高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.4 直线、平面垂直的判定与性质课件

∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥AA1,又AA1∩AD=A,AA1⊂平面A1AD,AD⊂平面A1AD,
∴BD⊥平面A1AD,又BD⊂平面A1BD,
∴平面A1BD⊥平面A1AD.
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考点1
考点2
考点3
1
(2)解 连接 A1C,S 四边形 ABCD=2S△ABD=2×2AD×BD=√3,
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知识梳理
双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( × )
(2)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )
(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α. (
思考证明线面垂直的常用方法有哪些?
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考点1
考点2
考点3
证明 (1)因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD.
因为AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
所以PH⊥平面ABCD.
(2)如图,取PA的中点M,连接MD,ME.
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意,由l⊥β,l⊂α可以推出α⊥β;反过来,由α⊥β,l⊂α不能
推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,故选A.
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知识梳理
双基自测
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3.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间
故 x=2.
从而可得 AE=EC=ED=√6.
所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为√5.
故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2√5.
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考点1
考点2
考点3
解题心得1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.
2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可
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考点1
考点2
考点3
考点 2
平面与平面垂直的判定与性质
例2如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面
ABCD.
(1)证明:平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为
锥的侧面积.
思考证明面面垂直的常用方法有哪些?
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(3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是△ABC的 外
心.
解析 (1)P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,可知O到
△ABC三边距离相等,即O是△ABC的内心;(2)由PO⊥平面ABC且
BC⊂平面ABC,得PO⊥BC,又PA⊥BC,PO与PA是平面POA内两条相
交直线,所以BC⊥平面POA,从而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O是
√6
,求该三棱
3
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考点1
考点2
考点3
(1)证明 因为四边形ABCD为菱形,
所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,
所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.
又因为AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.
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考点1
考点2
考点3
(2)解 设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,
a⊥b
a⊥α,b⊥α
a∥b
性质
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知识梳理
双基自测
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是
说这两个平面互相垂直.
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直二面角
,就
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知识梳理
双基自测
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面经过另一个
判定
平面的一条 垂线
到 P 的位置,且 AP=√3,得到如图②所示的四棱锥 P-ABCE.
(1)求证:AP⊥平面ABCE;
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:AB∥l.
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考点1
考点2
考点3
证明 (1)在△CDE 中,
5
∵CD=ED=√7,cos∠EDC=7,
由余弦定理得 CE=2.连接 AC,
△ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC与底面所成的角相等,易得
Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,从而OA=OB=OC,所以O是△ABC的
外心.
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知识梳理
双基自测
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5.如图,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,
AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;
,那
定理
么这两个平面互相垂直
l⊂β
⇒α⊥β
l⊥α
如果两个平面互相垂直,
性质 那么在一个平面内垂直于
定理 它们 交线 的直线垂直
于另一个平面
α⊥β
α⋂β = a
⇒l⊥α
l⊂β
l⊥a
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知识梳理
双基自测
3.常用结论
(1)线面平行或垂直的有关结论
①若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个
因为E是PB的中点,
1
AB.
2
1
DF AB,所以
2
所以 ME
又因为
ME
DF,
所以四边形MEFD是平行四边形,所以EF∥MD.
因为PD=AD,所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD,所以MD⊥AB.
因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.
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考点1
考点2
考点3
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
思考处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想方法是什
么?
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考点1
考点2
考点3
证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
) √
(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一
个平面.( × )
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.
( ×)
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双基自测
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2.设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的
( A )
A.充分不必要条件
√3

2
可得 AG=GC= x,GB=GD= .
2
√3
因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= 2 x.
√2
由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE= 2 x.
由已知得,
1
3
1
2
√6
√6
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三棱锥 E-ACD 的体积 VE-ACD= × AC·
GD·
BE= x3= .
解题心得1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是
利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条
垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面).
2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明
线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的
高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B
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1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
考点1
AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.
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知识梳理
双基自测
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4.P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影.
(1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC
内
的
心;
垂
(2)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的
心;
1
S
3
1
∴1 - = 四边形 ABCD·
AA1= × √3 × √6 = √2,
3
四边形
√3
设点 C 到 AB 的距离为 h,则 h=
= 2,
√3
则点 C 到平面 ABB1A1 的距离为 h= 2 ,
1
1
1
√2
√3
∴-1 = 3 △1 ·
h=3 × 2×1×√6 × 2 = 4 .
转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直.
3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l⊂α,l⊥β,缺一不可.
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考点1
考点2
考点3
对点训练2
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,AA1⊥
平面ABCD,∠BAD=60°,AB=2,BC=1,AA1= √6
平面.
②若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一
条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
③垂直于同一条直线的两个平面平行.
④一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个
平面也垂直.
⑤两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第
三个平面.
(2)证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件.
∴多面体 A1E-ABCD 的体积 V=1 - + -1 =
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5√2
.
4
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考点1
考点2
考点3
考点 3
平行与垂直的综合问题(多考向)
考向一 平行与垂直关系的证明
例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F
在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,
7.4 直线、平面垂直的判定与性质
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知识梳理
双基自测
1.直线与平面垂直
图
形
条
a⊥b,b⊂α(b 为 α 内的 任意
线)
判
定
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结论
件
一条直
a⊥α
a⊥m,a⊥n,m,n⊂α, m∩n=O
a⊥α
a∥b, a⊥α
b⊥α
2
知识梳理
双基自测
续
图
形
条
件
表
结论
a⊥α, b⊂α
圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,
经计算满足勾股定理)、直角梯形等.
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考点1
考点2
考点3
对点训练 1 如图①,在平面五边形 ABCDE 中,AB∥CE,且 AE=2,
5
∠AEC=60°,CD=ED=√7,cos∠EDC=7.将△CDE 沿 CE 折起,使点 D
∵AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.
又 AP=√3,∴在△PAE 中,PA2+AE2=PE2,即 AP⊥AE.
同理,AP⊥AC.
∵AC∩AE=A,AC⊂平面ABCE,AE⊂平面ABCE,
∴AP⊥平面ABCE.
(2)∵AB∥CE,且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE,
∴AB∥平面PCE.
又平面PAB∩平面PCE=l,∴AB∥l.
知④
正确.
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考点1
考点2
考点3
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质
例1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,
1
PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF= 2 AB,PH为△PAD中
AD边上的高.
求证:(1)PH⊥平面ABCD;
(2)EF⊥平面PAB.
①②④
④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是
.
解析 ①因为AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正
确;②因为AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB,又
AF⊥PB,EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB,故②正确;③因为AF⊥PB,若
AF⊥BC,则AF⊥平面PBC,则AF∥AE,与已知矛盾,故③错误;由①可
考点2
考点3
考向二 探索性问题中的平行与垂直关系
例4如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱
四面体A-BCD(如图2),则在空间四面体A-BCD中,AD与BC的位置关
系是( C )
图①
图②
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.异面且垂直 D.异面但不垂直
解析 在题图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是
斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如题图2,AD与BC变成异面直线,而
原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即
,E为A1B1的中点.
(1)求证:平面A1BD⊥平面A1AD;
(2)求多面体A1E-ABCD的体积.
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考点1
考点2
考点3
(1)证明 ∵AB=2,AD=BC=1,∠BAD=60°,
∴BD= 2 + 2 -2··cos60° = √3,
∴BD2+AD2=AB2,∴BD⊥AD,