上海市青浦区2020届高三上学期期终学业质量调研(一模)数学试题 Word版含解析

数学试题
2019.12 1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．
3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．
4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”
其含义是：一根
尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则
第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．
5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标
是（，），则sin2α＝．
6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．
7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．
8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．
9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．
10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．
11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．
12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，
（0，1），则||的最大值为．
13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7
14．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）
A．B．C．2p D．
16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，
0，给出下
列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB＝2，AD＝2，P A＝2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）
•．
（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）
，且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．
19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调
研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）
．
（1）求第n个月的当月利润率；
（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，
）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．
（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直
平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．
21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．
（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；
（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；
（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．
1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}
∴A∪B＝{1，3，9}
∴∁U（A∪B）＝{5}，
答案{5}．
2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，
则|z|．
答案：13．
3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，
答案：π6．
4．依题意，第1天“日取其半”后a1；
第2天“日取其半”后a2；
第3天“日取其半”后a3；、
……
∴第n天“日取其半”后a n，
答案：．
5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），
所以，，
所以．
答案：
6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，
则V＝a2h，即h4；
所以此四棱柱的表面积为：
S＝S侧面积+2S底面积
＝4×4×22×22
＝3216．
答案：16+322．
7．∵4x1，x，y∈R+，
∴，即，当且仅当“”时取等号，
答案：116．
8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），
可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，
累加可得：a n＝1，
则a n＝1．
答案：54．答案．
9．根据题意，分2步进行分析：
①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，
②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩
下三人有3×3×3＝27种不同的选法，
则有3×27＝81种不同的分配方法；
答案：81
10．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，
故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，
∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），
∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，
∴m
答案：
11．由y＝f（x）=π1+π2，当且仅当x＝1时取等号，
得x；
又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，
设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），
则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，
且f（x1），f（x2），
所以，
即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，
所以x2•x1＝1，
所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，
所以h，
所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•
π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．
答案：．
12．∵（t﹣1），∴，
则，∴，
设A（x A，y A），P（x P，y P），
∴（x A，y A）＝t（x P，y P），
则，即，将点（）代入双曲线中得：
，∴①，
∵•60，∴||•||
＝|t|•60…②，
由①②得60＝|t|•|t|•，
∴|y A|≤8，
∴||＝|y A|≤8．
则||的最大值为8．
答案：8．
13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，
令n，可得n，
∴当r＝2时，n取得最小值为5，
答案：B．
14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；
若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；
若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．
答案：C．
15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），
所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），
所以，所以，
同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），
所以，整理得，
所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，
则则．
答案：D．
16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，
∴a2019＞1，a2020＜1．
∴0＜q＜1，故①正确；
a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；
∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；
T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，
T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，
∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．
∴正确结论的序号是①③．
答案：B．
17．（1）∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴CD⊥P A．
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而P A、AD是平面P AD的交线．
∴CD⊥平面PDA，
∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△P AD中，AD＝2，P A＝2，
∴PD2．
∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．
（2）[解法一]
如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．
∴（1，，1），（0，2，0），
设与夹角为θ，则cosθ，
∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．
[解法二]
取PB的中点F，连接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，
∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．
∵Rt△P AC中，PC4．
∴AE PC＝2，
∵在△AEF中，EF BC，AF PB
∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．
18．（1），
∴，
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴，解得ω＝1；
（2）由（1）得，
∵，
∴，由0＜A＜π得，，
∴，解得，
由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，
∴．
19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，
当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，
则g（n），
n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n）
，
所以第n个月的当月利润率为g（n）；
（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，
g（n），
g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，
当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，
g（33），g（34），
因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，
即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．
20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，
又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，
所以椭圆的方程为：；
（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），
由OM⊥ON，所以，
，故△OMN面积的最小值为9；
（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），
联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，
，，
所以|AB|，
则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，
令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，
当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），
故M（﹣3，0）或（3，0）．
21．（1）f（x）具有性质P（），
设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，
解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；
（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，
因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，
当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，
即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；
（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，
又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；
假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f （x0+m），
若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），
若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，
f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。