＝﹣5x 2+110x +1200；
（2）y ＝﹣5x 2+110x +1200＝﹣5（x ﹣11）2+1805，
∵抛物线开口向下，
∴当x ＝11时，y 有最大值1805，
答：售价定为189元，利润最大1805元；
【点睛】
本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键．
28．（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；
（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(12)+或(12)-．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解；
（2）S △DAC =2S △DCM ，则()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+，
将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，
故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，
则点()3,5B ，
将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB 的表达式为：21y x =-；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ，
过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2,28D x x x -++，点(),21H x x -， ∵2DAC DCM S S ∆∆=，
则()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5），
故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++，
①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++，
解得：6s =或﹣4，
故点()6,16P -或()4,16--；
②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，
解得：1s =±
故点()12P 或()12；
综上，点()6,16P -或()4,16--或()12或()12．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
29．（1）(30-x );10x ；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元.
【解析】
【分析】
（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x 元，超市平均每天可多售出10x 件；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w ，化为一般式后，再配方可得出结论．
【详解】
解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x 件；
（2）设每件商品降价x 元时，利润为w 元
根据题意得：w =(30-x )(100+10x )= -10x 2+200x +3000=-10(x -10)2+4000
∵-10<0，∴w 有最大值，
当x =10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；
答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w 关于x 的二次函数解析式是解题的关键．
30．（1）30，10；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元.
【解析】
【分析】
（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【详解】
（1）本次调查的样本容量是6118530+++=，这组数据的众数为10元；
故答案为30，10；
（2）这组数据的平均数为6511108155201230
⨯+⨯+⨯+⨯=（元）； （3）估计该校学生的捐款总数为600127200⨯=（元）．
此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
31．（1）见解析；（2）BC ＝
253
． 【解析】
【分析】
（1）BD 、CE 是ABC 的高，可得90ADB AEC ∠=∠=︒，进而可以证明
ACE ABD ∽； （2）在Rt ABD 中，8BD =，6AD =，根据勾股定理可得10AB =，结合（1）ACE ABD ∽，对应边成比例，进而证明AED ACB ∽，对应边成比例即可求出BC 的长．
【详解】
解：（1）证明：BD 、CE 是ABC ∆的高，
90ADB AEC ∴∠=∠=︒，
A A ∠=∠，
ACE ABD ∴∽；
（2）在Rt ABD 中，8BD =，6AD =，
根据勾股定理，得
10AB ==，
ACE ABD ∽， ∴AC AE AB AD
=， A A ∠=∠，
AED ACB ∴∽， ∴DE AD BC AB
=， 5DE =，
5102563
BC ⨯∴==． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
32．（1）2
m n
；（2）见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．
（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB AC
AC AP
=,即
m n
n AP
=,∴AP=
2
m
n
.
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【点睛】
本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．。