北师大版八年级上册 第二章 实数 复习教案

第二章实数复习教案
教学目的
知识与技能:1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进展实数的相关运算.4.理解二次根式、最简二次根式的概念,理解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法那么,会用它们进展有关的简单四那么运算.
过程与方法:1.体验从详细情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.
2.经历数系扩大、探务实数性质及其运算规律、借助计算器探究数学规律等活动过程.
3.理解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能务实数的相反数与绝对值.
4.理解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
情感态度与价值观:1.开展抽象概括才能,并在活动中进一步开展学生独立考虑、合作交流的意识和才能.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,进步应用意识,开展解决问题的才能,从中体会数学的应用价值.
教学重难点
【重点】1.实数的概念和意义.2.会用计算器求平方根和立方根,并能探究一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进展化简,并能利
用化简进展有关实数的简单四那么运算.4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.
【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用. 知识总结 实数分为:
{
实数分类{ 有理数{整数
分数
无理数{
正无理数负无理数平方根{定义:如果一个数x 的平方等于a ,即x 2
=a ,那么这个数x 叫做a 的平方根表示:若x 2=a ,则x =±√a 算术平方根:若x 2=a ,则a 的算术平方根为√a 立方根{定义:如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a ,那么这个数x 叫做a 的立方根表示:若x 3
=a ,则x =√a 3二次根式{定义:形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式重要性质{
(√a )2=a (a ≥0)√a 2=|a |
(√a 3)3=a
√a 33=a 积、商的算术平方根的性质及二次根式的乘、除法法则{
√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)√a b =√a √b
(a ≥0,b >0)√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)√a √a
=√a a (a ≥0,a >0)
专题讲座:
专题一 实数的相关概念、性质和运算
【专题分析】有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法那么和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实数范围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.
无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的根底.实数是中学数学的重要根底,很多数学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.
以下各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
√23,√53
,3.14159265,√9,-π,√3-1,(-√5)2
,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
〔解析〕 整数和分数统称为有理数,无限不循环小数是无理数. 解:3.14159265,√9,(-√5)2
是有理数.√23,√53
,-π,√3-1,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.
[知识总结] 此题考察有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含π的数;③是无限小数且不循环.
[易错提示] (-√5)2=5,是有理数,不是无理数.
【针对训练1】 以下各数-1
3
,√13,4
3π,√-0.0013
,(√2)2中,是无
理数的是 .
〔解析〕 根据无理数的定义判断.故填 √13,4
3
π.
[解题策略] 判断是不是无理数时,不要只看外表形式,如
√-0.0013
=-0.1,(√2)2
=2都是有理数.
计算.
(1) √1
10-√40; (2) 5√12-9 √1
3+1
2
√48.
〔解析〕 此题主要考察实数的运算法那么及二次根式的化简. 解:(1) √1
10
-√40=√
10
-√4·√10=√10
10-2√10=-19√1010
.
(2)5√12-9√1
3+1
2
√48=5√4·√3-9
√3
+
1
2
√16·√3=10√3-9·√3
3+2√3=10√3-3√3+2√3=9√3. 【针对训练2】 (1)a ,b 满足√a -2+|b +3|=0,求(a +b )2021的值; (2)y =√2x -4-2√4-2x +3,求x y 的值.
解:(1)∵√a -2≥0,|b +3|≥0,且√a -2+|b +3|=0,∴
√a -2=0,|b +3|=0,∴a =2,b =-3,∴(a +b )2021=(2-3)2021=(-1)2021
=-1.
(2)∵2x-4≥0,4-2x ≥0,∴2x-4=4-2x =0,∴x =2,∴y =0-0+3=3,∴
x y =23=8.
[解题策略] 运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.
【针对训练3】 ΔABC 中,AB =17,AC =10,BC 边上的高AD =8,那么边BC 的长为多少?
〔解析〕 分ΔABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况.
解:如图(1)所示,当ΔABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.如图(2)所示,当ΔABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9.
[知识总结]此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是ΔABC的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在进步学生运用分类讨论的思想解决数学问题的才能.
专题二与二次根式有关的规律探究题
【专题分析】
二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐关注此类的规律探究题.
在解决此类题目时,通过条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.
1,√2,√3,√6按如下图的方式排列.
