上海外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题

6．设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S5 = 30 ，则 a3 = ___________.
å 7．无穷等比数列 {an } 的首项为
a1 ，公比为 q
，且
+¥ i =1
ai
=
1 2
，则 2a1
+
q
=
________.
8．已知双曲线
x2 a2
-
y2
= 1(a
>
0) 的渐近线与圆
x2
+
y2
-
4y
+3
=
0 相切，则 a
=
_______
__.
9．已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，则点 P 到直线 3x + 4 y +15 = 0 的距离的最小值是____
______．
10．已知数列{an} 的前
n
项和
Sn
=
2n
-1
，则数列
ì1
í î
an
ü ý þ
n 的前
项和 Tn
=
________.
双曲线
x2 a2
-
y2
= 1(a
>
0) 的渐近线方程为
y
=
±
x a
，即
x
±
ay
=
0，
因为双曲线
x2 a2
-
y2
= 1(a
>
0) 的渐近线与圆
x2
+
y2
-4y
+3
=
0 相切，
所以
2a = 1，化简得 3a2 = 1，解得 a = 1+ a2
3 或a=3
3 3
（舍去）.
故答案为： 3 . 3
9．
29 15
= -8 ，则 a2
= -2 ，所以公比 q
=
a2 a1
= -2 ．
故答案为： -2 5．2 【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，据此可得 a、b 的值，计算可得 c 的值，由椭圆的几何性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，椭圆的参数方程为 ìïx = 2cosq （θ 为参数），
í ïî
-
10 11
n
，下列说法正确的是（
）
D．3
试卷第21 页，共33 页
A．{an} 有最大项，但没有最小项 C．{an} 既有最大项，又有最小项
B．{an} 没有最大项，但有最小项 D．{an} 既没有最大项，也没有最小项
三、解答题 17．已知抛物线 C : y2 = 2 px 过点 A(-2, -4) .
因此 C 的离心率为 3 .
解法 2：因为
uuur FN
= b ，所以 FN
垂直于渐近线，则
OF
= c ， ON
=a，
因为
uuuur MF
+
uuur 3FN
=
0
，所以
NM
= 2b ，
在 Rt△OMN 中， tan ÐMON ==
NM NO
19．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 R = 3400km ）
的中心 F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近
的点） A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点） B 到
火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点 A 第一次逆时针运行到与轨道中
【分析】设点
P(
y02 4
,
y0 )
，根据点到直线的距离公式，求得
d
=
3 4
y02
+
4 y0
+ 15
，结合二次
32 + 42
函数的性质，即可求解.
答案第31 页，共22 页
【详解】因为点 P 在抛物线 y2 = 4x
上，设点
P(
y02 4
,
y0
)
，
P
3x + 4 y +15 = 0【详解】解法 1：双曲线的焦点 F（c）, 0 到渐近线 bx - ay = 0 的距离为 bc = b ， a2 + b2
因为
uuur FN
=
b ，所以
FN
垂直于渐近线，如图所示，
答案第51 页，共22 页
则 OF
= c ， ON
= a ， sin ÐOFN =
ON OF
=
a c
(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程;
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为 60° 的直线，交抛物线于 A,B 两点，求线段 AB 的长 度.
18．已知数列{an} 满足： a1
=
7 2
,
an
=
3an -1
-1(n
³
2)
.
(1)求证：数列 ìíîan
-
1ü
2
ý þ
是等比数列；
(2)求数列{an} 的通项公式及其前 n 项和 Sn 的表达式.
【详解】
S5
=
5(a1 +
2
a5
)
=
5a3
=
30
\a3 = 6 . 故答案为：6. 7．1
答案第21 页，共22 页
【分析】根据无穷等比数列求和的性质即可得 a1, q 的等式关系，即可得答案.
【详解】等比数列{an}的首项为 a1 ，公比为 q ，所以 an = a1qn-1 ，
å å( ) +¥
an
+
1 2
，
a1
=
3 知：数列{an} 是以 3
为首项，
1 2
为公差的等差数列，
\ a9
=
3
+
(9
- 1) ´
1 2
=
7
.
故答案为： 7 . 4． -2 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求出 a2 ，再求出公比作答.
答案第11 页，共22 页
【详解】在等比数列{an} 中，因为 a23
= a1a2a3
98
PF2 = ____________
3．数列{an} 中，若 a1
=
3 ，且 an+1
=
an
+
1 2
，则 a9
=
__________.
4．等比数列{an} 中， a1 = 1且 a1a2a3 = -8 ，则公比为______．
5．椭圆
ìï x
í ïî
y
= =
2 cosq sin q
（q
为参数）的焦距为________.
3 4
y02
+
4
y0
+15
32 + 42
=
3 4
(
y0
+
83)2
+
29 3
5
³
29 15
，
当且仅当
y0
=
8 -3
时，等号成立，所以 dmin
=
29 15
，
即点
P
到直线
3x
+
4
y
+
15
=
0
的距离的最小值为
29 15
.
故答案为：
29 15
.
10．
2
-
1 2n-1
.
【分析】利用 Sn 和 Sn-1 求 an ，进而得到
(1)求数列{an} 与{bn} 的通项公式； (2)设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且记Tn = log4bnn ，试比较 Sn 与Tn 的大小.
21．焦距为
2c
的椭圆 G :
x2 a2
+
y2 b2
= 1（a＞b＞0）满足
a、b、c
成等差数列，称
Γ
为“等
差椭圆”． (1)求 Γ 的离心率；
12．过双曲线 C :
x2 a2
-
y2 b2
= 1( a
>
0, b
>
0) 焦点 F
的直线与 C
的两条渐近线的交点分分别
为
uuuur M、N，当 MF
uuur + 3FN
=
r 0 时，
uuur FN
=
b .则 C
的离心率为______.