假设规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,那么(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()
A.1
B.2
C.2√3
D.6
〔解析〕 假设将上述数阵从左到右,从上到下排成一排,得到由1,√2,√3,√6这四个数循环排列的数列,那么(m , n ) 是第
(1+m -1)(m -1)
2
+n =
m (m -1)
2
+n 个数,即 (4, 2) 是第
4×(4-1)
2+2=8 个数,8÷4=2,故 (4, 2)表示的数是 √6.(21, 2) 是第
21×(21-1)
2
+2=212 个
数,212÷4=53,所以 (21, 2)表示的数是√6,所以 (4,2)与(21,2)表示的两数之积是6.应选D .
【针对训练4】 观察以下各式及其验证过程,然后答复后面的问题.
√2+2
3=2√2
3,验证:√2+2
3=√8
3
=√
22×23
=2√2
3
;
√3+38
=3√38
,验证:√3+38
=√
278
=√
32×38
=3 √3
8.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜测√4+415
的变形结果并
进展验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a (a 为任意自然数,且a ≥2)表示的等式,并给出验证.
〔解析〕 (1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内的分子一样,根号内的分母是分子的平方减去1.
解:(1) √4+415
=4 √4
15
.
验证如下:
√4+
415
= √64
15= √
42×415
= 4 √4
15
.
(2) √n +n
n 2-1=n √n
n 2-1.
验证如下: √n +
n n 2-1
=√
n (n 2-1)+n
n 2-1
=√
n 3
n 2-1
=n √
n
n 2-1
.
阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2=(1+√2)2,擅长考虑的小明进展了以下探究:
设a +b √2=(m +n √2)2(其中a ,b ,m ,n 均为正整数),那么有
a +
b √2=m 2+2n 2+2mn √2,∴a =m 2+2n 2,b =2mn.这样小明就找到了一种把局
部形如a +b √2的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探究并解决以下问题:
(1)当a ,b ,m ,n 均为正整数时,假设a +b √3=(m +n √3)2,用含m ,n 的式子分别表示a ,b ,那么a = ,b = ;
(2)利用所探究的结论,找一组正整数a ,b ,m ,n 填空: + √3=( + √3)2;
(3)a +4√3=(m +n √3)2,且a ,m ,n 均为正整数,求a 的值. 〔解析〕 (1)根据完全平方公式运算法那么,即可得出a ,b 的表达式.∵a +b √3=(m +
n √3)2
,∴a +b √3=m 2+3n 2+2mn √3,∴a =m 2+3n 2,b =2mn.(2)首先确定好
m ,n 的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出a ,b 的值.设m =1,n =1,
那么a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定m,n的值,通过分析得m=2,n=1或m=1,n=2,然后即可确定a的值.
解:(1)m2+3n22mn
(2)421 1
(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn,
∵4=2mn,且m,n为正整数,
∴m=2,n=1或m=1,n=2,
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.
【针对训练5】研究以下算式,你发现有什么规律?
√1×3+1=√4=2;√2×4+1=√9=3;√3×5+1=
√16=4;√4×6+1=√25=5……
请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.
解:√n(n+2)+1=√(n+1)2=n+1(n为正整数).
【针对训练6】先观察以下等式,再答复以下问题:
①√1+1
12+1
22
=1+1
1
-1
1+1
=11
2
;
②√1+1
22+1
32
=1+1
2
-1
2+1
=11
6
;
③√1+1
32+1
42
=1+1
3
-1
3+1
=11
12
.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜测√1+1
42+1
52
的结果,
并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示上面规律的等式(n为正整数).
解:(1) √1+1
42+1
52
=1+1
4
-1
4+1
=11
20
.
验证:√1+1
42+1
52
=√1+1
16
+1
25
=√1+25
400
+16
400
= √441
400
=11
20
.
(2) √1+1
n2+1
(n+1)2
=1+1
n
-1
n+1
=1+1
n(n+1)
(n为正整数).
[方法归纳]找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.
专题三实数与数轴
【专题分析】
数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.
数轴上的点可以表示实数,每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.
如下图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O',点O'所对应的数值是.
〔解析〕圆的周长为2πr,将r=0.5代入,得周长为π.故填π.
【针对训练7】假设√a2=-a, 那么实数a在数轴上的对应点一定在()
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
〔解析〕当a≤0时,√a2=-a.应选C.
【针对训练8】实数a, b在数轴上的位置如下图,化简
|a-√5|+|b-√2|.
〔解析〕由数轴可知1<a<2<√5,-1<b<0<√2.
解:原式=√5-a+√2-b=√5+√2-a-b.
[方法归纳]数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.。