二、单选题 13．在平面直角坐标系 xOy 中，“ m < 0 ”是“方程 x2 + my2 = 1表示的曲线是双曲线”
的（ ）条件 A．充分不必要 必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不
( ) 14．用数学归纳法证明：12 + 22 +L + n2 +L + 22 +12 = n
2n2 +1 3
（ n 为正整数）从 k 到
k +1 时，等式左边需增加的代数式是（ ）
A． k 2 + (k +1)2
B． k 2 + (k +1)2 + k 2
，所以 C
的离心率 e
=
c a
=
sin
1 ÐOFN
.
因为
uuuur MF
+
uuur 3FN
=
0
，所以，
FM
= 3b .
过作另一条渐近线的垂线，垂足为 P ，则 FP = b ，在直角VMFP 中，
cos ÐMFP =
FP FM
=
1 3
.
因为 ÐMFP = 2ÐOFN ，因为 cos ÐMFP = 1- 2sin2 ÐOFN ，所以 sin ÐOFN = 1 . 3
(2)过 D (0, -a) 作直线 l 与 Γ 有且只有一个公共点，求此直线的斜率 k 的值；
(3)设点 A 为椭圆的右顶点，P 为椭圆上异于 A 点的任一点，Q 为 P 关于原点 O 的对称 点（Q 也异于 A），直线 AP、AQ 分别与 y 轴交于 M、N 两点，判断以线段 MN 为直径 的圆是否过定点？说明理由．
【详解】由椭圆的方程 x2 +y2 =1，可知 a = 3 ，
98
又 P 是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，| PF1 | + | PF2 |= 2a = 6 ，
又 PF1 = 2 ，则| PF2 |= 4 . 故答案为：4. 3． 7 【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.
【详解】由
an+1
=
1
= 1 ，故
sin2 a + cos2 a
直线 xsina + ycosa = 1总与定圆 x2 + y2 = 1 相切，③正确； 对④：当常数大于两定点的距离时动点 P 的轨迹才是椭圆，故④错误； 故答案为：③ 12． 3 【分析】依题意， FN 垂直于渐近线，结合图形在直角三角形利用三角函数构造 a, c 齐次式
y
=
sinq
则其标准方程为
x2 2
+
y2＝1，
其中 a = 2 ，b＝1，
则 c = a2 - b2 = 1， 则椭圆的焦距 2c＝2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，椭圆简单的几何性质，关键是将椭圆的参数方程变形 为普通方程． 6．6 【分析】利用等差数列前 n 项和的公式即可.
11．给出下列命题：
①到定点 (2,3) 与定直线 2x - y -1 = 0 的距离相等的点的轨迹是抛物线；
试卷第11 页，共33 页
②设 A, B 为两个定点， k 为常数且 k > 0 ，若 PA - PB = k ，则动点 P 的轨迹是双曲线．
③对任意实数a ，直线 xsina + ycosa = 1总与某一个定圆相切； ④在平面内，到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． 其中真命题的序号是__________．
C． (k + 1)2
D． 2k + 1
15．若 a, b, c, d 成等比数列，则下列三个数列：（1） a2 , b2, c2, d 2 ;（2） ab,bc,cd ;（3）
a - b,b - c, c - d ，必成等比数列的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
( ) 16．已知数列 an
= (n +1)
+¥
则 ai =
i =1
i =1
a1q i -1
=
a1 1- q
=
1 2
，所以
2a1
+
q
=1.
故答案为：1.
8． 3 / 1 33
3
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于圆的半径可求得 a 的值.
【详解】由 x2 + y2 - 4 y + 3 = 0 得 x2 + ( y - 2)2 = 1，所以圆心为 (0, 2) ，半径为1，
【详解】对①：定点 P (2,3) 恰好在直线 l : 2x - y -1 = 0 上，故到定点 (2,3) 与定直线
2x - y -1 = 0 的距离相等的点在过 P 点且与 l 垂直的直线上，故①错误；
对②：当 k < AB 且 PA - PB = k 时动点 P 的轨迹才是双曲线，故②错误；
对③：圆 x2 + y2 = 1 的圆心 (0, 0) 到直线 xsina + ycosa = 1的距离为
1 an
ü ý þ
是以
1
为首项，
1 2
为公比的等比数列，
所以 Tn
=
1æçè1 1-
1 2n 1
2
ö ÷ø
=
2-
1 2n-1
，
答案第41 页，共22 页
故答案为：
2
-
1 2n-1
.
11．③ 【分析】①中定点恰好在定直线上故不成立；②不符合双曲线的定义；③直线与定圆
x2 + y2 = 1 恒相切；④不符合椭圆定义.
1
n 的通项公式，再利用等比数列前 项和公式计算
an
即可.
【详解】由 Sn = 2n -1 得当 n ³ 2 时 Sn-1 = 2n-1 -1，所以 an = Sn - Sn-1 = 2n-1(n ³ 2) ，
又因为 a1
=
S1
=1=
20 ，所以 an
=
2n-1 ，
1 an
=
1 2n-1
，
即
ì í î
上海外国语大学附属外国语学校 2022-2023 学年高二下学
期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题 1．抛物线 y2 + 4x=0 的焦点坐标为 ___
2．已知 F1, F2 是椭圆 x2 +y2 =1的左、右焦点， P 是椭圆上的一点，若 PF1 = 2 ，则
心 O 的距离为 abkm 时进行变轨，其中 a, b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此
时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．
试卷第31 页，共33 页
20．已知等差数列{an} 中，首项 a1 = 16 ，公差 d ¹ 0 ，且 a1, a5, a6 是等比数列{bn} 的前